高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用本章综合与测试练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用本章综合与测试练习题，共26页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率ΔfΔx等于(　　)
A.4 B.4+2Δx
C.4+2(Δx)2 D.4x
2.已知f'(x)是f(x)=xx+2的导数,则f'(1)=(　　)
A.23 B.29
C.-23 D.-29
3.设函数y=a(x-1)-ln x的图像在点(1,0)处的切线方程为y=3x-3,则a=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.函数y=xex在区间[0,2]上的最大值是(　　)
A.13e B.12e C.1e D.e
5.函数f(x)=1x-lnx-1的图像大致是(　　)

6.偶函数f(x)=x(ex-ae-x)的图像在x=1处的切线斜率为(　　)
A.2e B.e
C.2e D.e+1e
7.已知函数f(x)=13x3-12mx2+4x-3在区间[1,2]上是增函数,则实数m的取值范围为(　　)
A.4≤m≤5 B.2≤m≤4
C.m≤2 D.m≤4
8.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1(f'(x)为函数f(x)的导函数),则不等式(1+x)f(1-x2)>f(1-x)+x的解集为(　　)
A.(0,1)
B.[1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞)
D.(0,+∞)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
10.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x),如图是函数y=xf'(x)的图像,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的增区间是(-2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C.x=-2是函数的极小值点
D.x=2是函数的极小值点
11.若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是(　　)
A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3
B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x
C.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x
D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x
12.设函数f(x)=x3-3x2+2x,若x1,x2(x1 A.若0<λ<2,则f(x1) B.若-4<λ<0,则f(x1) C.若-2<λ<0,则f(x1)>f(x2)
D.若λ<-4,则f(x1) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-xe,则函数f(x)的极大值为 　　　　. 
14.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图像过点(-1,-6),函数g(x)=f'(x)+6x的图像关于y轴对称,则m=　　　　, f(x)的单调递减区间为　　　　. 
15.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x,若x=2是函数f(x)的极小值点,则实数a的值为　　　　. 
16.已知函数f(x)=x-1x+aln x,存在m,n,使得f'(m)=f'(n)=0,且m∈0,1e,则f(m)-f(n)的最小值为　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)①函数f(x)的图像在点(2, f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图像在点(1, f(1))处的切线与直线12x-y+1=0垂直;③函数f(x)的图像在点(1, f(1))处的切线与直线4x-y=0平行,在这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中(填序号),并解答.
已知函数f(x)=x2+2aln x(a≠0).
(1)若　　　　　　,求实数a的值; 
(2)若函数g(x)=2x+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.







18.(12分)已知函数f(x)=x3-ax+1的图像在点(0,1)处的切线方程为y=-3x+1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值与最小值.









19.(12分)已知函数f(x)=xex,其中e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)当x>0时,关于x的不等式f(x)-ln x-mx≥1恒成立,求实数m的取值范围.







20.(12分)已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13(a∈R).
(1)若a>1,求函数f(x)的极值;
(2)当0







21.(12分)如图所示,已知某公园的四处景观分别位于等腰梯形ABCD的四个顶点处,其中A,B两地的距离为4千米,C,D两地的距离为2千米,∠DAB=∠B=60°.现计划在CD(不包括端点)路段上增加一个景观P,并修建观光路直接通往A处,造价为每千米10万元,又重新装饰PC路段,造价为每千米8万元.

(1)若计划修建的观光路AP路段的长为7 千米,求PC路段的总造价;
(2)设∠BAP=θ,当cos θ为何值时,AP,PC路段的总造价最低?













22.(12分)已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值;
(3)当a=1,x≥0时,不等式f(x)≥kxln(x+1)恒成立,求实数k的取值范围.













