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数学11.3 公式法课文配套课件ppt
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这是一份数学11.3 公式法课文配套课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了课堂讲解，课时流程，逐点导讲练，课堂小结，作业提升，知识点，a＋6，分解因式x4－1，知识小结，易错小结等内容，欢迎下载使用。
直接用平方差公式分解因式先提取公因式再用平方差公式分解因式
知识回顾1. 什么叫把多项式分解因式？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项 式的分解因式.2. 已学过哪一种分解因式的方法？ 提公因式法导入新知如何分解a2－b2呢？
直接用平方差公式分解因式
实际上，把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到b2＝(a＋b)(a－b).这样就成为分解因式的一个公式了.试着将下面的多项式分解因式：(1) p2－16=________；(2) y2－4 =________ ；(3) x2－ =________；(4) 4a2－b2 =________.
平方差公式法：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 这样就成为分解因式的一个公式了．(1)上面公式特点：公式的左边是一个两项式，都能写成平方形式且符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差．
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．(3)乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解，在今后的学习中要加以区分，不能混淆．即
把下列各式分解因式：(1)4x2－9y2 ； (2)(3m－1)2－9.
(1) 4x2－9y2 ＝(2x)2－(3y)2＝(2x＋3y)(2x－3y).
(2)(3m－1)2－9＝(3m－1)2－32＝(3m－1＋3)(3m－1－3)＝(3m＋2)(3m－4).
解题的关键是熟练掌握平方差公式的特点： ① 可以看作是二项式； ② 这两项都必须是完全平方式； ③ 这两项的符号相反．
下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来.(1)4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)；(2)ab2－9a3 ＝(b＋3a)(b－3a).
(1)不正确，4x2＝(2x)2，正确结果应为4x2－y2＝(2x)2－y2＝(2x＋y)(2x－y)．(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解，正确的应为ab2－9a3＝a(b2－9a2)＝a(b＋3a)(b－3a)．
运用公式法分解因式：(1)25a2－16b2； (2)a2b2－ c2；(3)(a＋2b)2－4；(4)x4－25x2．
(1)25a2－16b2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．(2)a2b2－ c2＝(ab)2－ .(3)(a＋2b)2－4＝(a＋2b)2－22＝(a＋2b＋2)(a＋2b－2).(4)x4－25x2＝(x2)2－(5x)2＝(x2＋5x)(x2－5x) ＝x2(x＋5)(x－5)或x4－25x2＝x2(x2－25) ＝x2(x2－52)＝x2(x＋5)(x－5)．
把下列各式分解因式.(1)256－x2； (2)9x2－64；(3) x2－m2n2.
(1)256－x2＝162－x2＝(16＋x)(16－x)．(2)9x2－64＝(3x)2－82＝(3x＋8)(3x－8)．(3) x2－m2n2＝ －(mn)2
下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解；如果不可以，请说明理由.(1)x2＋y2；(2)－x2＋y2；(3)－x2－y2；(4) x2－81.
(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．(2)可以，－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．(3)不可以，因为－x2－y2＝－(x2＋y2)，不符合平方差公式的结构特点．(4)可以，x2－81＝x2－92＝(x＋9)(x－9)．
下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2 C．－m2－n2 D．4m2－ n2下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( )①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【中考·百色】分解因式：16－x2＝( )A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2【中考·北海】下列因式分解正确的是( )A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )A．a(a－1) B．a(a－2)C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)下列分解因式错误的是( )A．a2－1＝(a＋1)(a－1)B．1－4b2＝(1＋2b)(1－2b)C．81a2－64b2＝(9a＋8b)(9a－8b)D．(－2b)2－a2＝(－2b＋a)(2b＋a)
【中考·衢州】如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为________．【中考·益阳】若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．【中考·金华】已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是________．
先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
把下列各式分解因式：(1)a3－16a； (2)2ab3－2ab．
(1) a3－16a ＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
(2) 2ab3－2ab ＝2ab(b2－1)＝(b－1)(b＋1).
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的 多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因 式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止．(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
分解因式：9a4－a2.
