北京课改版八年级上册第十二章 三角形12.5 全等三角形的判定优秀学案

全等三角形

知识点：全等三角形的判定

         温故

1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如△ABC≌△DEF。符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

         知新

判定方法一：边边边（SSS）

有两条边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）。这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。

【例】如下图，已知：△ABC与△DEF的三条边对应相等，求证：△ABC≌△DEF．

证明：在△ABC与△DEF中，        

∴△ABC≌△DEF（SSS）．
※利用SSS作一个角等于已知角：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，说明的依据是_________．

判定方法二：边角边（SAS）

有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．（简称SAS）

符号语言：                            

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

图示：

※两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形不一定全等。

判定方法三：角边角（ASA）

有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA．

【例】如下图，已知∠D=∠E，AD＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．

判定方法四：角角边（AAS）

有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS。这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等。

【例】如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．

         老师有话说

在学完全等三角形的判定之后，全等三角形的知识已经形成了一个内部循环。即，我们可以通过三角形全等得出相应的角与边相等，反过来我们可以通过三角形一定特定的角与边相等，证明出三角形全等。

另外，在证明三角形全等的时候一定要根据题干中已知条件来选择适合的证明方法。例如，题中条件更多的条件与边相关，那在选择方法时就应首先考虑SSS与SAS。

         【当堂演练】

1．如图所示，AB∥CD，OB＝OD，则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.

2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是___________．

3．如图所示，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：△ABC≌△DEF．

4．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：AB＝AE.

5.如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：△ACE≌BDF．

         【百炼成钢】

1.已知：如图，AB=CD，BE=DF，AF=EC。求证：BF=DE

2.已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。求证：AG平分∠BAC

3．如图，AB=CD，AD=BC，O是BD上任意一点，边O点的直线分别交AD，BC于M，N点，求证：∠1=∠2。

4．如图，已知AC//FD，AF//CD，FB//EC。求证：△AFB≌△DCE。

5．如图，已知AD//BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C。求证：DE=EC。

6．已知：如图，在△ABC中，延长AC边中线BE到G，使EG=BE，延长AB边中线CD到F，使DF=CD。求证：G，A，F在同一直线上。

7．已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。

8．如图，EA平分∠CAB，且AB=AC+BD，E为CD中点，求证：BE平分∠ABD。

9．（2014年理工附期中）已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE。求证：∠BAE=∠CAE。

证明　在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△ACE。（第一步）

∴∠BAE=∠CAE。（第二步）

问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确过程。