2020年河南省开封市九年级中考一模考试数学测试卷 解析版

这是一份2020年河南省开封市九年级中考一模考试数学测试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个实数中，最大的是（ ）
A．﹣2B．0C．D．
2．某种冠状病毒的直径为125纳米，已知1米＝109纳米，则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.25×10﹣6米B．1.25×10﹣7米
C．1.25×10﹣8米D．1.25×10﹣9米
3．如图，∠ABC＝45°，∠EDF＝60°，若要使直线BC∥EG，则可使直线EG绕点D逆时针旋转（ ）
A．15°B．25°C．30°D．105°
4．某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（ ）
A．80分B．85分C．78分D．82分
5．新年伊始，疫情肆虐．面对疫情，万千医者逆行而上，保家卫国，再次铸就新时代的钢铁长城！某校数学兴趣小组制作了一个小立方体，小立方体的每一个面上各有一个字，组成了“防控就是责任”．如图所示是这个小立方体的展开图，则“控”字的对面是（ ）
A．防B．是C．责D．任
6．下列运算正确的是（ ）
A．5a﹣2a＝3B．a3•a4＝a12
C．（﹣a2b3）2＝a4b6D．（﹣a2）3＝a6
7．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字．同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
10．如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为（ ）
A．130°B．145°C．150°D．165°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
12．若关于x的一元二次方程2x2﹣4x＝k没有实数根，则k的取值范围是 ．
13．不等式组的所有整数解的中位数是 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，AE＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心，OE的长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D，E分别为AC，BC的中点，点F为AB边上一动点，将∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，且点G始终在直线DE的下方，连接GE，当△GDE为直角三角形时，线段AF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
17. “停课不停学，学习不延期!”某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一些学习方式的喜好情况，通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如图所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，其中中选择选项A与选项C的人数之和等于选择选项B的人数．
最喜欢的学习方式你选哪一项？（单选）A．观看名校网络直播；B．观看任课教师网络直播；C．自学与微课相结合；D．自学与微信交流相结合；E．其他．
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 人；
（2）求选择选项B与选项C的人数并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，扇形B的圆心角的度数是 ；
（4）若该市约有16万初中生，请估计喜欢自学（选择选项C或D）的学生人数．
18如图，以AB为直径的半圆O分别交△ABC的边AC，BC于点D，E，过点D作⊙O的切线交BC于点F，连接DE，已知点D为的中点．
（1）求证：CF＝EF；
（2）填空：①若AB＝16，BE＝6，则AD＝ ；
②当四边形OADE为菱形时，∠C的度数为 ．
19某数学学习兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度，其示意图如图所示．小聪同学在旗杆AB的正南方向用高1米的测倾器（CD＝1米）测得旗杆顶端A的仰角是37°，在旗杆AB的正北方向（点F，B，D在同一直线上）2米高的图书馆的台阶上，小颖同学用1米高的测倾器（EF＝3米）测得旗杆顶端A的仰角为18°，又测得FD＝58.5米．求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）
（sin18°＝，cs18°＝，tan18°＝，sin37°＝，cs37°＝，tan37°＝）
20由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆．
（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车5.8万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变，请你求出获利最大的购买方案，并求出最大利润．
21如图，矩形ABCD的两个顶点A，B分别在y轴和x轴上，对角线AC，BD交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．已知反比例函数y＝的图象经过点E，交CF于点G，点A，B，F的坐标分别为A（0，3），B（2，0），F（8，0）．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得DP+GP的值最小，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
22如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在AC上，且AE＝，过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．
【问题发现】
（1）线段DE与CF的数量关系是 ，直线DE与CF所夹锐角的度数是 ；
【拓展探究】
（2）当△AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为1时，请直接写出CF的长．
23如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；