9a4－a2＝a2(9a2－1)＝a2[(3a)2－12]＝a2(3a＋1)(3a－1)．
把下列各式分解因式：(1)4x2－100； (2)12y4－3y2；(3)x3－64x； (4)2a4－50a2
(1)4x2－100＝4(x2－25)＝4(x2－52)＝4(x＋5)(x－5).(2)12y4－3y2＝3y2(4y2－1)＝3y2[(2y)2－12] ＝3y2(2y＋1)(2y－1)．(3)x3－64x＝x(x2－64)＝x(x2－82)＝x(x＋8)(x－8).(4)2a4－50a2＝2a2(a2－25)＝2a2(a＋5)(a－5)．
把下列各式分解因式：(1)(x＋1)2－a2； (2)(2x＋3)2－4m2；(3)(2x＋3)2－(3x－4)2；(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2．
(1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)．(2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋2m) (2x＋3－2m)．
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3)－(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)．(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)]2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)＋(2x－y)][2(3x＋y)－(2x－y)]＝(8x＋y)(4x＋3y)．
如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径为r的四个小圆孔.若R=8.6 cm，r=0.7 cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
根据题意得，大圆的面积SR＝πR2＝π×8.62(cm2)，四个小圆孔的面积Sr总＝4πr2＝4π×0.72(cm2)．所以剩余钢板的面积S剩＝SR－Sr总＝π×8.62－4π×0.72＝π(8.62－4×0.72)＝π[8.62－(2×0.7)2]＝π(8.62－1.42)＝π(8.6＋1.4)×(8.6－1.4) ≈3.14×10 ×7.2＝226.08(cm2)．所以剩余钢板的面积为226.08 cm2.
x4－1＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
【中考·广东】把x3－9x分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－9) B．x(x－3)2C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )A．x3－x＝x(x2－1)B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )A．我爱美 B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【中考·贺州】n是整数，式子 ×[1－(－1)n](n2－1)的计算结果( )A．是0 B．总是奇数C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
1. 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2. 运用平方差公式因式分解需注意：(1)多项式的特征：有两个平方项；两个平方项异号.(2)当多项式有公因式时，先提公因式，再用平方差公 式进行因式分解；(3)分解因式一定要分解到不能再分解为止.
1. 分解因式：(a＋b)2－4a2.
(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
2. 分解因式：a4－1.
a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
易错点：分解不彻底导致出错
本题易犯的错误是分解不彻底，要注意到a2－1还可以继续分解，应分解到不能再分解为止．
直接用平方差公式分解因式先提取公因式再用平方差公式分解因式
知识回顾1. 什么叫把多项式分解因式？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项 式的分解因式.2. 已学过哪一种分解因式的方法？ 提公因式法导入新知如何分解a2－b2呢？
直接用平方差公式分解因式
实际上，把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到b2＝(a＋b)(a－b).这样就成为分解因式的一个公式了.试着将下面的多项式分解因式：(1) p2－16=________；(2) y2－4 =________ ；(3) x2－ =________；(4) 4a2－b2 =________.
平方差公式法：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 这样就成为分解因式的一个公式了．(1)上面公式特点：公式的左边是一个两项式，都能写成平方形式且符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差．
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．(3)乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解，在今后的学习中要加以区分，不能混淆．即
把下列各式分解因式：(1)4x2－9y2 ； (2)(3m－1)2－9.
(1) 4x2－9y2 ＝(2x)2－(3y)2＝(2x＋3y)(2x－3y).
(2)(3m－1)2－9＝(3m－1)2－32＝(3m－1＋3)(3m－1－3)＝(3m＋2)(3m－4).
解题的关键是熟练掌握平方差公式的特点： ① 可以看作是二项式； ② 这两项都必须是完全平方式； ③ 这两项的符号相反．
下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来.(1)4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)；(2)ab2－9a3 ＝(b＋3a)(b－3a).
(1)不正确，4x2＝(2x)2，正确结果应为4x2－y2＝(2x)2－y2＝(2x＋y)(2x－y)．(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解，正确的应为ab2－9a3＝a(b2－9a2)＝a(b＋3a)(b－3a)．
运用公式法分解因式：(1)25a2－16b2； (2)a2b2－ c2；(3)(a＋2b)2－4；(4)x4－25x2．
(1)25a2－16b2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．(2)a2b2－ c2＝(ab)2－ .(3)(a＋2b)2－4＝(a＋2b)2－22＝(a＋2b＋2)(a＋2b－2).(4)x4－25x2＝(x2)2－(5x)2＝(x2＋5x)(x2－5x) ＝x2(x＋5)(x－5)或x4－25x2＝x2(x2－25) ＝x2(x2－52)＝x2(x＋5)(x－5)．
把下列各式分解因式.(1)256－x2； (2)9x2－64；(3) x2－m2n2.
