近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编04 不等式

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

四、不等式

一、单选题

1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国（文））若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．18 B．10 C．6 D．4

3．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．（2020·浙江）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ）

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

6．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·全国（文））已知集合则（    ）

A． B．

C． D．

8．（2019·全国（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

9．（2019·浙江）设，数列中，， ,则

A．当 B．当

C．当 D．当

10．（2019·北京（理））若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7 B．1 C．5 D．7

11．（2018·北京（理））设集合则

A．对任意实数a，

B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1）

D．当且仅当 时,（2,1）

12．（2018·全国（理））设，，则

A． B．

C． D．

13．（2017·全国（理））设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是（    ）

A．－15 B．－9 C．1 D．9

14．（2017·天津（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

15．（2017·天津（理））设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为 (　　)

A．  B．1

C．  D．3

16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

A．  B．

C．  D．

17．（2017·浙江）    若x,y满足约束条件的取值范围是

A．[0,6] B．[0,4] C．[6,  D．[4,

二、多选题

18．（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

19．（2020·天津）已知，且，则的最小值为_________．

20．（2020·江苏）已知，则的最小值是_______．

21．（2020·全国（文））若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

22．（2020·全国（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

23．（2019·天津（文）） 设，，，则的最小值为__________.

24．（2019·天津（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

25．（2019·天津（理））设，则的最小值为______.

26．（2018·江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

27．（2018·北京（理））若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

28．（2018·天津（理））已知，且，则的最小值为_____________.

29．（2018·天津（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

30．（2017·山东（文））若直线过点，则的最小值为________．

31．（2017·天津（文））若，，则的最小值为___________.

32．（2017·北京（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．

34．（2017·山东（文））若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.

四、双空题

35．（2019·北京（文））若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________.

36．（2018·浙江）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

四、不等式（答案解析）

1．C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．

2．C

【解析】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

3．B

【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，取得最小值为.

故选：B.

4．C

【解析】

法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

5．C

【解析】因为，所以且，设，则的零点为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

6．B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最小值为：

且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.

故选：B.

【小结】

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

7．D

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【解析】

由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【小结】

本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

8．A

【分析】

根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.

【解析】

如图，平面区域D为阴影部分，由得

即A（2，4），直线与直线均过区域D，

则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

【小结】

本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．

9．A

【分析】

若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.

【解析】

若数列为常数列，则，由，

可设方程

选项A：时，，，

，

故此时不为常数列，

，

且，

，则，

故选项A正确；

选项B：时，，，

则该方程的解为，

即当时，数列为常数列，，

则，故选项B错误；

选项C：时，，

该方程的解为或，

即当或时，数列为常数列，或，

同样不满足，则选项C也错误；

选项D：时，，

该方程的解为，

同理可知，此时的常数列也不能使，

则选项D错误.

故选：A.

【小结】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.

10．C

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.

【解析】

由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C.

【小结】

本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.

11．D

【解析】若，则且，即若，则，

此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.

小结：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

12．B

【解析】.

    ,即

又  即 故选B.

13．A

【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

目标函数，z表示直线的纵截距，

，

数形结合知函数在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，

所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A

14．A

【解析】不等式为(*)，

当时，(*)式即为，，

又（时取等号），

（时取等号），所以，

当时，(*)式为，，

又（当时取等号），

（当时取等号），所以，

综上．故选A．

15．D

【解析】

目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.

16．B

【解析】

因为，且，所以

  ，所以选B.

17．D

【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），

目标函数的最小值为：4，目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．

18．ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD

19．4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

20．

【解析】∵ ∴且

∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.

21．7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，

平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，

由，得，，所以.故答案为：7.

22．1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：. 故答案为：1．

23．.

【解析】由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．

24．

【解析】，即，即，故的取值范围是．

25．

【解析】

，

当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．

26．9

【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

27．3

【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.

解析：作可行域，如图，平移直线，

由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.

28．

【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.

29．

【解析】①当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

30．8

【解析】因为直线过点，所以，

因为，所以，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8

31．4

【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.

32．

【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

33．

【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.

34．

【解析】 ，当且仅当 时取等号.

35．.    1.   

【解析】作出可行域如图阴影部分所示.

设,则.当直线经过点时,取最小值，经过点时,取最大值.

36．       

【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.