（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，最大的是（ ）
A．﹣2B．0C．D．
【分析】根据实数的大小比较法则进行比较即可．
【解答】解：∵，
∴这四个实数中，最大的是．
故选：D．
2．某种冠状病毒的直径为125纳米，已知1米＝109纳米，则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.25×10﹣6米B．1.25×10﹣7米
C．1.25×10﹣8米D．1.25×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．
故选：B．
3．如图，∠ABC＝45°，∠EDF＝60°，若要使直线BC∥EG，则可使直线EG绕点D逆时针旋转（ ）
A．15°B．25°C．30°D．105°
【分析】根据平行线的判定和性质．以及旋转的性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵HI∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ADI＝45°，
∴∠FDH＝45°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDH＝15°．
故选：A．
4．某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（ ）
A．80分B．85分C．78分D．82分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：小林同学的最终成绩为＝78（分），
故选：C．
5．新年伊始，疫情肆虐．面对疫情，万千医者逆行而上，保家卫国，再次铸就新时代的钢铁长城！某校数学兴趣小组制作了一个小立方体，小立方体的每一个面上各有一个字，组成了“防控就是责任”．如图所示是这个小立方体的展开图，则“控”字的对面是（ ）
A．防B．是C．责D．任
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：“控”字的对面是“是”．
故选：B．
6．下列运算正确的是（ ）
A．5a﹣2a＝3B．a3•a4＝a12
C．（﹣a2b3）2＝a4b6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘法运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A.5a﹣2a＝3a，故本选项不合题意；
B．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；
C．（﹣a2b3）2＝a4b6，故本选项符合题意；
D．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意．
故选：C．
7．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字．同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出树状图，共有12个等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2个，即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12个等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2个，
∴同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为＝；
故选：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：根据作图知，AD＝BC，AE＝AB，DE＝AC，
∴△ADE≌△BCA（SSS），
∴∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AE＝AB＝10，
∵点F为AE的中点，
∴DF＝AE＝5，
故选：B．
9．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），
对称轴是直线x＝﹣＝1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：A．
10．如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为（ ）
A．130°B．145°C．150°D．165°
【分析】首先求出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇所用的时间，探究规律利用规律解决问题即可．
【解答】解：设t秒第一次相遇．
由题意：270+15t＝45t，
解得t＝9，
相遇后设m秒第二次相遇，则有45m﹣15m＝360，
解得m＝12，
以后每过12秒相遇一次，
（2020﹣9）÷12＝167…7，
∴2020秒时，7×45°﹣7×15°＝210°，
此时OA与OB的夹角为150°．
解法二：∵已知OA每秒转动45°，360°÷45°＝8，
∴OA转动一周需要8秒，
2020÷8＝252…4，
4×45°＝180°，
∴OA2020秒后在x轴的负半轴上，
同法可得，OB2020秒后在第一象限，与y轴的夹角为60°，
∴∠AOB＝90°+60°＝150°．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．计算：＝ ﹣3 ．
【分析】利用负整数指数幂和零次幂的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣4＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．若关于x的一元二次方程2x2﹣4x＝k没有实数根，则k的取值范围是 k＜﹣2 ．
【分析】先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣4x﹣k＝0，
根据题意得△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣k）＜0，
解得k＜﹣2．
故答案为k＜﹣2．
13．不等式组的所有整数解的中位数是 1.5 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解，进而得出中位数即可．
【解答】解：，
