湖北省武汉市武昌区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份湖北省武汉市武昌区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了下列图形中有稳定性的是，已知点P等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共计30分
1．下列图形中有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．直角三角形 C．长方形 D．平行四边形
2．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　）

A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF
5．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
6．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
8．已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
9．如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：
①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．
其中正确的个数有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
二.填空题（每小题3分，共计18分）
11．一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　 　边形．
12．一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是　 　．
13．AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 　 　．
14．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 　 　．
15．在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 　 　．

16．如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 　 　．

三.解答题（本题共计72分）
17．已知等腰△ABC的周长为20，一边长为6，求另两边的长．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．

19．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．

20．如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）
（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．
（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．

21．如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF＝5，DF＝2，求AB的长．

22．如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝　 　；
（2）如图2，BG⊥AD于点G，连接CG，若△ACG的面积是5，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，则BD的长为 　 　．（用含m，n的式子表示）


23．在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC＝90°+∠A；
（2）已知∠A＝60°，
①如图1，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的长；
②如图2，若BF＝AC，求∠AEB的大小．


24．如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．
（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；
（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．



参考答案
一.选择题（每小题3分，共计30分
1．下列图形中有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．直角三角形 C．长方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性可得答案．
解：直角三角形有稳定性，
故选：B．
2．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：B．
4．如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　）

A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF
【分析】判定△ABC≌△DEF已经具备的条件是∠E＝∠B，∠1＝∠2，再加上其中一角的对边对应相等，就可以利用AAS来判定三角形全等．
解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；
B、BC＝DE，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
C、AB＝EF，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
D、∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
又∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项符合题意；
故选：D．
5．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】由于已知O是AA′、BB′的中点O，再加对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，所以全等理由就可以知道了．
解：△OAB与△OA′B′中，
∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选：B．
6．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答．
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，
∴点P到OB的距离为6，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥6．
故选：B．
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．
解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×＝90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
故选：C．
8．已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数列出关于m、n的方程，解出m、n的值，再代入即可．
解：∵P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，
∴，
解得m＝3，n＝﹣4，
∴（m+n）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．
故选：B．
9．如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可证OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故选项A，B，都不符合题意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C选项不符合题意，
∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，
∴AB不平分∠OAD，
故选项D符合题意，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：
①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．
其中正确的个数有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】作BG⊥CB，交CD的延长线于点G，过点B作BH⊥CG于H，证明△ACM≌△CBG（ASA），由全等三角形的性质得出AM＝CG，CM＝BG，∠CMA＝∠CGB，证明△BDG≌△BDM（SAS），由全等三角形的性质得出∠DGB＝∠DMB，∠BDG＝∠BDM，DM＝DG，可判断①②③正确；根据S△ACM＝S△CBG可得出BH＝CE，则可得出BD＞CE；由直角三角形的性质及平角的定义可得出∠AMD＝2∠DCM，则可得出答案．
解：作BG⊥CB，交CD的延长线于点G，过点B作BH⊥CG于H，如图所示：

∵∠CBG＝90°，CE⊥AM，
∴∠CAM+∠AMC＝∠BCG+∠AMC＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
在△ACM和△CBG中，
，
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴AM＝CG，CM＝BG，∠CMA＝∠CGB，
∵CM＝BM，
∴BG＝BM，
∵∠ABC＝45°，
∴∠MBD＝∠GBD＝∠CBG，
在△BDG和△BDM中，
，
∴△BDG≌△BDM（SAS），
∴∠DGB＝∠DMB，∠BDG＝∠BDM，DM＝DG，
∴∠AMC＝∠DMB，∠ADC＝∠BDG＝∠BDM．AM＝CG＝CD+DG＝CD+DM，
故①②③正确，
∵△ACM≌△CBG，
∴S△ACM＝S△CBG，
∴×AM×CE＝CG×BH，
∴CE＝BH，
在Rt△BDH中，BD＞BH，
∴BD＞CE，故④错误，
∵∠AMD+∠BMD+∠AMC＝180°，∠DCM+∠AMC＝90°，∠AMC＝∠BMD，
∴∠AMD＝2∠DCM，故⑤正确，
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共计18分）
11．一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　九　边形．
【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝1260，
解得n＝9．
12．一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是　80°或20°　．
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故答案为：80°或20°．
13．AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 　1＜AM＜5　．
【分析】延长AM到E，使ME＝AM，然后利用“边角边”证明△ABM和△ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
解：如图，延长AM到E，使ME＝AM，

