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北京十三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）
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这是一份北京十三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京十三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．58° C．60° D．72°
5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
7．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（S、S、S） B．（S、A、S） C．（A、S、A） D．（A、A、S）
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题（每空2分，共24分）
11．计算：（﹣3）﹣2= ．
12．约分： = ．
13．用科学记数法表示﹣0.000614为 ．
14．分解因式：4x2y﹣4xy+y= ．
15．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
16．化简﹣的结果是 ．
17．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 （填一种即可），根据 ．
18．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为 ．
19．已知，如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD
②D到AB、BC的距离相等
③D到△ABC的三边的距离相等
④点D在∠B的平分线上．
其中正确的说法的序号是 ．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20= ．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
22．化简：﹣÷．
23．解分式方程：．
24．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AE=CF．
25．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．
四、解答题（26题3分，27-29每题6分，本题共21）
26．尺规作图：
已知：如图，∠A与直线l．试在l上找一点P，使点P到∠A的两边的距离相等．要求：保留痕迹，不写作法．
27．列方程解应用题
从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
28．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ==1﹣；
再如： ===x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 ．
29．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 ．
2017-2018学年北京十三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【专题】因式分解．
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
3．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．
【解答】解：由x2﹣1=0，
得x=±1．
①当x=1时，x﹣1=0，
∴x=1不合题意；
②当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，
∴x=﹣1时分式的值为0．
故选：C．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC=DF=b，DE=AB=a，
∴∠1=∠B，∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，
∴∠1=180°﹣∠D﹣∠F=58°，
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣80°﹣30°=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC，
=70°﹣35°，
=35°．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣5=﹣3，
解得x=1．
检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选：C．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
7．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．
【解答】解：A、==1，故本选项正确；
B、==﹣1，故本选项正确；
C、=，故本选项正确；
D、=﹣，故本选项错误；
故选D．
【点评】此题考查了分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（S、S、S） B．（S、A、S） C．（A、S、A） D．（A、A、S）
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【解答】解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选A．
【点评】考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【考点】角平分线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
【考点】分式的混合运算；完全平方公式．
【专题】阅读型．
【分析】根据题意求出所求式子的最小值即可．
【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即=x+，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，
矩形的周长是2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有x=，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+）=12最小，
因此x+（x＞0）的最小值是6．
故选：C
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（每空2分，共24分）
11．计算：（﹣3）﹣2= ．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负指数次幂的意义，首先计算乘方，即可．
【解答】解：（﹣3）﹣2==．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了负指数次幂的意义，正确理解意义是解题的关键．
12．约分： = ．
【考点】约分．
【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质求出即可．
【解答】解：原式==，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的约分的应用，关键是找出分式的分子和分母的公因式．
13．用科学记数法表示﹣0.000614为 ﹣6.14×10﹣4 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：﹣0.000614=﹣6.14×10﹣4，
故答案为：﹣6.14×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．分解因式：4x2y﹣4xy+y= y（2x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．
故答案为：y（2x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠5 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
16．化简﹣的结果是 ﹣ ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣
=﹣
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 AB=AE （填一种即可），根据 SAS ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】首先根据等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再添加条件AB=AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED．
【解答】解：添加的条件AB=AE，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
即∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故答案为：AB=AE，SAS．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为 ﹣=2 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（x+20）米，根据题意，提前2天完成任务，列方程．
【解答】解：设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（x+20）米，
由题意得，﹣=2．
故答案为：﹣=2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
19．已知，如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD
②D到AB、BC的距离相等
③D到△ABC的三边的距离相等
④点D在∠B的平分线上．
其中正确的说法的序号是 ②③④ ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF=DG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，
∵点D是△ABC的两外角平分线的交点，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF=DG，
∴点D在∠B的平分线上，故②③④正确，
