高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精练

13.2.2　空间两条直线的位置关系

基础过关练

题组一　基本事实4及等角定理

1.设AA1是正方体的一条棱,则这个正方体中与AA1平行的棱有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2.如果两个三角形不在同一平面内,但它们的边两两对应平行,那么这两个三角形(　　)

A.全等 B.不相似

C.仅有一个角相等 D.相似

3.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(　　)

A.M,N,P,Q四点共面

B.∠QME=∠DBC

C.△BCD∽△MEQ

D.四边形MNPQ为梯形

4.(2020江苏徐州第二中学高一阶段测试)已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR=　　　　　　. 

5.(2020江苏新沂第一中学期中)在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.

6.(2020江苏吴江第二高级中学高一阶段测试)如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形EBFD1是菱形.

题组二　空间中两条直线的位置关系

7.若空间中两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是(　　)

A.共面 B.平行

C.异面 D.平行或异面

8.(2019山西省实验中学高二上期中)下列各图中,表示直线a与b平行的是(　　)

9.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的关系为(　　)

A.一定是异面直线 B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　; 

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　; 

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　; 

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　. 

题组三　异面直线所成的角

11.在正方体AC1中,AA1与B1D所成角的余弦值是(　　)

A. B. C. D.

12.(2020江苏张家港高级中学高一学情检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为BC,CC1,A1D1,C1D1的中点,则直线EF与MN夹角的大小为(　　)

A. B. C. D.

13.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD和AC所成的角的度数为　　　　. 

14.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,则EF和AB所成的角为　　　　. 

能力提升练

题组一　空间中两条直线的位置关系

1.(2020江苏溧阳光华高级中学阶段测试,)在平面内有下列结论:①若一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;②若两条直线同时与第三条直线平行,则这两条直线平行;③若一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条也垂直;④若两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行.将上述结论类比推广到空间,仍正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.①② B.②③

C.②④ D.③④

 2.(2020江苏如皋第一中学高一学情检测,)如图,已知直线a、b是异面直线,直线c、d分别与a、b都相交,则关于直线c、d的位置关系说法正确的是(　　)

A.可能是平行直线

B.一定是异面直线

C.可能是相交直线

D.平行、相交、异面直线都有可能

3.(2020江苏郑集高级中学高一阶段测试,)在正方体ABCD-A1B1C1D1上有一只蚂蚁,从点A出发沿正方体的棱前进,若该蚂蚁走的第(n+2)条棱与第n条棱是异面的,则这只蚂蚁走过第2 022条棱之后的位置是在(　　)

A.点A1处 B.点A处

C.点D处 D.点B处

4.(多选)(2020江苏沭阳高级中学高一月考,)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.其中正确的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

5.(2020江苏海安实验中学高一期中,)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是　　　　. 

题组二　异面直线所成的角

6.(2019湖南衡阳高二月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,AA1的中点,则异面直线C1M与BN所成的角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

7.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是　　(　　)

A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°

C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°

8.()设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　)

A.有无数条 B.有两条

C.至多有两条 D.有一条

9.()如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.

(1)求证:M,N,P,Q四点共面;

(2)若AC⊥DE,且AC=BC,求异面直线DE与PN所成角的大小.

10.(2020江苏天一中学高一学情检测,)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别为CC1,AD的中点,求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.

深度解析

答案全解全析

13.2.2　空间两条直线的位置关系

基础过关练

1.C　根据基本事实4,可知正方体中与AA1平行的棱有3条.

2.D　由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.

3.D　由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由基本事实4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中的说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠DBC,故B中的说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C中的说法正确;由三角形的中位线定理及基本事实4,知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQ?NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中的说法不正确.故选D.

4.答案　30°或150°

解析　由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,故答案为30°或150°.

5.证明　因为E,G分别为BC,AB的中点,

所以GE∥AC,GE=AC.

因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,

所以FH∥AC,FH=AC,

从而FH∥GE.故E,F,H,G四点共面.

因为GE>FH,

所以四边形EFHG是梯形,

分别延长GH和EF交于一点O,如图所示.

因为O∈GH,GH⊂平面ABD,

所以O∈平面ABD,

同理,O∈平面BCD.

所以O在平面ABD和平面BCD的交线上.

因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.

6.证明　取棱BB1的中点G,连接C1G,EG,

因为E,G分别为棱AA1,BB1的中点,侧面ABB1A1为正方形,

所以EG=A1B1=C1D1,EG∥A1B1∥C1D1,

所以四边形EGC1D1为平行四边形,

所以D1E∥C1G,D1E=C1G.

因为F,G分别为棱CC1,BB1的中点,

侧面CBB1C1为正方形,所以C1F?BG,

所以四边形BGC1F为平行四边形,

所以BF∥C1G,BF=C1G,

由基本事实4可知D1E∥BF,D1E=BF,

所以四边形EBFD1为平行四边形.

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易知BE=BF=a,

所以四边形EBFD1是菱形.

7.D　若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.

8.D　对于A,B,C选项,题图中分别在平面α,β内的直线是异面直线,则a与b是异面直线,a与b不可能平行,

故选D.

9.C　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.故选C.

10.答案　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面

解析　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,

∴四边形A1BCD1为平行四边形,

∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内,故两直线异面.

