陕西省西安市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份陕西省西安市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了如图所示的几何体左视图是，若k＞1，关于x的方程2x2﹣，已知点A等内容，欢迎下载使用。
西安市2021—2022学年度第一学期初三年级期中考试数学试题
命题人∶张博妮
一、 选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．如图所示的几何体左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．12 C．10 D．20
3． 如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF
③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根
C．有两个负根 D．没有实数根
5．在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
6．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（　　）
A．BD：AB＝CE：AC B．DE：BC＝AB：AD
C．AB：AC＝AD：AE D．AD：DB＝AE：EC
7．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则点E的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象有且只有一个交点，则b的值为（　　）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
9．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
10．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（　　）

A．9米 B．28米 C．米 D．（14+2）米
二. 填空题（共4小题，每小题3分。计12分 ）
11．如果函数y＝（k+1）是反比例函数，那么k＝　 　．
12．设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝　 　．
13．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，则的值为 　 　．

14．如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1•k2的值为　 　．

三. 解答题（共12小题，计78分，解答题写出过程）
15.（本题满分4分）计算：．
16．（本题满分8分）解一元二次方程：（1）x2+3x+＝0 （2）（x﹣2）（x﹣4）＝2．
17．（本题满分4分）解分式方程：＝1．
18．（本题满分5分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，求作线段DE，使DE∥BC，且DE＝DB（保留作图痕迹，不写作法）

19．（本题满分7分）一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m，n，若把m，n作为点的横，纵坐标，那么点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率是多少？
20．（本题满分6分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．

21．（本题满分6分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．

22．（本题满分7分）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级　 　名学生，并将频数分布直方图补充完整；
（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有　 　名；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为　 　°．
（4）如果第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

23．（本题满分6分）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；

24．（本题满分7分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

25．（本题满分8分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝10，点B在反比例函数y＝图象上，且点B的横坐标为3．
（1）求OB的长；
（2）求过点A的双曲线的解析式．

26．（本题满分10分）【问题探究】
（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF＝AE，并说明理由；
（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）

























西安市
2021—2022学年度第一学期初三年级期中考试数学试题
参考答案与试题解析
二、 选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．如图所示的几何体左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看，是一列两个矩形，矩形的中间用虚线隔开．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．12 C．10 D．20
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
3.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF
③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可
②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；
③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG＝∠FCB＝45°，由∠ACF＝45°，推出∠ACB＝90°，显然不可能，故③错误，
④由△ADF∽△GBF，可得＝＝，由EG∥CD，推出＝＝，推出＝，由AD＝AE，EG•AE＝BG•AB，故④正确，
【解答】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，
∴∠ADE＝×90°＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵四边形ABCD矩形，
∴AD＝BC，
∴AE＝BC
②∵∠BFE＝90°，∠BEF＝∠AED＝45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
∴则有EF＝BF
又∵∠AEF＝∠DFB+∠ABF＝135°，∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝135°，
∴∠AEF＝∠CBF
在△AEF和△CBF中，AE＝BC，∠AEF＝∠CBF，EF＝BF，
∴△AEF≌△CBF（SAS）
∴AF＝CF
③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，
∴∠FBG＝∠FCB＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠DFC＝90°，显然不可能，故③错误，
④∵∠BGF＝180°﹣∠CGB，∠DAF＝90°+∠EAF＝90°+（90°﹣∠AGF）＝180°﹣∠AGF，∠AGF＝∠BGC，
∴∠DAF＝∠BGF，∵∠ADF＝∠FBG＝45°，
∴△ADF∽△GBF，
∴＝＝，
∵EG∥CD，
∴＝＝，
∴＝，∵AD＝AE，
∴EG•AE＝BG•AB，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根
C．有两个负根 D．没有实数根
【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．
【解答】解：方程的Δ＝（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）＝8k+9，
∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．
∴x1+x2＝＞2，
x1x2＝＞，
所以两根为正根．
故选：B．
【点评】总结：
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2＝，x1x2＝．
5．在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【分析】由于通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，由此可以确定摸到盒子中黑色球的概率，然后就可以求出盒子中黑色球的个数．
【解答】解：∵通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，
∴摸到盒子中黑色球的概率为1﹣45%﹣15%＝40%，
∴盒子中黑色球的个数为40×40%＝16．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
6．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（　　）
A．BD：AB＝CE：AC B．DE：BC＝AB：AD
C．AB：AC＝AD：AE D．AD：DB＝AE：EC
【分析】根据已知选项只要能推出＝或＝，再根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出选项．
【解答】
解：A、∵BD：AB＝CE：AC，
∴＝，
∴＝，
∴1﹣＝1﹣，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
B、∵根据DE：BC＝AB：AD不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE＝∠B，
∴不能推出DE∥BC，错误，故本选项正确；
C、∵AB：AC＝AD：AE，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
D、∵AD：DB＝AE：EC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适中．
7．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则点E的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据正方形的性质设B点坐标为（a，a），则a＝，解得a＝1，即B（1，1），再设E点坐标为（1+b，b），得到（1+b）•b＝1，求出b的值即可解决问题；
【解答】解：设B点坐标为（a，a），
∴a＝，解得a＝1，即B（1，1），
设E点坐标为（1+b，b），
而E点在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（1+b）•b＝1，解得b＝，
而b＞0，
∴b＝，
∴点E的横坐标＝1+＝．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象有且只有一个交点，则b的值为（　　）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】一次函数y＝x+b和反比例函数y＝﹣联立，得到关于x的一元二次方程，根据“一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象有且只有一个交点”，得判别式Δ＝0，得到关于b的一元二次方程，解之即可得到答案．
【解答】解：一次函数y＝x+b和反比例函数y＝﹣联立得：
，
则x2﹣bx+4＝0，
根据题意得：
△＝b2﹣16＝0，
解得：b＝±4，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握一元二次方程的判别式公式是解题的关键．

