北京三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份北京三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1．图中的两个三角形全等，则∠α=（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
2．下列条件中，不能判定三角形全等的是（　　）
A．三条边对应相等 B．两边和其中一角对应相等
C．两边和夹角对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c=x（a+b）+c
4．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． = D．
5．若分式的值为0，则x应满足的条件是（　　）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x≠﹣2 D．x=±2
6．下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
7．若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1
8．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（　　）

A．PE=PF B．AE=AF C．△APE≌△APF D．AP=PE+PF
9．已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　）
A．2＜x＜5 B．4＜x＜10 C．3＜x＜7 D．无法确定
10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（　　）

A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
　
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．计算：3﹣2=　　．
12．若 （x﹣2）0有意义，则x的取值范围是　　．
13．分解因式：x2+x﹣2=　　．
14．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是　　．

15．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是　　．

16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为　　 cm．

17．若x2+4x+1=0，则x2+=　　．
18．请同学们观察 22﹣2=2（2﹣1）=2，23﹣22=22（2﹣1）=22，24﹣23=23（2﹣1）=23…
（1）写出表示一般规律的第n个等式　　；
（2）根据所总结的规律计算210﹣29﹣28﹣…﹣22﹣2=　　．
　
三、解答题（本题共54分）
19．（5分）请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题：
解：
=（A）
=（B）
=x﹣3﹣3（x+1）（C）
=﹣2x﹣6（D）
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：　　；
（2）从B到C是否正确，若不正确，错误的原因是　　；
（3）请你正确解答．
20．（2分）尺规画图 （不用写作法，要保留作图痕迹）
如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点400米，如果你是红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置点P．

21．（6分）分解下列因式：
（1）9a2﹣1
（2）p3﹣16p2+64p．
22．（7分）计算
（1）﹣．
（2）（）﹣1+（﹣1）+（2﹣）0+|﹣3|．
23．（5分）先化简，再求值：，其中x=5．
24．（5分）解分式方程：．
25．（4分）已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE．

26．（4分）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC．求证：
（1）AB=DC．
（2）AD∥BC．

27．（4分）在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：
（1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出证明过程．

28．（4分）若x2+y2﹣4x+2y+5=0，求（）2010+y2010的值．
29．（4分）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

30．（4分）已知：在△ABC中，∠ABC=100°，∠C的平分线交AB边于点E，在AC边上取点D，使得∠CBD=20°，连结DE．求∠CED的度数．

　

2017-2018学年北京三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1．图中的两个三角形全等，则∠α=（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
【考点】KA：全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α=58°．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．
　
2．下列条件中，不能判定三角形全等的是（　　）
A．三条边对应相等 B．两边和其中一角对应相等
C．两边和夹角对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
C、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合；
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
　
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c=x（a+b）+c
【考点】51：因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【点评】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
　
4．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． = D．
【考点】65：分式的基本性质．
【分析】利用分式的基本性质对各式进行化简即可．
【解答】解：A、已经是最简分式，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；
D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．
　
5．若分式的值为0，则x应满足的条件是（　　）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x≠﹣2 D．x=±2
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为0的条件可得x2﹣4=0且x+2≠0，再解出x的值即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4=0且x+2≠0，
解得：x=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
　
6．下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】68：最简分式．
【分析】最简分式是指分子和分母没有公因式．
【解答】解：（A）原式=，故A不是最简分式；
（B）原式==，故B不是最简分式；
（C）原式=，故C是最简分式；
（D）原式==，故D不是最简分式；
故选（C）
【点评】本题考查考查最简分式，要注意将分子分母先分解后，约去公因式．
　
7．若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1
【考点】4E：完全平方式．
【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．
【解答】解：依题意，得m﹣3=±4，
解得m=7或﹣1．
故选D．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
　
8．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（　　）

A．PE=PF B．AE=AF C．△APE≌△APF D．AP=PE+PF
【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】题目的已知条件比较充分，满足了角平分线的性质要求的条件，可直接应用性质得到结论，与各选项进行比对，得出答案．
【解答】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，
又有AD=AD
∴△APE≌△APF（HL
∴AE=AF
故选D．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△APE≌△APF是解题的关键．
　
9．已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　）
A．2＜x＜5 B．4＜x＜10 C．3＜x＜7 D．无法确定
【考点】K6：三角形三边关系；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．倍长中线，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解．
【解答】解：7﹣3＜2x＜7+3，即2＜x＜5．
故选A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线．
　
10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（　　）