解①得x≥﹣1，
解②得x＜4.5，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4.5，
∴所求不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3，4，
所以所有整数解的中位数是，
故答案为：1.5．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，AE＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心，OE的长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 24﹣12 ．
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝90°，解直角三角形得到OE＝＝4，∠AOE＝30°，过O作OH⊥CD于H，根据全等三角形的性质得到∠AOE＝∠HOM＝30°，MH＝AE＝2，同理∠BOF＝∠HON＝30°，HN＝2，根据三角形的面积公式扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AB＝2AD＝4，AE＝2，
∴AD＝BC＝2，OE＝＝4，
∴∠AOE＝30°，
过O作OH⊥CD于H，
∴OH＝AD＝2，
∵OM＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△HOM（HL），
∴∠AOE＝∠HOM＝30°，MH＝AE＝2，
同理∠BOF＝∠HON＝30°，HN＝2，
∴∠EOM＝∠FON＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝24﹣2××﹣2×﹣×4×2+﹣＝2S△EDM＝2××（2﹣2）2＝24﹣12，
故答案为：24﹣12．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D，E分别为AC，BC的中点，点F为AB边上一动点，将∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，且点G始终在直线DE的下方，连接GE，当△GDE为直角三角形时，线段AF的长为 2 ．
【分析】先证明∠DEG≠90°，再讨论当∠EDG＝90°时的情况，由翻折得∠ADF＝∠GDF＝30°，∠DFH＝60°，再由DH＝AD，DH＝DF•sin60°，即得AF＝2．
【解答】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE＝AB＝4，DE∥BC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝ABcs30°＝4，
∴AD＝DG＝4，
当恰好在AB上时，F、G重合，
此时AG＝2ADcs30°＝6，
∵ADcs30°+DE＝7＞6，
∴G并未在E点正下方，
由于F再往右运动，G点在BC上方，F就不存在，
∴△GDE为直角三角形只能是∠EDG＝90°，
如图，记DG与AB交于H，
∵∠A＝30°，DG⊥DE，
∴∠AHD＝90°，∠ADG＝60°，
∵翻折对应角相等，
∴∠ADF＝∠GDF＝30°，∠DFH＝60°，
∴AF＝DF，
∵DH＝AD，DH＝DF•sin60°，
∴AF＝2．
故答案为：2．
三．解答题
16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝a+2，
当a＝﹣2时，原式＝﹣2+2＝．
17. “停课不停学，学习不延期!”某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一些学习方式的喜好情况，通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如图所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，其中中选择选项A与选项C的人数之和等于选择选项B的人数．
最喜欢的学习方式你选哪一项？（单选）A．观看名校网络直播；B．观看任课教师网络直播；C．自学与微课相结合；D．自学与微信交流相结合；E．其他．
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 人；
（2）求选择选项B与选项C的人数并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，扇形B的圆心角的度数是 ；
（4）若该市约有16万初中生，请估计喜欢自学（选择选项C或D）的学生人数．
【考点】调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）从两个统计图中可知，使用方式D的有200人，占调查人数的25%，可求出调查人数；
（2）利用方程组求解，得出使用“方式B”“方式C”的人数，进而补全统计图；
（3）“扇形B”所占的百分比为，因此相应的圆心角为360°的，计算即可；
（4）求出“方式C、方式D”所占的百分比，用样本估计总体，进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）200÷25%＝800（人），
故答案为：800；
（2）设利用方式B的有x人，利用方式C的有y人，由题意得，
，解得，；
答：选择B的有280人，选择方式C的有160人，补全统计图如图所示：
（3）360°×＝126°，
故答案为：126°；
（4）16×＝7.2（万人），
答：该市16万初中生中喜欢自学（选择选项C或D）的有7.2万人．
18如图，以AB为直径的半圆O分别交△ABC的边AC，BC于点D，E，过点D作⊙O的切线交BC于点F，连接DE，已知点D为的中点．
（1）求证：CF＝EF；
（2）填空：①若AB＝16，BE＝6，则AD＝ ；
②当四边形OADE为菱形时，∠C的度数为 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；数据分析观念．
【答案】（1）见解答；（2）①4；②60°．
【分析】（1）证明OD是△ABC的中位线，故OD∥BC，则DF⊥CE，即可求解；
（2）①证明△DHO≌△OGB（AAS），在Rt△BOG中，BG＝BE＝3，在Rt△ADH中，则AD2＝AH2+DH2＝DO2﹣OH2+AH2＝64﹣9+（8﹣3）2＝80，即可求解；
②在菱形AOED中，连接OD，则∠ODE＝α＝∠AOD，则∠OAD＝∠ODA＝∠AOD＝α，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB是直径，故BD⊥AC，