9．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝2，y3＝﹣6×2＝﹣12，
又∵﹣12＜2＜6，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
10．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（　　）

A．9米 B．28米 C．米 D．（14+2）米
【分析】先根据CD的长以及坡角求出坡面上的影子在地面上的实际长度，即可知道电线杆的总影长，从而根据1米杆的影长为2米来解答．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE＝8sin30°＝4；
CE＝8cos30°＝4；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF＝2DE＝8
∴BF＝BC+CE+EF＝20+4+8＝28+4
∴电线杆AB的长度是（28+4）＝14+2米．
故选：D．

【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．注意：在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．
二、填空题（共4小题，每小题3分。计12分 ）
11．如果函数y＝（k+1）是反比例函数，那么k＝　 　．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令k2﹣2＝﹣1、k+1≠0即可．
【解答】解：根据题意k2﹣2＝﹣1，解得k＝±1；
又k+1≠0，则k≠﹣1；
所以k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
12．设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝　 　．
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣2，根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，则m2＝m+2，n2＝n+2，然后利用整体代入的方法计算两代数式的值．
【解答】解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，
∴m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，
∴m2＝m+2，n2＝n+2，
∴m2+n+mn＝m+2+n+mn＝m+n+mn+2＝1﹣2+2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．
13．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，则的值为 　 　．

【分析】由黄金分割点的定义得AD＝BC＝AB，＝＝，即可求解．
【解答】解：∵C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴较长线段AD＝BC＝AB，＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AD和BD（AD＞BD），且使AD是AB和BD的比例中项（即AB：AD＝AD：BD），叫做把线段AB黄金分割，点D叫做线段AB的黄金分割点．其中AD＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
14．如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1•k2的值为　 　．

【分析】设一次函数的解析式为y＝k1x+3，反比例函数解析式y＝，都经过B点，得等式k1x2+3x﹣k2＝0，得到再由AB＝BC，点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，列出x1，x2关系等式，据此可以求出k1•k2的值．
【解答】解：k1•k2＝﹣2，是定值．理由如下：
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），
∴设一次函数的解析式为y＝k1x+3，反比例函数解析式y＝，
∴k1x+3＝，
整理得k1x2+3x﹣k2＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵AB＝BC，
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，
∴x1+x2＝3x1＝﹣，x1x2＝2x12＝﹣，
∴﹣＝（﹣）2，
整理得，k1k2＝﹣2，是定值．
故答案为﹣2．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是运用好AB＝BC这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．
三．解答题（共12小题，计78分，解答题写出过程）
15.（本题满分4分）计算：．
【分析】根据零指数幂与负整数指数幂得到原式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3-2++4
＝5+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．也考查了零指数幂与负整数指数幂．
16．（本题满分8分）解一元二次方程：（1）x2+3x+＝0 （2）（x﹣2）（x﹣4）＝2．
【分析】（1）利用配方法求得方程的解即可；
（2）化为一般形式，利用配方法求得方程的解即可．