A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
【考点】K3：三角形的面积．
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
　
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．计算：3﹣2=　　．
【考点】6F：负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
【解答】解：3﹣2=．故答案为．
【点评】本题主要考查了负指数幂的运算，比较简单．
　
12．若 （x﹣2）0有意义，则x的取值范围是　x≠2　．
【考点】6E：零指数幂．
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键．
　
13．分解因式：x2+x﹣2=　（x﹣1）（x+2）　．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】因为（﹣1）×2=﹣2，2﹣1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：∵（﹣1）×2=﹣2，2﹣1=1，
∴x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）．
故答案为：（x﹣1）（x+2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
　
14．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是　两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等　．

【考点】KE：全等三角形的应用．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
　
15．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是　AO=DO或AB=DC或BO=CO　．

【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△AOB≌△DOC，已知∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，则可以添加AO=DO或AB=DC或BO=CO从而利用ASA或AAS判定其全等．
【解答】解：添加AO=DO或AB=DC或BO=CO后可分别根据ASA、AAS、AAS判定△AOB≌△DOC．
故填AO=DO或AB=DC或BO=CO．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为　1.5　 cm．

【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=4cm，BD：DC=5：3，
∴CD=×4=1.5cm，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=CD=1.5cm．
故答案为：1.5．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
17．若x2+4x+1=0，则x2+=　14　．
【考点】4C：完全平方公式．
【分析】由x2+4x+1=0可得x≠0，两边除以x可得到x+=﹣4，再两边平方，根据完全平方公式展开即可得到x2+的值．
【解答】解：∵x2+4x+1=0，
∴x+4+=0，即x+=﹣4，
∴（x+）2=（﹣4）2，
∴x2+2+=16，
∴x2+=14．
故答案为14．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力．
　
18．请同学们观察 22﹣2=2（2﹣1）=2，23﹣22=22（2﹣1）=22，24﹣23=23（2﹣1）=23…
（1）写出表示一般规律的第n个等式　2n+1﹣2n=2n　；
（2）根据所总结的规律计算210﹣29﹣28﹣…﹣22﹣2=　2　．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据等式的变化找出变化规律“第n个等式为2n+1﹣2n=2n”，此题得解；
（2）根据2n=2n+1﹣2n将算式210﹣29﹣28﹣…﹣22﹣2进行拆项，合并同类项即可得出结论．
【解答】解：（1）观察，发现规律：22﹣2=2（2﹣1）=2，23﹣22=22（2﹣1）=22，24﹣23=23（2﹣1）=23，…，
∴第n个等式为2n+1﹣2n=2n．
故答案为：2n+1﹣2n=2n．
（2）∵2n=2n+1﹣2n，
∴210﹣29﹣28﹣…﹣22﹣2=210﹣210+29﹣29+28﹣28+27﹣…﹣23+22﹣2=22﹣2=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．
　
三、解答题（本题共54分）
19．请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题：
解：
=（A）
=（B）
=x﹣3﹣3（x+1）（C）
=﹣2x﹣6（D）
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：　A　；
（2）从B到C是否正确，若不正确，错误的原因是　不能去分母　；
（3）请你正确解答．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】异分母分式相加减，先化为同分母分式，再加减．
【解答】解：
=
=
=，
（1）故可知从A开始出现错误；
（2）不正确，不能去分母；
（3）
=
=
=．
【点评】本题考查异分母分式相加减．应先通分，化为同分母分式，再加减．本题需注意应先把能因式分解的分母因式分解，在计算过程中，分母不变，只把分子相加减．
　
20．尺规画图 （不用写作法，要保留作图痕迹）
如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点400米，如果你是红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置点P．

【考点】N4：作图—应用与设计作图；KF：角平分线的性质．
【分析】作出角平分线，进而截取PB=400进而得出答案．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
　
21．分解下列因式：
（1）9a2﹣1
（2）p3﹣16p2+64p．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=（3a+1）（3a﹣1）；
（2）原式=p（p2﹣16p+64）=p（p﹣8）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
22．计算
（1）﹣．
（2）（）﹣1+（﹣1）+（2﹣）0+|﹣3|．
【考点】6B：分式的加减法；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】（1）直接利用分式加减运算法则化简求出答案；
（2）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：（1）原式=
=
=；

