2015-2016学年武汉市江汉区八下期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市江汉区八下期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 估算 7 的值是
A. 在 1 和 2 之间B. 在 2 和 3 之间
C. 在 3 和 4 之间D. 在 4 和 5 之间

2. 下列计算正确的是
A. 2×3=6B. 2+3=5C. 8−2=2D. 8÷2=4

3. 已知矩形一边的长为 5，另一边的长为 4，则它的对角线的长为
A. 3B. 41C. 4D. 241

4. 下列式子中，是最简二次根式的是
A. 34B. x3C. 30D. 27a

5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，增加下列条件后，平行四边形 ABCD 不一定是菱形的是
A. DC=BCB. AC⊥BD
C. AB=BDD. ∠ADB=∠CDB

6. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为
A. 3−1B. 3−5C. 5+1D. 5−1

7. 下列说法中，不正确的是
A. 三个角的度数之比为 1:3:4 的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为 9:40:41 的三角形是直角三角形

8. 如图，把菱形 ABCD 沿 AH 折叠，使 B 点落在 BC 上的 E 点处，若 ∠B=70∘，则 ∠EDC 的大小为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 30∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 化简 18−8= ．

10. 二次根式 x−3 在实数范围内有意义的条件是 ．

11. 若实数 x，y 满足 x−1+y+2=0，则 x−y 的值为 ．

12. 在平行四边形 ABCD 中，∠A:∠B=3:2，则 ∠D= 度．

13. 若 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，AB=4，则 BC= ．

14. 矩形的两条对角线的夹角为 60∘，较短的边长为 12 cm，则对角线长为 cm．

15. 菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 之比为 3:4，其周长为 40 cm，则菱形 ABCD 的面积为 cm2．

16. 下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是 （填正确的序号）．

三、解答题（共5小题；共65分）
17. 计算：
（1）5a×210b．
（2）2bab+3aa3b−9ab．

18. 某港口位于东西方向的海岸岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里．它们离开港口一个半小时后相距 30 海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行?为什么?

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．那么 OE 与 OF 是否相等?为什么?

20. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC．

21. 如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90∘，P 是 CD 上一点，BH⊥AP 于 H，BH=BC=CD．
（1）求证：∠ABP=45∘；
（2）若 BC=20，PC=12，求 AP 的长．

四、选择题（共2小题；共10分）
22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=3 cm，AC=5 cm，将 △ABC 沿 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，则 AE 的长等于
A. 4 cmB. 32 cmC. 258 cmD. 72 cm

23. 如图所示，△ABC 中，∠A=90∘，D 是 AC 上一点，且 ∠ADB=2∠C，P 是 BC 上任一点，PE⊥BD 于点 E，PF⊥AC 于点 F，下列结论：① △DBC 是等腰三角形；② ∠C=30∘；③ PE+PF=AB；④ PE2+AF2=BP2．其中结论正确的序号是
A. 只有①②③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④

五、填空题（共2小题；共10分）
24. 如图，正方形 ABCD 中，E 在 BC 上，BE=2，CE=1．点 P 在 BD 上，则 PE 与 PC 的和的最小值为 ．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG，DF．若 AG=13，BG=5，则 CF 的长为 ．

六、解答题（共3小题；共39分）
26. 已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，D 是 AB 的中点，∠EDF=90∘．
（1）如图1，若 E，F 分别在 AC，BC 边上，猜想 AE2，BF2 和 EF2 之间有何等量关系，并证明你的猜想；
（2）若 E，F 分别在 CA，BC 的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）．

27. （1）如图 1，点 P 是平行四边形 ABCD 内的一点，分别过点 B，C，D 作 AP 的垂线 BE，CF，DH，垂足分别为 E，F，H，猜想 BE，CF，DH 三者之间的关系，并证明；
（2）如图 2，若点 P 在平行四边形 ABCD 的外部，△APB 的面积为 18，△APD 的面积为 3，求 △APC 的面积；
（3）如图 3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90∘，设 AP，BP 分别与 CD 相交于点 M，N，当 DM=CN 时，CPPM= （请直接写出结论）．

28. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的两边 OA，OC 分别落在 x 轴，y 轴的正半轴上，等腰 Rt△ADE 的两个顶点 D，E 和正方形顶点 B 三点在一条直线上．
（1）如图 1，连接 OD，求证：△OAD≌△BAE；
（2）如图 2，连接 CD，求证：BE−12DE=22CD；
（3）如图 3，当图 1 中的 Rt△ADE 的顶点 D 与点 B 重合时，点 E 正好落在 x 轴上，F 为线段 OC 上一动点（不与 O，C 重合），G 为线段 AF 的中点，若 CG⊥GK 交 BE 于点 K 时，请问 ∠KCG 的大小是否变化?若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. C
5. C
6. D
7. B
8. B
第二部分
9. 2
10. x≥3
11. 3
12. 72
13. 7
14. 24
15. 96
16. ①③
第三部分
17. （1） 5a×210b=250ab=102ab．
（2） 2bab+3aa3b−9ab，
∵ 由式子可知，a，b 同号，
∴ 当 a>0，b>0 时，
原式=2ab+3ab−3ab=2ab;
当 a<0，b<0 时，
原式=−2ab−3ab−3ab=−8ab.
18. 根据题意，得 PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90∘．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45∘，则 ∠SPR=45∘，即“海天”号沿西北方向航行．
19. OE=OF．
理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD．
又 BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠OFD=∠OEB．
又 ∠DOF=∠BOE，
∴ △BOE≌△DOF．
∴ OE=OF．
20. 延长 BF 交 DE 于 H，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90∘，
∵△ECF 是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90∘，
∴∠BCF=∠ECD．
在 △BCF 和 △DCE 中，
BC=DC,∠BCF=∠DCE,CF=CE,
∴△BCF≌△DCESAS，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90∘，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90∘，
∴∠DHF=90∘，
∴ ∠BHE=90∘，
在 △BFC 中，BC=5，CF=3，BF=4，
∵ 32+42=52，
∴ BF2+FC2=BC2，
∴ ∠BFC=90∘，
∴ ∠BFC=∠BHE=90∘，
∴ DE∥FC．
21. （1） 如图，作 BE⊥DA 于 E，
∵AD∥BC，∠C=90∘，
∴∠C+∠D=180∘，
∴∠D=∠C=∠E=90∘，
∴ 四边形 BCDE 是矩形，
∴BE=CD=BC=BH，
∵BH⊥AP，
∴∠AHB=∠BHP=90∘，
在 Rt△ABE 和 Rt△ABH 中，
AB=AB,BE=BH,
∴△ABE≌△ABH，
∴∠ABE=∠ABH，同理可证 △PBH≌△PBC，
∴∠PBH=∠PBC，
∵∠EBC=90∘，
∴2∠ABH+2∠PBH=90∘，
∴∠ABH+∠PBH=45∘，
∴∠ABP=45∘．
（2） 由（1）可知，四边形 BCDE 是矩形，
∵BC=CD，
∴ 四边形 BCDE 是正方形，
∴BC=CD=DE=BE=20，
∵△ABE≌△ABH，△PBH≌△PBC，
∴AE=AH，PC=PH，
∴AP=AE+PC，设 AP=x，
∵PC=12
则 AE=x−12，AD=20−x−12=32−x，PD=8，
在 Rt△ADP 中，
∵AD2+DP2=AP2，
∴32−x2+82=x2，
∴x=17，
∴AP=17．
第四部分
22. C【解析】设 AE=x cm，由翻折变换的性质可知，EC=x cm，
∵∠B=90∘，AB=3 cm，AC=5 cm，
∴BC=AC2−AB2=4 cm，
∴BE=BC−CE=4−x cm，
在 Rt△ABE 中，AE2=AB2+BE2，即 x2=32+4−x2，
解得，x=258．
23. B【解析】在 △BCD 中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵ ∠ADB=2∠C，
∴ ∠C=∠DBC，
∴ DC=DB，
∴ △DBC 是等腰三角形，故①正确；
无法说明 ∠C=30∘，故②错误；
连接 PD，
则 S△BCD=12BD⋅PE+12DC⋅PF=12DC⋅AB，
∴ PE+PF=AB，故③正确；
过点 B 作 BG∥AC 交 FP 的延长线于 G，
则 ∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90∘，
∴ ∠PBG=∠DBC，四边形 ABGF 是矩形，
∴ AF=BG，
在 △BPE 和 △BPG 中，
∠PBG=∠DBC,∠G=∠BEP=90∘,PB=PB,
∴ △BPE≌△BPGAAS，
∴ BG=BE，
∴ AF=BE，
在 Rt△PBE 中，PE2+BE2=BP2，
即 PE2+AF2=BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
