第四节　基本不等式及其应用课件PPT

这是一份第四节　基本不等式及其应用课件PPT，共32页。

学习要求:1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式 ≤ (1)基本不等式成立的条件:①    a>0,b>0    .(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.▶提醒　在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.
2.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为②         ,几何平均数为③         ,基本 不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是④    2     (简记为积 定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是⑤         (简记为和定 积最大).
1.基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤ (a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).(2)a+b≥2 (a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
2.几个重要的结论(1) ≥ (a,b∈R).(2) + ≥2(ab>0).(3) ≤ ≤ (a>0,b>0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)不等式a2+b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的. (　　)(2)函数y=x+ 的最小值是2. (　　)(3)函数f(x)=sin x+ 的最小值为4. (　　)(4)“x>0且y>0”是“ + ≥2”的充要条件. (　　)
2.(新教材人教B版必修第一册P73例1改编)若x<0,则x+  (　　)A.有最小值,且最小值为2B.有最大值,且最大值为2C.有最小值,且最小值为-2D.有最大值,且最大值为-2
3.(2020辽宁葫芦岛模拟)已知实数x满足l x>1,则函数y=8x+ 的最大值为 (　　)A.-4　　　    B.8C.4　　　    D.0
4.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为         .
考点一　利用基本不等式求最值
角度一　利用配凑法求最值
典例1    (2020四川乐山一中月考)设0角度二　利用常数代换法求最值
典例2　已知a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为　4    .
◆变式　若本例条件不变,则  的最小值为　9    .
典例3　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　6    .
1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求 + 的最值”的问题,先将 + 转化为 · ,再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分 变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最 值.
1.(2020湖北孝感应城第一高级中学模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的 最小值是 (　　)A.3　　　    B.4C. 　　　    D. 
2.(2020四川遂宁模拟)当x>1时,x+ 的最小值为　5    .
3.(2020吉林长春农安实验中学模拟)已知x>0,y>0,且 + =1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是　(-4,2)    .
考点二　利用基本不等式解决实际问题
典例4　某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该种产 品,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)= x2+10x.当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+ -1 450.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
名师点评利用基本不等式解决实际问题的技巧:(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调 性求解.
1.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存 储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　30    .
2.某游泳馆拟建一个平面图形为矩形且面积为200平方米的游泳池,如图池的 深度为1米,四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计).当游泳池的长设计 为　15    米时,总造价最低. 
考点三　基本不等式的综合应用
典例5　(1)(2020广东惠州调研)在△ABC中,点D是AC上一点,且 =4 , P 为BD上一点,向量 =λ +μ (λ>0,μ>0),则 + 的最小值为 (　　)A.16　　　    B.8C.4　　　     D.2
(2)(2020北京朝阳模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3, PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱 锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)= ,且 + ≥8恒成立,则正实数a的最小值为　1    .
名师点评利用基本不等式解题的策略:(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利 用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或取值范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关条件,从 而得参数的值或取值范围.