∵D为的中点，故点D是AC的中点，
故AB＝BC，
则∠C＝∠ACB，
∵∠CDE＝∠ACB，
∴∠C＝∠CED，
∵点D是AC的中点、点O是AB的中点，
故OD是△ABC的中位线，
故OD∥BC，
而DF是圆的切线，故DO⊥DF，
∴DF⊥CE，
∴点F是CE的中点，
∴FE＝FC；
（2）①过点D作DH⊥AB于点H，过点O作OG⊥BE于点G，
∵OD∥BC，
∴∠GBO＝∠DOH，
∵∠DHO＝∠OGB＝90°，OB＝OD，
∴△DHO≌△OGB（AAS），
∴DH＝OG，OH＝BG，
在Rt△BOG中，BG＝BE＝3，
在Rt△ADH中，则AD2＝AH2+DH2＝DO2﹣OH2+AH2＝64﹣9+（8﹣3）2＝80，
∴AD＝4，
故答案为4；
②设∠C＝α，
由（1）知，△ADO和△DCE分别为以点O和点D为顶点、底角均为α的等腰三角形，
即∠OAD＝∠ODA＝∠DEF＝∠C＝α，
在菱形AOED中，连接OD，则∠ODE＝α＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠AOD＝α，
即∠C＝60°，
故答案为60°．
19某数学学习兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度，其示意图如图所示．小聪同学在旗杆AB的正南方向用高1米的测倾器（CD＝1米）测得旗杆顶端A的仰角是37°，在旗杆AB的正北方向（点F，B，D在同一直线上）2米高的图书馆的台阶上，小颖同学用1米高的测倾器（EF＝3米）测得旗杆顶端A的仰角为18°，又测得FD＝58.5米．求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）
（sin18°＝，cs18°＝，tan18°＝，sin37°＝，cs37°＝，tan37°＝）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，则EG＝BF，CH＝BD，BG＝EF＝3，BH＝CD＝1，设BF＝a，BD＝b，则EG＝a，CH＝b，a+b＝58.5，在Rt△ACH中，AH＝CH•tan37°＝b，则AB＝AH+BH＝b+1，在Rt△AEG中，AG＝EG•tan18°＝a，则AB＝AG+BG＝a+3，因此b+1＝a+3，解方程组进而得出答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，如图所示：
则四边形CDBH和四边形EFBG都为矩形，
∴EG＝BF，CH＝BD，BG＝EF＝3，BH＝CD＝1，
设BF＝a，BD＝b，
则EG＝a，CH＝b，a+b＝58.5，
在Rt△ACH中，AH＝CH•tan37°＝b，
∴AB＝AH+BH＝b+1，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan18°＝a，
∴AB＝AG+BG＝a+3，
∴b+1＝a+3，
∴，
解得：，
∴AB＝b+1＝×+1＝≈15.9（米）．
20由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆．
（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车5.8万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变，请你求出获利最大的购买方案，并求出最大利润．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，可以得到相应的二元一次方程组，然后即可得到甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种型号汽车数量的函数关系，再根据乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，可以得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案．
【解答】解：（1）设甲种型号汽车的进价为a元、乙种型号汽车的进价为b元，
，得，
即甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为6.5万元、4万元；
（2）设销售利润为w元，购进A种型号的汽车x辆，则购进B种型号的汽车（100﹣x）辆，
w＝（8.8﹣6.5）x+（5.8﹣4）×（100﹣x）＝0.5x+180，
∵乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，
∴100﹣x≥2x，
解得，x≤33，
∵0.5＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∵x为整数，
∴当x＝33时，w取得最大值，此时w＝196.5，100﹣x＝67，
答：获利最大的购买方案是购买A型汽车33辆，B型汽车67辆，最大利润是196.5万元．
21如图，矩形ABCD的两个顶点A，B分别在y轴和x轴上，对角线AC，BD交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．已知反比例函数y＝的图象经过点E，交CF于点G，点A，B，F的坐标分别为A（0，3），B（2，0），F（8，0）．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得DP+GP的值最小，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件得到OA＝3，OB＝2，OF＝8，求得BF＝6，根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，根据相似三角形的性质得到CF＝4，求得C（8，4），得到E（4，），于是得到反比例函数y＝的解析式为y＝；
（2）如图，作点G关于x轴的对称轴于H，得到H（8，﹣），根据中点坐标公式得到D（6，7），连接DH交x轴于P，则此时，DP+GP的值最小，求得直线DH的解析式为：y＝﹣x+，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵A（0，3），B（2，0），F（8，0），
∴OA＝3，OB＝2，OF＝8，
∴BF＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵CF⊥x轴于点F，
∴∠CFO＝90°，
∴∠AOB＝∠ABC＝∠BFC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠OAB＝∠CBF，
