冀教版30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数教学演示课件ppt

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用一般式(三点式)确定二次函数解析式用顶点式确定二次函数解析式用交点式确定二次函数解析式
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
用一般式（三点式）确定二次函数的解析式
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下四步：第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一 个三元一次方程组；第三步：解方程组即可求出 a，b，c的值；第四步：写出函数解析式.
例1 已知三点A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求由这 三点所确定的二次函数的表达式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数 表达式中，得
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋1.
对上面的抛物线形水流问题，请以地平线ACF为 横轴，以F为原点建立直角坐标系，并解决相应的 问题.
设所求二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c. 将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数表达式中，得 解得∴所求二次函数表达式为y＝x2－2x＋8.
2 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点． (1)求二次函数的表达式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一 个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋ 1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于 二次函数的值．
(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)， B(0，－1)和C(4，5)三点，∴ ∴a＝ ，b＝－ ，c＝－1. ∴二次函数的表达式为y＝ x2－ x－1.(2)当y＝0时， 得 x2－ x－1＝0， 解得x1＝2，x2＝－1， ∴点D的坐标为(－1，0)．
(3)如图． 当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
【中考·黑龙江】如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上,∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝－ x2＋bx＋c经过B，D两点．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，点P是抛物线上一点， 直线OP把△BOD的周长分成 相等的两部分，求点P的坐标．
(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到 Rt△COD， ∴CD＝AB＝1，OA＝OC＝2， 则点B(2，1)，D(－1，2)，代入表达式， 得： 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－ x2＋ x＋ ；
(2)如图，设OP与BD交于点Q.  ∵直线OP把△BOD的周长分 成相等的两部分， 且OB＝OD， ∴DQ＝BQ，即点Q为BD的中点， ∴点Q的坐标为 设直线OP对应的函数表达式为y＝kx， 将点Q的坐标代入，得 k＝ ，
解得k＝3，∴直线OP对应的函数表达式为y＝3x， 代入y＝－ x2＋ x＋ ， 得－ x2＋ x＋ ＝3x， 解得x＝1或x＝－4(舍去)． 当x＝1时，y＝3，∴点P的坐标为(1，3)．
用顶点式确定二次函数表达式
二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)求这条抛物线的解析式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3) 代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的解析 式为：y= (x-4)2-1.
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
1 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)， E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其 中三个点． (1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2 ＋k(a>0)上． (2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值．
(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1. 若点C(－1，2)在抛物线上， 则点C关于直线x＝1的对称点(3，2)也在这条抛 物线上． ∴C，E两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)点A不在抛物线上． 理由：若点A(1，0)在抛物线y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上，则k＝0. ∴y＝a(x－1)2(a＞0)． 易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上． 由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上． ∴与抛物线经过其中三个点矛盾． ∴点A不在抛物线上．
由(2)可知点A不在抛物线上．结合(1)的结论易知B，D一定在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．①若点C(－1，2)在此抛物线上， 则 解得②若点E(4，2)在此抛物线上， 则 解得 综上可知， 或
用交点式确定二次函数解析式
例3 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于 点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物 线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移 后抛物线的解析式．
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的 值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加 右减得出抛物线的解析式为y＝－x2，进而得出答案．
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1， 故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3， ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标为(2，1)． (2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到 的抛物线的解析式为y＝－x2， 平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移 方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵 坐标互为相反数即可.（2）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择 交点式.
【中考·杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同 一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜ n，求x0的取值范围．
(1)由函数y1的图象经过点(1，－2)， 得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1. 当a＝－2时，函数y1的表达式为 y＝(x－2)(x＋2－1)， 即y＝x2－x－2； 当a＝1时，函数y1的表达式为y＝(x＋1)(x－2)， 即y＝x2－x－2. 综上所述，函数y1的表达式为y＝x2－x－2.
(2)当y1＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0， 解得x＝－a或x＝a＋1， 所以y1的图象与x轴的交点是 (－a，0)，(a＋1，0)． 当y2＝ax＋b的图象经过(－a，0)时， －a2＋b＝0，即b＝a2； 当y2＝ax＋b的图象经过(a＋1，0)时， a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.
(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x＝ . 当P在对称轴的左侧(含顶点)时， y随x的增大而减小， 因为(1，n)与(0，n)关于直线x＝ 对称， 所以由m＜n，得0＜x0≤ ； 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m＜n，得 ＜x0＜1. 综上所述，x0的取值范围为0＜x0＜1.
待定系数法求二次函数解析式