∵AM是BC边上的中线，
∴BM＝CM，
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝4，AC＝6，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AM＜5．
故答案为：1＜AM＜5．
14．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 　2　．
【分析】设P到△ACB的三边的距离为x，根据三角形的面积公式计算即可．
解：设P到△ACB的三边的距离为x，
由三角形的面积公式得，×5×12＝×5×x+×12×x+×13×x，
解得，x＝2，
故答案为：2．
15．在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 　7　．

【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形即可．
解：

以AB为公共边的三角形有△ABG，△ABH，△ABM，
以AC为公共边的三角形有△ACD，△ACE，△ACN，
以BC为公共边的三角形有△BCF，
3+3+1＝7，
故答案为：7．
16．如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 　　．

【分析】作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于F，交AC于D，由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等边三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．
解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于F，交AC于D，

由对称性可知：DE＝DN，EF＝MF，AE＝AM＝AN，
∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，
∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，
∵∠BAC＝30°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，
∴∠MAN＝60°，
∴△MNA是等边三角形，
∴MN＝AE，
∴当AE的值最小时，MN的值最小，
根据垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE的值最小，
∵BC＝，△ABC的面积是6，
∴BC•AE＝6，
∴此时AE＝，
∴MN的最小值为，
∴△DEF的周长的最小值为，
故答案为：．
三.解答题（本题共计72分）
17．已知等腰△ABC的周长为20，一边长为6，求另两边的长．
【分析】分腰长为6和底边为6，求出其另外两边，再利用三角形的三边关系进行验证即可．
解：当腰为6时，则另两边长为6、20﹣6×2＝8，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为6，8；
当底边为6时，则另两边长为（20﹣6）＝7，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为7，7；
综上可知三角形的另两边长为6，8或7，7．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．

【分析】根据同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝8，即可求BE的长；
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠D＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝8，BE＝CD，
∵EC＝CD+DE，
∴BE＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．
19．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝＝77°×＝38.5°．
20．如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）
（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．
（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．

【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（3）作点B′关于x轴的对称点B″，连接AB″交x轴于点M，连接MB′，点M即为所求．
解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△ABC与△A′B′C′关于y轴对称；

（2）如图，△A1B1C1即为所求，A′（2，1）、B′（1，2）、C′（3，3）；
（3）如图，点M即为所求．M（﹣1，0）．
21．如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF＝5，DF＝2，求AB的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ACE≌△ACF，可得AF＝AE，CE＝CF，由“HL”可证Rt△CBE≌Rt△CDF，可得∠ADC＝∠CBE，由平角的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得DF＝BE＝2，AE＝AF＝5，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
、
∵CA平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（AAS），
∴AF＝AE，CE＝CF，
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°；
（2）∵Rt△CBE≌Rt△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∵△ACE≌△ACF，
∴AE＝AF＝5，
∴AB＝AE﹣BE＝3．
22．如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝　2　；
（2）如图2，BG⊥AD于点G，连接CG，若△ACG的面积是5，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，则BD的长为 　　．（用含m，n的式子表示）


【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）延长BG、AC交于点H，设S△BGC＝S△HGC＝a，用两种方法表示△ABH的面积即可；
（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长．
解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（2）延长BG、AC交于点H，

由（1）知AB＝AH，点G为BH的中点，
设S△BGC＝S△HGC＝a，
根据△ABH的面积可得：
S△ABC+2a＝2（5+a），
∴S△ABC＝10；
（3）在AB上取AN＝AC，

∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝CAD，
在△ADN与△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BND，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
23．在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC＝90°+∠A；
（2）已知∠A＝60°，
①如图1，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的长；
②如图2，若BF＝AC，求∠AEB的大小．


【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，由三角形内角和定理可得结论；
（2）①在BC上截取BH＝BD，连接FH，由“SAS”可证△BFD≌△BFH，可得∠DFB＝∠BFH＝60°，由“ASA”可证△CFE≌△CFH，可得CE＝CH，即可求解；
②延长CD，使NF＝BF，连接BN，可证△BFN是等边三角形，可得BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，由“AAS”可证△BND≌△ACD，可得BD＝CD，可得∠DBC＝∠DCB，由角的数量关系可求解．
【解答】（1）证明：∵BE，CD为△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠FBC+∠FCB＝（180°﹣∠A），
∴∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+；
（2）解：①如图1，在BC上截取BH＝BD，连接FH，