【解答】解：（1）x2+3x+＝0
x2+3x＝﹣
x2+3x+＝﹣+
（x+）2 ＝
x+＝，x+＝﹣
解得：x1＝，x2＝；
（2）（x﹣2）（x﹣4）＝2
x2﹣6x+6＝0
x2﹣6x+9＝3
x﹣3＝0，x﹣3＝﹣
解得：x1＝3﹣，x2＝3+．
【点评】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
17．（本题满分4分）解分式方程：＝1．
【分析】根据分式方程的解法求解即可．
【解答】解：两边都乘以（x+3）（x﹣3）得，
（x﹣2）（x﹣3）﹣3（x+3）＝x2﹣9，
即x2﹣5x+6﹣3x﹣9＝x2﹣9，
解得x＝，
经检验x＝是原方程的解，
所以原方程的解为x＝．
【点评】本题考查分式方程求解的方法是正确求解的前提，检验是解分式方程不可缺少的步骤．
18．（本题满分5分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，求作线段DE，使DE∥BC，且DE＝DB（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作∠ABC的角平分线交AC于E，作ED∥BC交AB于D，线段DE即为所求．
【解答】解：如图，线段DE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．（本题满分7分）一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m，n，若把m，n作为点的横，纵坐标，那么点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率是多少？
【分析】投掷两次，数目较多，可采用列表法求解．然后从表中找到m•n＝12的数据占总数据的多少．
【解答】解：列表得：

可得，以（m，n）为坐标的点A共有36个，而只有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）四个点在函数y＝的图象上，
所以所求概率是．
【点评】考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的且数目较多的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．反比例函数上的点的横纵坐标的积为反比例函数的比例系数．
20．（本题满分6分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．

【分析】（1）根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，再利用AD∥AC得到∠FAC＝∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可得到菱形的边长；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC＝4，则OA＝AC＝2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE＝，所以EF＝2OE＝2．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝5，
OE＝＝，
∴EF＝2OE＝2．
【点评】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形AECF为菱形和求出菱形的边长是解本题的关键．
21．（本题满分6分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．

【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当＝时，△ABP∽△CDP，则＝；当＝时，△ABP∽△PDC，即＝；然后分别解方程求出x即可．
【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，
解得x＝
BP＝14﹣＝8.4；
当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似
22．（本题满分7分）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级　 　名学生，并将频数分布直方图补充完整；
（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有　 　名；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为　 　°．
（4）如果第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

【分析】（1）由第三组的人数和所占百分比求出本次调查抽取的人数，即可解决问题；
（2）由该年级总人数乘以考试成绩120分以上（合120分）学生所占的比例即可；
（3）由360°乘以第二组所占的比例即可；
（4）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了该年级的学生人数为：20÷40%＝50（名），
则第五组的学生人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14＝4（名），
故答案为：50，
将频数分布直方图补充完整如下：

（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有：1500×＝540（名），
故答案为：540；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为：360°×＝57.6°，
故答案为：57.6；
（4）∵第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，
∴第一组（75～90）中有3名是男生，第五组（135﹣150）中有3名女生，
画树状图如图：

共有16个等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果有10个，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图和扇形统计图．
23．（本题满分6分）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；

【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝20，
把y＝20代入＝中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
24．（本题满分7分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；

（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）＝×100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米；
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．

25．（本题满分8分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝10，点B在反比例函数y＝图象上，且点B的横坐标为3．
（1）求OB的长；
（2）求过点A的双曲线的解析式．

【分析】（1）由点B的横坐标为3，代入y＝得到点B的纵坐标，解直角三角形即可；
（2）要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A作AC⊥x轴，根据条件得到△ACO∽△ODB，得到＝2，求得点A的坐标，然后用待定系数法即可．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，
∵点B在反比例函数y＝图象上，且点B的横坐标为3，
∴y＝4，
∴BD＝4，OD＝3，
∴OB＝＝5；

（2）过点A作AC⊥x轴于C，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠CAO＝∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠CAO＝∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴＝2，
∴AC＝6，OC＝8，
∴A（﹣6，8），
设过A 的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝﹣48，
∴过点A的双曲线的解析式y＝﹣．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．

26．（本题满分10分）【问题探究】
（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF＝AE，并说明理由；
（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD＝30°，得出EF＝AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN＝30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD＝30°，
∵EF⊥AB，
∴EF＝AE；

（2）如图②，作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时最小，最小为CN的长．
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN＝BC•sin60°＝2×＝，
∴MN+CM＝AM+MC＝，
即的最小值为．

（3）如图③，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN＝30°，
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求．
在Rt△ABD中，AD＝＝＝480（km），
在Rt△MBD中，∠MBD＝∠MAF＝30°，得MD＝BD•tan30°＝（km），
所以AM＝km．
【点评】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．