∴△ABO∽△BCF，
∴，
∴＝，
∴CF＝4，
∴C（8，4），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE，
∴E（4，），
∴k＝14，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（2）存在，∵点G在反比例函数y＝上，
∴G（8，），
如图，作点G关于x轴的对称轴于H，
∴H（8，﹣），
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，
∵E（4，），B（2，0），
∴D（6，7），
连接DH交x轴于P，则此时，DP+GP的值最小，
设直线DH的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，
∴P点的坐标（，0）．
22如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在AC上，且AE＝，过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．
【问题发现】
（1）线段DE与CF的数量关系是 ，直线DE与CF所夹锐角的度数是 ；
【拓展探究】
（2）当△AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为1时，请直接写出CF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长DE交CF的延长线于T，证明△FAC∽△EAD可得结论．
（2）成立．如图2中，延长DE交CF于T，证明△FAC∽△EAD可得结论．
（3）分两种情形分别画出图形，过E作EJ⊥AF于J，先求出DF的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）延长DE交CF的延长线于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠CAF＝45°，AC＝AD，AD＝CD＝AB＝4，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，
∴＝，
∴△FAC∽△EAD，
∴＝＝，∠ACF＝∠ADE，
∴CF＝DE，
∵∠AED＝∠CET，
∴∠T＝∠EAD＝45°，
故答案为：CF＝DE，45°；
（2）结论成立，理由如下：
如图2中，延长DE交CF于T．
∵∠EAF＝∠DAC＝45°，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵＝＝，
∴△AFC∽△AED，
∴＝＝，∠ACF＝∠ADH，
∴CF＝DE，
∵∠AHD＝∠THC，
∴∠CTD＝∠DAH＝45°；
（3）分两种情况：
①如图3﹣1中，过E作EJ⊥AF于J，
∵AE＝EF＝，∠AEF＝90°，EJ⊥AF，
∴AF＝AE＝2，FJ＝JA＝1，
∴EJ＝AF＝1，
∵点E到直线AD的距离为1，
∴F，A，D共线，
∴DF＝AD+AF＝6，
∴CF＝＝＝2；
②如图3﹣2中，当点E在直线AD上方时，过E作EJ⊥AF于J，
则DF＝AD﹣AF＝2，
∴CF＝＝＝2；
综上所述，满足条件的CF的值为2或2．
23如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；
（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；数形结合；分类讨论；数据分析观念．
【答案】（1）y＝﹣x2x+4；（2）点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）点F的坐标为（7，5）或（﹣5，﹣1）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠EPC为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCE为直角时，利用tan∠DAO＝tan∠NCP，求出点P的坐标为（+t，﹣2t），进而求解；
（3）当点F在y轴右侧时，求出tan∠RBL＝＝tanF，在△BDF中，tanF＝，tan∠BDG＝，BD＝4﹣＝，求出DF＝7x＝，进而求解；当点F在y轴左侧时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2x+4①；
（2）过点D作DK⊥AB于点K，
∵AD是∠BAO的平分线，故KD＝OD，AK＝OA，
设KD＝OD＝x，则BD＝4﹣x，BK＝AB﹣AK＝﹣3＝2，
在Rt△BDK中，BD2＝KD2+KB2，即（x﹣4）2＝x2+4，解得x＝，
故点D的坐标为（0，），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为y＝x+②，
联立①②并解得，
故点C的坐标为（，）；
①当∠EPC为直角时，如图2，
则P′C∥x轴，
故点P′、C关于抛物线对称轴对称，
故点P′的坐标为（﹣，）；
②当∠PCE为直角时，如图2，
过点C作CN∥y轴交过点P与x轴的平行线于点N，
∵以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似，
则∠NCP＝∠CPE＝∠DAO，
∵tan∠DAO＝＝＝tan∠NCP，
故设NP＝t，则CN＝2t，
故点P的坐标为（+t，﹣2t），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：﹣2t＝﹣（+t）2（+t）+4，
解得t＝2，
故点P的坐标为（，﹣）；
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；
（3）过点B作∠ABO的平分线交x轴于点L，过点L作LR⊥AB于点R，
则OL＝PL，
设OL＝PL＝x，则AL＝x﹣3，BR＝BO＝4，
在Rt△ARL中，AL2＝AR2+RL2，即（x﹣3）2＝x2+1，解得x＝，
则tan∠RBL＝＝＝tanF，
当点F在y轴的右侧时，
过点B作BG⊥DF于点G，
由直线AC的表达式知，tan∠BDG＝，
在△BDF中，tanF＝，tan∠BDG＝，BD＝4﹣＝，
则设BG＝2x，则DG＝x，GF＝6x，
则BD＝＝x＝，解得x＝，
则DF＝7x＝，
设点F的坐标为（m，m+），
则DF2＝（m﹣0）2+（m+﹣）2＝（）2，解得m＝7，
故点F的坐标为（7，5）；
当点F在y轴左侧时，
同理可得，点F的坐标为（﹣5，﹣1），
综上，点F的坐标为（7，5）或（﹣5，﹣1）．