初中数学华师大版八年级下册19.1 矩形综合与测试教学设计
展开19.1 矩 形
1 矩形的性质(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1.了解矩形的有关概念,理解并掌握矩形的有关性质.
2.经过探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理意识;掌握几何思维方法.
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的性质定理.
【教学难点】
会用矩形的性质定理进行推导证明
教学过程
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P98~P101的内容,完成下面练习.
【3 min反馈】
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.
3.矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴为通过对边中点的直线,有2条对称轴.
4.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“”,若错误请在括号里打“”.
(1)矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )
(2)平行四边形就是矩形.( )
(3)平行四边形具有的性质,矩形也具有.( )
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证:矩形的对角线相等.
【互动探索】(引发学生思考)画出图形,写出已知求证→根据矩形的性质定理1证明三角形全等→得出结论.
【解答】已知:四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线.
求证:AC=BD.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
又∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=BD,
即矩形的对角线相等.
【互动总结】(学生总结,老师点评)证明两个三角形全等是证明边、角相等的常用方法.
【例2】如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5 cm,求矩形对角线的长.
【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB与BD的数量关系→需确定∠ODA的度数.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD(矩形的对角线相等),
又∵OA=OC=AC,OB=OD=BD.
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD=×(180°-120°)=30°.
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),
∴BD=2AB=2×2.5=5 cm.
【互动总结】(学生总结,老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( B )
A.对边相互平行 B.对角线相等
C.对角线相互平分 D.对角相等
2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°,那么对角线与矩形短边的长度之比为( B )
A.3∶2 B.2∶1
C.1.5∶1 D.1∶1
3.已知:如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE=CF,求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
又∵AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,
即ED=BF.
又∵ED∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形,
∴BE=DF(平行四边形对边相等).
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,BD为矩形ABCD的一条对角线,延长BC至E,使CE=BD,连结AE,若AB=1,∠AEB=15°,求AD的长.
【互动探索】在Rt△ABD中,已知AB=1,要求AD的长,需先求出BD的长,由矩形的性质及∠AEB=15°,应怎样转化建立起它们之间的联系,才能得出结论?
【解答】连结AC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,∠ABC=90°,
∵BD=CE,
∴CE=CA,
∴∠AEB=∠CAE=15°,
∴∠ACB=∠AEB+∠CAE=30°,
∴BD=2AB=2,
∴AD==.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键是应用转化思想,将CE=BD转化为AC=CE,再结合三角形的外角性质,将∠AEB=15°转化为∠ACB=30°.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
练习设计
请完成本课时对应练习!
2 矩形的判定(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的判定方法及其证明.
【教学难点】
定理的证明方法及运用.
教学过程
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P102~P105的内容,完成下面练习.
【3 min反馈】
1.对角线相等的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.能够判断一个四边形是矩形的条件是( C )
A.对角线相等
B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
4.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线.
(1)判断:AB∥CD、BC∥AD.
(2)四边形ABCD是 ( C )
A.菱形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
(3)AC和BD有怎样的大小关系?为什么?
解:相等.因为矩形的对角线相等.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证:有三个角是直角的四边形是矩形.
【互动探索】(引发学生思考)画出图形,写出已知求证→判定两对直线平行→判定四边形是平行四边形→根据矩形的定义得证.
【解答】已知,四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
【互动总结】(学生总结,老师点评)证明四边形是矩形可以先证明四边形为平行四边形.
【例2】如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB∥CD且AB=CD,∠BAC=∠BDC,求证:四边形ABCD是矩形.
【互动探索】矩形的判定方法有哪些?此题能否直接判定为矩形?还是需要先判定为平行四边形,再判定为矩形?
【解答】∵AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,∠ABD=∠BDC,
∵∠BAC=∠BDC,∴∠ABD=∠BAC,
∴OA=OB,∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
【互动总结】(学生总结,老师点评)矩形的判定方法有多种,先证明四边形是平行四边形,再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列说法错误的是 ( D )
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.有两个角是直角的四边形是矩形
2.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想使该四边形成为矩形,只需再加上一个条件是答案不唯一,如:∠A=90°.(填上你认为正确的一个答案即可)
第2题
第3题
3.如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E、F.求证:四边形BFDE为矩形.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB.∴∠CDE+∠DEB=180°.∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°.∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°.∴四边形BFDE为矩形.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,△ABO是等边三角形,AB=4.求▱ABCD的面积.
【互动探索】结合△ABO是等边三角形,能判定四边形ABCD是什么特殊四边形?
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵△ABO是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°,
∴OA=OC=OB=OD=4,
∴AC=BD=2OA=8,
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),
∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角),
∴由勾股定理,得BC==4,
∴▱ABCD的面积是BC×AB=4×4=16.
【互动总结】(学生总结,老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形,再通过矩形的面积公式求解.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
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