第16讲 离散型随机变量及分布列、均值与方差练习题

              第16讲 离散型随机变量及分布列、均值与方差

A组

一 选择题

1.随机变量的分布为下表所示，则 (　　)

A．13　　　B．11        C．2.2  D．2.3

【答案】A

【解析】由已知得：，∴

2.带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，表示放出的蜂中工蜂的只数，则时的概率是(　　)

A.　　　　B.       C.         D.

【答案】B

【解析】服从超几何分布，

3.随机变量的分布列如下：其中成等差数列，则(　　)

A.        B.         C.        D.

【答案】B

【解析】∵成等差数列，∴又，∴，∴

4.已知随机变量的分布列为：则等于(　　)

A.         B.         C.         D.

【答案】C

【解析】　，解得，.

二 填空题

5.某一离散型随机变量的概率分布如下，且，则（    ）．

【答案】0

【解析】由分布列的性质知：，

∴．又即

解得，∴．

6.设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且，，则

【答案】；

【解析】由分布列的概率和为1，有，

又，即；解得，故。

三 解答题

7.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

【解析】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3

当时，即第一次取得正品，试验停止，则

当时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

当时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

当时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则∴分布列为

∴

8.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量．设他所收租车费为

(Ⅰ)求租车费关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)若随机变量的分布列为

求所收租车费的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

 【解析】

(Ⅰ)依题意得，即；

(Ⅱ)

∵  ∴ （元）故所收租车费的数学期望为34.8元．

(Ⅲ)由，得　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟

9.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

（2）求这名同学总得分不为负分（即）的概率．

【解析】

（1）的可能取值为－300，－100，100，300．

；，

， ．

 所以的概率分布为

    ∴．

 （2）这名同学总得分不为负分的概率为 ．

10.设是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求和D（X）．

【解析】  由概率分布的性质，得：

，得。∴，

。

11．（2017年高考北京卷理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

【解析】

（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.

（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

故的期望.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

B组

一选择题

1.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是

A.706元  B．690元

C．754元  D．720元

【答案】A

节日期间预售的量：

则期望的利润：，

∴∴期望利润为706元．

2.设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则的值为(　　)

A．1           B.            C           D.

【答案】C

【解析】

设的分布列为：

“”表示试验失败，“”表示试验成功

，设失败的概率为，成功的概率为.由，则.

3.在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是(　　)

A．[0.4,1)            B．(0,0.6]               C．(0,0.4]             D．[0.6,1)

【答案】A

【解析】：，即，∴又∵，∴.

4..离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为(　　)

A        B.          C.        D

【答案】D

【解析】由，知，解得.

故.

二 填空题

5.某射手射击所得环数的分布列如下：

已知的期望，则的值为________．

【答案】0.4

【解析】依题得即由此解得

6. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为_______.

【答案】200

【解析】种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则，∴，故

三 解答题

7.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为和，它们的概率分布分别为

    （1）求的值；

    （2）计算和的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．

【解析】 （1）由分布列的性质知，，即。

（2）， ，

，

。

    由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲．

8.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得

，

，

因为，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

9.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.    （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；    （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，

则，

该选手被淘汰的概率

．

（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，

则．

该选手被淘汰的概率

 ．

（Ⅱ）的可能值为，， ，

      ．

的分布列为

∴．

10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;

(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.

 [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件,那么 ,解得

(2)由题意,；

 ；

所以,随机变量的概率分布列为:

 故随机变量X的数学期望为: .

                               C组

一 选择题

1.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和(单位：分)的数学期望为(　　)

A．0.9   B．0.8

C．1.2   D．1.1

【答案】A

【解析】依题意得，得分之和的可能取值分别是0,1,2，且，，，因此，这两个同学各猜1次，得分之和(单位：分)的数学期望为.

2.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是(　　)

A. B.

C.   D.

【答案】C

【解析】发球次数地分布列如下表：

所以期望，解得(舍去)或，又，则.

3.袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时的值是2)．则随机变量的数学期望为(　　)

A             B.           C.            D.

【答案】D

【解析】依题意得，的所有可能取值是，且，，，因此

4.设. 随机变量取值的概率均为0.2,随机变量取的概率也为0.2. 若记分别为、的方差,则 （　　）

A．. B．. C．.

D．与的大小关系与的取值有关.

【答案】A

【解析】,

,

记,

同理得 ,

只要比较与有大小,

,所以,选.

二 填空题

5. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记为该毕业生得到面试的公司个数．若，则随机变量X的数学期望EX＝________.

【答案】

【解析】∵，

∴，随机变量的可能值为0,1,2,3，因此，，，，因此

6.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3

正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从

正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为_________

 【答案】

 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

三 解答题

7.在一次人才招聘会上，有三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘三种技工被录用的概率分别是0.8,0.5,0.2(允许受聘人员同时被多种技工录用)．

(1)求该技术人员被录用的概率；

(2)设表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．

①求的分布列和数学期望；

②“设函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

解：记该技术人员被三种技工分别录用的事件为，则

(1)该技术人员被录用的概率.

(2)设该技术人员被录用的工种数为，则，所以的所有可能取值为0,2.

①；

所以的分布列为

所以.

②当时，，则函数f(x)是奇函数，

当时，，则函数f(x)是偶函数．

所以所求的概率.

8.设随机变量的概率分布为

    求。

解法一：

，

解法二：由解法一可求得。

又，

∴。

9.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率；（2）获赔金额的分布列与期望．

【解析】设表示第辆车在一年内发生此种事故，

  由题意知独立，且.

 （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

 .

 （Ⅱ）的所有可能值为.

 ，

 .

 综上知，的分布列为  

 求的期望有两种解法：

 解法一：由的分布列得（元）

 解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，

 则有分布列

 故.

 同理得 .

 综上有（元）.

10.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.

(Ⅰ) 求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则 ,    

(1)记“甲获胜”为事件,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,

(2)的所有可能为:

由独立性知:

综上知,有分布列

从而,(次)