第五部分
24. 13
【解析】连接 AC，AE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴A，C 关于直线 BD 对称，
∴AE 的长即为 PE+PC 的最小值，
∵BE=2，CE=1，
∴BC=AB=2+1=3，
在 Rt△ABE 中，
∵AE=AB2+BE2=32+22=13，
∴PE 与 PC 的和的最小值为 13．
25. 6
【解析】∵AG∥BD，BD=FG，
∴ 四边形 BGFD 是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又 点 D 是 AC 中点，
∴BD=DF=12AC，
∴ 四边形 BGFD 是菱形，
∵BG=5 ，
∴FG=5．则 AF=13−5=8，AC=2BD=10．
在 Rt△ACF 中，∠CFA=90∘，
∴AF2+CF2=AC2，即 82+CF2=102，
解得：CF=6．
第六部分
26. （1） 结论：AE2+BF2=EF2．
理由：如图1中，延长 FD 到 M，使得 DM=DF，连接 AM，EM．
在 △ADM 和 △BDF 中，
AD=DB,∠ADM=∠BDF,DM=DF,
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90∘，
∴∠B+∠CAB=90∘，
∴∠CAB+∠MAD=90∘，即 ∠EAM=90∘，
∵∠EDF=90∘，
∴ED⊥FM，
∵DM=DF，
∴EM=EF，
在 Rt△AEM 中，
∵AE2+AM2=EM2，
∴AE2+BF2=EF2．
（2） 如图2中，结论不变．AE2+BF2=EF2．
理由：延长 FD 到 M，使得 DM=DF，连接 AM，EM．
在 △ADM 和 △BDF 中，
AD=DB,∠ADM=∠BDF,DM=DF,
∴ △ADM≌△BDF，
∴ AM=BF，∠B=∠MAD，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠B+∠CAB=90∘，
∴ ∠CAB+∠MAD=90∘，即 ∠EAM=∠CAM=90∘，
∵ ∠EDF=90∘，
∴ ED⊥FM，
∵ DM=DF，
∴ EM=EF，
在 Rt△AEM 中，
∵ AE2+AM2=EM2，
∴ AE2+BF2=EF2．
27. （1） 结论是 BE=DH+CF，理由如下：
过 C 作 CG⊥BE 于 G，延长 BC 交 AF 于 Q，
∵CF⊥AC，BE⊥AC，
∴ 四边形 CGEF 是矩形，
∴EG=CF，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠Q，
∵CG∥AF，
∴∠Q=∠BCG，
∴∠DAH=∠BCG，
在 △ADH 与 △CBG 中，
∠AHD=∠CGB,∠DAH=∠BCG,AD=BC,
∴△ADH≌△CBG，
∴DH=BG，
∴BE=BG+EG=DH+CF．
（2） 分别过点 B，C，D 作 AP 的垂线 BE，CF，DH，垂足分别为 E，F，H，
由（1）知 BE=DH+CF，
∵S△ADP=12AP⋅DH，S△ABP=12AP⋅BE，S△ACP=12AP⋅CF，
∴S△ADP+S△ACP=12APDH+CF=12AP⋅BE=S△ABP，
∵△APB 的面积为 18，△APD 的面积为 3，
∴ S△APC=15．
（3） 625
28. （1） 如图 1，在正方形 ABCO 中，
∵ ∠BAF=∠DAE=90∘，
∴ ∠BAD=∠EAF，
∴ ∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF，
即 ∠OAD=∠BAE，
∵ AB=AO，AD=AE，
∴ △OAD≌△BAE．
（2） 如图 2，设 OD 与 AB 的交点为 P，过 C 作 CF⊥OD 于 F，过 A 作 AN⊥DE 于 N，AM⊥OD 于 M，
∵ 等腰 Rt△ADE，AD=AE，
∴ AN=DN=12DE，
∴ 四边形 ANDM 是正方形，
∴ DN=DM，
∴ BE−12DE=OD−DM=OM，
由① △OAD≌△BAE 得，∠ODA=∠BEA=45∘，
∴ ∠ODE=90∘，
∵ ∠OAB=∠ODB=90∘，∠OPA=∠BPD，
∴ △OAP∽△BDP，
∴ OAAP=BDPD，
∴ BCAP=BDPD，
∵ ∠CBD=90∘+∠ABE，∠APD=90∘+∠AOD，∠ABE=∠AOD，
∴ ∠CBD=∠APD，
∴ △CBD∽△APD，
∴ ∠CDB=∠ADO=45∘，
∴ ∠ODC=90∘−45∘=45∘，
∵ sin45∘=CFCD，
∴ CF=2CD2，
∵ △COF≌△OAM，
∴ CF=OM，
∴ BE−12DE=22CD．
（3） 如图 3，∠KCG 的大小不变，理由是：
过 K 作 KM⊥AB 于 M，KN⊥BC，交 CB 的延长线于 N，延长 CG，BA 交于 Q，连接 KQ，
∵ ∠N=∠MBN=∠BMK=90∘，
∴ 四边形 BMKN 是矩形，
∵ AB=AE，∠BAE=90∘，
∴ ∠ABE=45∘，
∴ BM=KM，
∴ 矩形 BMKN 是正方形，
∵ OC∥AB，
∴ ∠OCG=∠GQA，
∵ FG=AG，∠CGF=∠AGQ，
∴ △FCG≌△AQG，
∴ CG=QG，
∵ CG⊥GK，
∴ KC=KQ，
∵ KN=KM，
∴ Rt△CNK≌Rt△QMK，
∴ ∠CKN=∠QKM，
∴ ∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90∘，
∴ △KCQ 是等腰直角三角形，
∴ ∠KCG=∠KQC=45∘．