(1)256－x2＝162－x2＝(16＋x)(16－x)．(2)9x2－64＝(3x)2－82＝(3x＋8)(3x－8)．(3) x2－m2n2＝ －(mn)2
下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解；如果不可以，请说明理由.(1)x2＋y2；(2)－x2＋y2；(3)－x2－y2；(4) x2－81.
(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．(2)可以，－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．(3)不可以，因为－x2－y2＝－(x2＋y2)，不符合平方差公式的结构特点．(4)可以，x2－81＝x2－92＝(x＋9)(x－9)．
下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2 C．－m2－n2 D．4m2－ n2下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( )①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【中考·百色】分解因式：16－x2＝( )A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2【中考·北海】下列因式分解正确的是( )A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )A．a(a－1) B．a(a－2)C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)下列分解因式错误的是( )A．a2－1＝(a＋1)(a－1)B．1－4b2＝(1＋2b)(1－2b)C．81a2－64b2＝(9a＋8b)(9a－8b)D．(－2b)2－a2＝(－2b＋a)(2b＋a)
【中考·衢州】如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为________．【中考·益阳】若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．【中考·金华】已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是________．
先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
把下列各式分解因式：(1)a3－16a； (2)2ab3－2ab．
(1) a3－16a ＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
(2) 2ab3－2ab ＝2ab(b2－1)＝(b－1)(b＋1).
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的 多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因 式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止．(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
分解因式：9a4－a2.
9a4－a2＝a2(9a2－1)＝a2[(3a)2－12]＝a2(3a＋1)(3a－1)．
把下列各式分解因式：(1)4x2－100； (2)12y4－3y2；(3)x3－64x； (4)2a4－50a2
(1)4x2－100＝4(x2－25)＝4(x2－52)＝4(x＋5)(x－5).(2)12y4－3y2＝3y2(4y2－1)＝3y2[(2y)2－12] ＝3y2(2y＋1)(2y－1)．(3)x3－64x＝x(x2－64)＝x(x2－82)＝x(x＋8)(x－8).(4)2a4－50a2＝2a2(a2－25)＝2a2(a＋5)(a－5)．
把下列各式分解因式：(1)(x＋1)2－a2； (2)(2x＋3)2－4m2；(3)(2x＋3)2－(3x－4)2；(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2．
(1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)．(2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋2m) (2x＋3－2m)．
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3)－(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)．(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)]2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)＋(2x－y)][2(3x＋y)－(2x－y)]＝(8x＋y)(4x＋3y)．
如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径为r的四个小圆孔.若R=8.6 cm，r=0.7 cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
根据题意得，大圆的面积SR＝πR2＝π×8.62(cm2)，四个小圆孔的面积Sr总＝4πr2＝4π×0.72(cm2)．所以剩余钢板的面积S剩＝SR－Sr总＝π×8.62－4π×0.72＝π(8.62－4×0.72)＝π[8.62－(2×0.7)2]＝π(8.62－1.42)＝π(8.6＋1.4)×(8.6－1.4) ≈3.14×10 ×7.2＝226.08(cm2)．所以剩余钢板的面积为226.08 cm2.
x4－1＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
【中考·广东】把x3－9x分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－9) B．x(x－3)2C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )A．x3－x＝x(x2－1)B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )A．我爱美 B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【中考·贺州】n是整数，式子 ×[1－(－1)n](n2－1)的计算结果( )A．是0 B．总是奇数C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
1. 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2. 运用平方差公式因式分解需注意：(1)多项式的特征：有两个平方项；两个平方项异号.(2)当多项式有公因式时，先提公因式，再用平方差公 式进行因式分解；(3)分解因式一定要分解到不能再分解为止.
1. 分解因式：(a＋b)2－4a2.
(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
2. 分解因式：a4－1.
a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
易错点：分解不彻底导致出错
本题易犯的错误是分解不彻底，要注意到a2－1还可以继续分解，应分解到不能再分解为止．
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