当∠A＝60°时，
∴∠BFC＝90°+30°＝120°，
∴∠DFB＝∠CFE＝60°，
在△BFD和△BFH中，
，
∴△BFD≌△BFH（SAS），
∴∠DFB＝∠BFH＝60°，
∴∠CFE＝∠CFH＝60°，
在△CFE和△CFH中，
，
∴△CFE≌△CFH（ASA），
∴CE＝CH，
∴BC＝BH+CH＝BD+CE，
∴CE＝BC﹣BD＝6.5﹣4＝2.5；
②如图2，延长CD，使NF＝BF，连接BN，

∵NF＝BF，∠BFD＝60°，
∴△BFN是等边三角形，
∴BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，
∵BF＝AC，∠A＝∠N＝60°，
∴BN＝AC，
在△BND和△ACD中，
，
∴△BND≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DCB＝2∠CBF，
∵∠DFB＝∠DCB+∠FBC＝60°，
∴∠FBC＝20°，∠DCB＝40°＝∠ACD，
∴∠AEB＝∠FBC+∠ACD+∠DCB＝100°．
24．如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．
（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；
（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．

【分析】（1）过点E作EH⊥x轴于点H，利用AAS证明△DHE≌△AOD，得DH＝OA，EH＝OD，从而得出答案；
（2）过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，利用SAS可证明△FAP≌△FAD，得∠AFD＝∠AFP，再证△ECH是等腰直角三角形，得∠ECH＝45°，从而解决问题；
（3）连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，利用SAS证明△BDC≌△AMO，得∠BDC＝∠DMN，再证△BDC≌△BDQ（AAS），Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），得AG＝QG，将△OGD的周长转化为OA+OC．
解：（1）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

则∠DHE＝∠AOD＝90°，
∴∠OAD+∠ODA＝90°，
∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，
∴∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴∠EDH+∠ODA＝90°，
∴∠OAD＝∠EDH，
∴△DHE≌△AOD（AAS），
∴DH＝OA，EH＝OD，
∵D（t，0），
∴OD＝t，
∴EH＝t，
∵BA⊥OA，BC⊥OC，BA＝BC，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC＝AB＝BC＝3，
∴OH＝OD+DH＝OD+OA＝t+3，
∴E（t+3，t）；
（2）∠DEC+∠AFD＝90°，理由如下：
由（1）得：四边形OABC是正方形，
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，

则∠BAP＝∠OAD，AD＝AP，
由（1）得∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠DEA＝45°，
∴∠FAP＝∠BAF+∠BAP
＝∠BAF+∠OAD
＝∠OAB﹣∠DAE
＝45°，
∴∠FAP＝∠DAE，
∴△FAP≌△FAD（SAS），
∴∠AFD＝∠AFP，
由（1）得EH＝OD，DH＝OA＝OC，
∴DH﹣CD＝OC﹣CD，
∴CH＝OD，
∴CH＝EH，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴∠ECH＝45°，
∴∠BCE＝∠BCH﹣∠ECH＝45°，
∵∠BCE+∠CEF+∠CFE＝180°，
∴∠BCE+∠DEC+∠AED+∠CFE＝180°，
∴45°+∠DEC+45°+∠CFE＝180°，
∴∠DEC+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFP＝∠AFD，
∴∠DEC+∠AFD＝90°；
（3）如图，连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，

由（1）得四边形OABC是正方形，
OA＝AB＝BC＝OC＝3，
∵DM＝DN＝AB，
∴∠DMN＝∠DNM，DM＝OC，
∴DM﹣OD＝OC﹣OD，
∴OM＝CD，
∴△BDC≌△AMO（SAS），
∴∠BDC＝∠DMN，
∵∠BDC+∠BDN＝∠CDN＝∠DMN+∠DNM，
∴∠BDN＝∠DNM＝∠DMN＝∠BDC，
∴△BDC≌△BDQ（AAS），
∴CD＝DQ，BC＝BQ，
∴AB＝BQ，
在Rt△BAG和Rt△BQG中，
，
∴Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），
∴AG＝QG，
∴C△OGD＝OG+DG+OD
＝OG+GQ+DQ+OD
＝OG+AG+CD+OD
＝OA+OC
＝3+3
＝6．
∴△OGD的周长为：6．