只有点G是AC的中点时，AD=CD，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20= ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．
【解答】解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an==﹣．
（2）a1+a2+a3+…+a20
=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
=﹣．
故答案为：（1），﹣；
（2）﹣．
【点评】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x2（m﹣2）﹣9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．化简：﹣÷．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣•
=﹣
=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+2（x﹣1）=3，
去括号得：2x+2x﹣2=3，
移项合并得：4x=5，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的对应边相等知，AF=CE，所以AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）；
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE （ASA），
∴AF=CE（全等三角形的对应边相等），
∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做题时要根据已知条件的具体位置来选择方法．
25．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】探究型．
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=×
=a+1．
当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
四、解答题（26题3分，27-29每题6分，本题共21）
26．尺规作图：
已知：如图，∠A与直线l．试在l上找一点P，使点P到∠A的两边的距离相等．要求：保留痕迹，不写作法．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得点P在∠A的角平分线上，因此画∠A的角平分线与l的交点就是P点．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了基本作图，以及角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
27．列方程解应用题
从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：甲需要时间小时，乙需要小时，再根据乙所用时间+半小时=甲所用时间即可列出方程．
【解答】解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：
=+，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
1.5×20=30（千米/时）．
答：甲的速度为20千米/时，则乙的速度为30千米/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，难度中等，做此类题主要是要抓住关键条件列出方程解答即可．
28．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ==1﹣；
再如： ===x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．
【考点】分式的混合运算．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；
（2）原式变形，化为带分式即可；
（3）分式化为带分式后，即可确定出x的整数值．
【解答】解：（1）分式是真分式；
（2）==1﹣；
（3）==2﹣为整数，
则x的可能整数值为 0，﹣2，2，﹣4．
故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 AD=BE ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据已知条件画出图形即可；
（2）在AE上截取AF=AC，连结BF，根据全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图：；
（2）AD=BE，
理由是：在AE上截取AF=AC，连结BF，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°﹣90°=90°，
∴∠BAC=∠BAF，
在△ABF与△ABC中
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF=BC，AF=AC，∠BCA=∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA=180°，∠BCA+∠DCA=180°，
∴∠BFE=∠DCA，
∵BC=DC，BC=BF，
∴BF=DC，
∵AC=AF，AE=2AC=AF+EF，
∴EF=AC=AF，
在△BFE和△DCA中
∴△BFE≌△DCA，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
北京十三中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．58° C．60° D．72°
5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
7．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（S、S、S） B．（S、A、S） C．（A、S、A） D．（A、A、S）
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题（每空2分，共24分）
11．计算：（﹣3）﹣2= ．
12．约分： = ．
13．用科学记数法表示﹣0.000614为 ．
14．分解因式：4x2y﹣4xy+y= ．
15．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
16．化简﹣的结果是 ．
17．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 （填一种即可），根据 ．
18．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为 ．
19．已知，如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD
②D到AB、BC的距离相等
③D到△ABC的三边的距离相等
④点D在∠B的平分线上．
其中正确的说法的序号是 ．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20= ．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
22．化简：﹣÷．
23．解分式方程：．
24．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AE=CF．
25．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．
四、解答题（26题3分，27-29每题6分，本题共21）
26．尺规作图：
已知：如图，∠A与直线l．试在l上找一点P，使点P到∠A的两边的距离相等．要求：保留痕迹，不写作法．
27．列方程解应用题
从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
28．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ==1﹣；
再如： ===x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 ．
29．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 ．
2017-2018学年北京十三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【专题】因式分解．
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
3．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．
【解答】解：由x2﹣1=0，
得x=±1．
①当x=1时，x﹣1=0，
∴x=1不合题意；
②当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，
∴x=﹣1时分式的值为0．
故选：C．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC=DF=b，DE=AB=a，
∴∠1=∠B，∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，
∴∠1=180°﹣∠D﹣∠F=58°，
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣80°﹣30°=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC，
=70°﹣35°，
=35°．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣5=﹣3，
解得x=1．
检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选：C．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
7．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．
【解答】解：A、==1，故本选项正确；
B、==﹣1，故本选项正确；
C、=，故本选项正确；
D、=﹣，故本选项错误；
故选D．
【点评】此题考查了分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（S、S、S） B．（S、A、S） C．（A、S、A） D．（A、A、S）
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【解答】解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选A．