（2）原式=2﹣1+1+3
=5．
【点评】此题主要考查了分式得加减运算以及实数运算，正确掌握运算法则是解题关键．
　
23．先化简，再求值：，其中x=5．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】把原式的第二项被除式分母及除式分母都分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后，再与第一项通分，利用同分母分式的减法运算计算，可化为最简，最后把x的值代入化简的式子中即可求出值．
【解答】解：
=
=﹣
=﹣
=
=
=，（4分）
当x=5时，原式==．（5分）
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值时，加减的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，分式的乘除关键是约分，约分的关键是找出公因式，本题属于化简求值题，解答此类题要先将原式化为最简，再代值，同时注意有时计算后还能约分，比如本题倒数第二步约去公因式x+1．
　
24．解分式方程：．
【考点】B3：解分式方程；86：解一元一次方程．
【分析】方程的两边都乘以5（x+1），把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再代入方程进行检验即可．
【解答】解：方程的两边都乘以5（x+1）、去分母得：5x=2x+5x+5，
移项、合并同类项得：2x=﹣5，
∴系数化成1得：x=﹣，
经检验x=﹣是原方程的解，
∴原方程的解是x=﹣．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式方程，注意一定要检验．
　
25．已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE．

【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】首先得出∠EAC=∠BAD，进而利用全等三角形的判定方法（SAS）得出即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠EAC=∠BAD，
在△DAB和△EAC中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
　
26．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC．求证：
（1）AB=DC．
（2）AD∥BC．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等知AB=DC；
（2）因为△ABD≌△CDB，所以全等三角形的对应角∠ADB=∠CBD．然后由平行线的判定定理知AD∥BC．
【解答】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
∴在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵Rt△ABD≌Rt△CDB[由（1）知]，
∴∠ADB=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．以及三角形全等的性质：全等三角形的对应边、对应角相等．
　
27．在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：
（1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出证明过程．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】只要以其中三个作为条件，能够得出另一个结论正确即可，下边以（1）、（2）、（4）为条件，（3）为结论为例．
【解答】解：以（1）、（2）、（4）为条件，（3）为结论．
证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
又AD=BC，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠B=∠D．
【点评】本题与命题联系在一起，归根到底主要还是考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
　
28．若x2+y2﹣4x+2y+5=0，求（）2010+y2010的值．
【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．
【分析】根据x2+y2﹣4x+2y+5=0，可以求得x、y的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+2y+5=0，
∴x2﹣4x+4+y2+2y+1=0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2=0，
∴x﹣2=0，y+1=0，
解得，x=2，y=﹣1，
∴（）2010+y2010
=
=1+1
=2．
【点评】本题考查配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
29．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．
【分析】（1）在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，根据正方形性质得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，证△ABE≌△ADN推出AE=AN；∠EAB=∠NAD，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME=MN即可；
（2）在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN=MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE=AN；∠EAB=∠NAD，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠BAM+∠EAB=45°=∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=BE+BM=DN+BM，
即DN+BM=MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM=MN．
证明：如图3，在DN上截取DE=MB，连接AE，
∵由（1）知：AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°﹣45°=45°=∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DN﹣DE=EN，
∴DN﹣BM=MN．
【点评】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似，培养了学生的猜想能力和分析归纳能力．
　
30．已知：在△ABC中，∠ABC=100°，∠C的平分线交AB边于点E，在AC边上取点D，使得∠CBD=20°，连结DE．求∠CED的度数．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【分析】分别作EF⊥CB的延长线于F，EH⊥AC于H，EG⊥BD于G．利用CE是角平分线，角平分线的性质定理，得EF=EH，再证明∠ABD=∠EBF，同理可证：EF=EG，根据HL证明Rt△EDH≌Rt△EDG，根据全等三角形的性质和角的和差关系可求∠CED．
【解答】解：分别作EF⊥CB的延长线于F，EH⊥AC于H，EG⊥BD于G．
∵CE是角平分线，
∴EF=EH．
∠ABC=100°，∠DBC=20°，
∴∠ABD=80°，
又∵∠EBF=80°，
∴∠ABD=∠EBF，
∴EF=EG，
∴EH=EG，
在Rt△EDH与Rt△EDG中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△EDG（HL），
∴∠EDH=∠EDG，
∴∠CED=∠EDH﹣∠ECD
=（∠BDH﹣∠BCA）
=×20°
=10°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的性质定理和逆定理，本题的关键是作出辅助线，以及角的平分线性质定理的应用．