初中数学华师大版八年级下册17.4 反比例函数综合与测试教案

17．4　反比例函数

1　反比例函数(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．

2．从实际问题中抽象出反比例函数的模型，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．

二、重难点目标

【教学重点】

反比例函数的概念．

【教学难点】

根据已知条件列出函数关系式．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P54～P55的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．

2．下列函数中，是反比例函数的有③④⑤⑦.(填序号)

①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y＝中的隐含条件是x的次数为－1，k≠0.

【解答】∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，

∴解得m＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列函数表达式中，y是x的反比例函数的是(　B　)

A．y＝  B．y＝ 

C．y＝  D．y＝

2．反比例函数y＝(m＋1)x－1中，m的取值范围是(　B　)

A．m≠1　 B．m≠－1

C．m≠±1　 D．全体实数

3．反比例函数y＝(k≠0)，若x＝时，y＝4，则k等于 (　C　)

A．  B．4 

C．4  D．

4．当a＝2时，函数y＝(a＋2)xa2－5是反比例函数．

5．某蓄水池的排水管每小时排水8 m3，6 h可将满池水全部排空．

(1)蓄水池的容积为48 m3；

(2)若每小时排水用Q(m3)表示，则排水时间t(h)与Q(m3)的函数表达式为t＝.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知变量x、y满足(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，则y是否与x成反比例关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数．

【互动探索】题中不能直接判断x、y是否满足关系式xy＝k(k≠0)，需要将等式化简再进行判断．

【解答】∵(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，

∴x2－4xy＋4y2＝x2＋4xy＋4y2＋10.

整理，得8xy＝－10，∴y＝，

∴y与x成反比例关系，比例系数为－.

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个函数是否是反比例函数，先看它能否写成反比例函数的三种表达形式，再看常数k是否满足k≠0.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．反比例函数的三种常见形式：y＝；y＝kx－1；xy＝k(k≠0)．

2．根据已知条件列出函数关系．

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　反比例函数的图象和性质(第2课时)

教学目标

一、基本目标

1．经历画反比例函数的图象，归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程．

2．会画反比例函数图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质，能利用待定系数法求反比例函数的表达式．

3．能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．

二、重难点目标

【教学重点】

反比例函数的图象和性质．

【教学难点】

运用反比例函数的图象和性质解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P56～P58的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．类比一次函数图象的作法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：列表、描点、连线．

2．反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线．

3．反比例函数y＝(k≠0，k为常数)有下列性质：

(1)若k>0，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而减小；

(2)若k<0，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而增大．

4．反比例函数y＝－的图象大致是 (　D　)

5．已知反比例函数y＝.

(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k＜4；

(2)若在每一象限内，y随x的增大而增大，则k＞4.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】作出反比例函数y＝的图象，并根据图象解答下列问题：

(1)当x＝4时，求y的值；

(2)当y＝－2时，求x的值．

【互动探索】(引发学生思考)画函数图象的基本步骤是什么？已知自变量的值(或函数值)，将其代入函数表达式，即可求出对应的函数值(或自变量的值)．

【解答】列表：

描点、连线，函数y＝的图象如图所示：

(1)当x＝4时，y＝3.

(2)当y＝－2时，x＝－6.

【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可以简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数变化趋势；(3)连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性．

【例2】已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．

(1)求这个函数的表达式；

(2)判断点B(－1，6)、C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要求反比例函数的表达式，那么需要确定k的值；

(2)点在函数图象上，则点满足所给函数表达式．

【解答】(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，

∴3＝，解得k＝6，

∴这个函数的表达式为y＝.

(2)把B、C两点的坐标代入y＝，有6≠－6，2＝，

∴点B不在该函数图象上，点C在该函数图象上．

【互动总结】(学生总结，老师点评)已知过反比例函数图象的一点，即可用待定系数法求出其表达式．

【例3】若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，判断x1、x2、x3的大小关系．

【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．特别要注意的是，只有在同一象限，反比函数的增减性才适用．

【解答】∵反比例函数y＝－中，k＝－1＜0，

∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵y1＜0＜y2＜y3，

∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)，(x3，y3)两点均在第二象限，

∴x2＜x3＜x1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内，若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小；若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是 (　C　)

A．点(－2，－1)在它的图象上

B．当x＜0时，y随x的增大而减小

C．当x>0时，y随x的增大而增大

D．它的图象在第一、三象限

2．函数y＝的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则(　A　)

A．y1＜y2

B．y1＞y2

C．y1＝y2

D．y1、y2的大小不确定

3．函数y＝－的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

4．已知反比例函数y＝的图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例4】若ab<0，则正比例函数y＝ax和反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的(　　)

【互动探索】∵ab<0，∴a、b异号，分两种情况：(1)当a>0，b<0时，正比例函数y＝ax的图象在第一、三象限，且过原点，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；(2)当a<0，b>0时，正比例函数的图象在第二、四象限，且过原点，反比例函数图象在第一、三象限，选项C符合．故选C.

【答案】C

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！