【点评】考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【考点】角平分线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
【考点】分式的混合运算；完全平方公式．
【专题】阅读型．
【分析】根据题意求出所求式子的最小值即可．
【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即=x+，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，
矩形的周长是2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有x=，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+）=12最小，
因此x+（x＞0）的最小值是6．
故选：C
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（每空2分，共24分）
11．计算：（﹣3）﹣2= ．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负指数次幂的意义，首先计算乘方，即可．
【解答】解：（﹣3）﹣2==．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了负指数次幂的意义，正确理解意义是解题的关键．
12．约分： = ．
【考点】约分．
【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质求出即可．
【解答】解：原式==，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的约分的应用，关键是找出分式的分子和分母的公因式．
13．用科学记数法表示﹣0.000614为 ﹣6.14×10﹣4 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：﹣0.000614=﹣6.14×10﹣4，
故答案为：﹣6.14×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．分解因式：4x2y﹣4xy+y= y（2x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．
故答案为：y（2x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠5 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
16．化简﹣的结果是 ﹣ ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣
=﹣
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 AB=AE （填一种即可），根据 SAS ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】首先根据等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再添加条件AB=AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED．
【解答】解：添加的条件AB=AE，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
即∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故答案为：AB=AE，SAS．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为 ﹣=2 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（x+20）米，根据题意，提前2天完成任务，列方程．
【解答】解：设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（x+20）米，
由题意得，﹣=2．
故答案为：﹣=2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
19．已知，如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD
②D到AB、BC的距离相等
③D到△ABC的三边的距离相等
④点D在∠B的平分线上．
其中正确的说法的序号是 ②③④ ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF=DG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，
∵点D是△ABC的两外角平分线的交点，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF=DG，
∴点D在∠B的平分线上，故②③④正确，
只有点G是AC的中点时，AD=CD，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20= ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．
【解答】解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an==﹣．
（2）a1+a2+a3+…+a20
=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
=﹣．
故答案为：（1），﹣；
（2）﹣．
【点评】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x2（m﹣2）﹣9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．化简：﹣÷．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣•
=﹣
=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+2（x﹣1）=3，
去括号得：2x+2x﹣2=3，
移项合并得：4x=5，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的对应边相等知，AF=CE，所以AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）；
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE （ASA），
∴AF=CE（全等三角形的对应边相等），
∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做题时要根据已知条件的具体位置来选择方法．
25．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】探究型．
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=×
=a+1．
当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
四、解答题（26题3分，27-29每题6分，本题共21）
26．尺规作图：
已知：如图，∠A与直线l．试在l上找一点P，使点P到∠A的两边的距离相等．要求：保留痕迹，不写作法．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得点P在∠A的角平分线上，因此画∠A的角平分线与l的交点就是P点．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了基本作图，以及角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
27．列方程解应用题
从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：甲需要时间小时，乙需要小时，再根据乙所用时间+半小时=甲所用时间即可列出方程．
【解答】解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：
=+，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
1.5×20=30（千米/时）．
答：甲的速度为20千米/时，则乙的速度为30千米/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，难度中等，做此类题主要是要抓住关键条件列出方程解答即可．
28．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ==1﹣；
再如： ===x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．
【考点】分式的混合运算．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；
（2）原式变形，化为带分式即可；
（3）分式化为带分式后，即可确定出x的整数值．
【解答】解：（1）分式是真分式；
（2）==1﹣；
（3）==2﹣为整数，
则x的可能整数值为 0，﹣2，2，﹣4．
故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 AD=BE ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据已知条件画出图形即可；
（2）在AE上截取AF=AC，连结BF，根据全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图：；
（2）AD=BE，
理由是：在AE上截取AF=AC，连结BF，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°﹣90°=90°，
∴∠BAC=∠BAF，
在△ABF与△ABC中
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF=BC，AF=AC，∠BCA=∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA=180°，∠BCA+∠DCA=180°，
∴∠BFE=∠DCA，
∵BC=DC，BC=BF，
∴BF=DC，
∵AC=AF，AE=2AC=AF+EF，
∴EF=AC=AF，
在△BFE和△DCA中
∴△BFE≌△DCA，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
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