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1,故两直线相交.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内,故两直线异面.

11.A　如图所示,连接BD,因为AA1∥BB1,所以异面直线AA1与B1D所成的角为∠BB1D(或其补角),设正方体的棱长为a,在Rt△BDB1中,B1D=a,BB1=a,则cos∠BB1D===.

所以AA1与B1D所成角的余弦值是.故选A.

12.C　如图,连接A1C1,BC1,A1B,由M,N分别为A1D1,C1D1的中点,可得MN是三角形A1C1D1的中位线,故MN∥A1C1,同理可得BC1∥EF,所以直线EF与MN的夹角等于A1C1与BC1的夹角.在△A1BC1中,三边均为正方体的面对角线,所以△A1BC1是等边三角形,故直线EF与MN的夹角为.

13.答案　60°

解析　因为E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,所以EG∥BD,EF∥AC,因此EG与EF所成的角是异面直线BD与AC所成的角,所以BD和AC所成的角的度数是180°-120°=60°.

14.答案　45°

解析　如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.

∵E,F分别为BC,AD的中点,且AB=CD,

∴EG∥CD,GF∥AB,且EG=CD,GF=AB,即EG=GF.

∴∠GFE(或其补角)即为EF与AB所成的角.

∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.∴∠EGF=90°.

∴△EFG为等腰直角三角形.

∴∠GFE=45°,即EF和AB所成的角为45°.

能力提升练

1.B　①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条不一定相交,也可能是异面,故结论错误.②由基本事实4可知结论正确.③由异面直线所成的角的定义可知结论正确.④因为垂直于同一直线的两条直线可能相交、异面或平行,故结论错误.所以②③正确.

2.B　设c与a,b的交点分别为A,B,d与a,b的交点分别为C,D,

若c,d是平行直线,则存在平面α,使得c⊂α,d⊂α,

∵A∈c,B∈c,C∈d,D∈d,

∴A∈α,B∈α,C∈α,D∈α,

又A∈a,C∈a,B∈b,D∈b,

∴a⊂α,b⊂α,

∴a,b共面,与a,b是异面直线矛盾,

∴c,d不是平行直线,故A错误;

当c,d相交时也可以确定一个平面,使得直线a,b共面,与题目矛盾,

故c,d一定是异面直线.故选B.

3.B　不妨设蚂蚁从点A先沿AB走,如图,结合正方体的性质知与直线AB异面的直线有A1D1,B1C1,CC1,DD1,共4条,

由题意可知蚂蚁走过3条棱的路线是AB→BC→CC1或AB→BB1→B1C1,即蚂蚁走过第3条棱后的位置在点C1处,同理,蚂蚁从点A先沿AD或AA1走,走过第3条棱后的位置一定是在点C1处,以此类推,蚂蚁走过第6条棱后的位置一定在点A处,

如此走下去,每走过6条棱后都会回到起点A,因为2 022÷6=337,

所以这只蚂蚁走过第2 022条棱之后的位置是在A处.故选B.

4.AC　把正方体的展开图还原成原来的正方体如图所示,

则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,故①③正确,②④错误,故选AC.

5.答案　(0,)

解析　设四面体的底面是△BCD,顶点为A,BC=a,则AB=AC=BD=CD=1,AD=,

在△BCD中,由两边之和大于第三边可得0<a<2,①

如图,取BC的中点E,连接AE,DE,易得AE=ED=,

因为两边之和大于第三边,

所以<2,

解得0<a<,②

由①②得0<a<.

6.D　如图,取AN的中点N',连接N'M,C1N',

由题设可知N'M∥BN,则异面直线C1M与BN所成的角为∠N'MC1(或其补角),设正方体的棱长为4,由几何关系可得N'M=,C1M=6,C1N'=,得C1N'2=N'M2+C1M2,即∠N'MC1=90°.故异面直线C1M与BN所成的角为90°.

7.D　如图,连接CD1,AC,易求得CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.

8.A　如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线所在直线都与l成30°角,即过点P且与l成30°角的异面直线有无数条.

9.解析　(1)证明:因为CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,

所以PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线.

所以PQ∥DE,MN∥DE,

所以PQ∥MN,

所以M,N,P,Q四点共面.

(2)因为PN为△ABE的中位线,

所以PN∥AB.

又BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)即为异面直线DE与PN所成的角.

又AC⊥DE,所以AC⊥BC.

在Rt△ACB中,tan∠ABC===,所以∠ABC=60°.所以异面直线DE与PN所成的角为60°.

10.解析　如图,取D1C1的中点M,连接OM,OF,ME,OC.

因为O为底面ABCD的中心,F为AD的中点,M为D1C1的中点,

所以易得OF∥MD1,且OF=MD1,

所以四边形OFD1M是平行四边形,

所以OM∥FD1,且OM=FD1,

所以∠MOE(或其补角)是异面直线OE和FD1所成的角.

因为OM=FD1===a,

ME===a,

OE===a,

所以OE2+ME2=OM2,

所以△OME是直角三角形,且∠OEM=90°,

所以cos∠MOE===,

即异面直线OE和FD1所成角的余弦值是.

方法技巧　根据几何法求异面直线所成的角的思路:一是找(或作)出角,二是在三角形中利用三角函数等方法求角.