答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.B　因为Δf=f(1+Δx)-f(1)=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=2(Δx)2+4Δx,
所以ΔfΔx=2Δx+4.
2.B　因为f(x)=xx+2,所以f'(x)=x'(x+2)-x(x+2)'(x+2)2=2(x+2)2,所以f'(1)=2(1+2)2=29.
3.D　由已知得y'=a-1x,又函数y=a(x-1)-ln x的图像在点(1,0)处的切线的斜率为3,所以a-1=3,解得a=4.
4.C　由y=xex得y'=ex-xexe2x=1-xex.
当0≤x<1时,y'>0;当1 ∴函数y=xex在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,
∴当x=1时,函数取得最大值,为1e.
5.B　易知函数f(x)=1x-lnx-1的定义域为x∈(0,1)∪(1,+∞).
设g(x)=x-ln x-1(x∈(0,1)∪(1,+∞)),则g'(x)=1-1x,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)>g(1)=0,则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f(x)>0.结合选项可知B正确.
6.A　因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即-x(e-x-aex)=x(ex-ae-x),解得a=1,
故f(x)=x(ex-e-x),
则f'(x)=ex-e-x+(ex+e-x)x,
则f'(1)=e1-e-1+e1+e-1=2e.
故函数f(x)=x(ex-ae-x)的图像在x=1处的切线斜率为2e.
7.D　由已知得f'(x)=x2-mx+4,因为f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f'(x)≥0在[1,2]上恒成立,即x2-mx+4≥0,即m≤x2+4x=x+4x在[1,2]上恒成立,又x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=2时,等号成立,所以m≤4.
8.D　令g(x)=xf(x)-x,则g'(x)=f(x)+xf'(x)-1,
∵定义域为R的函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
∴g'(x)>0在R上恒成立,∴函数g(x)在R上单调递增,
当x=0时,由f(x)+xf'(x)>1,知f(0)>1,
∴当x=1时,不等式(1+x)f(1-x2)>f(1-x)+x显然成立.
当x>1时,1-x<0,不等式可化为(1-x2)f(1-x2)<(1-x)f(1-x)+x-x2,
整理得(1-x2)f(1-x2)-(1-x2)<(1-x)f(1-x)-(1-x),即g(1-x2) 所以1-x2<1-x,得x2-x>0,所以x>1;
当x<1时,1-x>0,不等式可化为(1-x2)f(1-x2)>(1-x)f(1-x)+x-x2,
整理得(1-x2)f(1-x2)-(1-x2)>(1-x)f(1-x)-(1-x),即g(1-x2)>g(1-x),
所以1-x2>1-x,得x2-x<0,所以0 综上所述,原不等式的解集为(0,+∞).

二、多项选择题
9.ABD　根据导函数的图像可知,当x∈-12,0时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(0,4)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.
10.BD　由函数y=xf'(x)的图像可知,
当x<-2时, f'(x)>0;当-22时, f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,因此函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-2处取得极大值.
故A错误,B正确,C错误,D正确.
11.ACD　选项A中,易得(x3)'=3x2,当x=0时,3×02=0,
所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线.
当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,
所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
选项B中,易得(ln x)'=1x,当x=1时,11=1,曲线C在点P(1,0)处的切线为l:y=x-1.
令h(x)=x-1-ln x,则h'(x)=1-1x=x-1x(x>0),
当x>1时,h'(x)>0;
当0 所以h(x)min=h(1)=0,所以x-1≥ln x,
即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下方(除切点外),结论错误.
选项C中,易得(sin x)'=cos x,当x=0时,cos 0=1,曲线C在点P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正弦函数的图像可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
选项D中,易得(tan x)'=1cos2x,当x=0时,1cos20=1,曲线C在点P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正切函数的图像可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
12.CD　依题意g(x)=x3-3x2+2+12λx,则g'(x)=3x2-6x+2+12λ,令g'(x)=0,由题意知Δ=36-4×3×2+12λ>0,解得λ<2.依题意,x1,x2是g'(x)的两个零点,所以x1+x2=2,x1·x2=2+12λ3, (*)
且3x12-6x1+2+12λ=0①,3x22-6x2+2+12λ=0②,①+②,得3(x12+x22)-6(x1+x2)+4+λ=0③,将(*)代入③,化简得x12+x22=8-λ3(**).
所以f(x1)-f(x2)=x13-x23-3(x12-x22)+2(x1-x2)
=(x1-x2)[x12+x22+x1x2-3(x1+x2)+2]④,将(*)、(**)代入④,得f(x1)-f(x2)=(x1-x2)8-λ3+2+12λ3-6+2=-(x1-x2)(λ+4)6.由于x1-x2<0,所以当0<λ<2、-4<λ<0、-2<λ<0时,λ+4>0, f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2),故A、B错误,C正确.当λ<-4时,λ+4<0, f(x1)-f(x2)<0,f(x1)
三、填空题
13.答案　2ln 2
解析　f'(x)=2ef'(e)x-1e,故f'(e)=2ef'(e)e-1e,解得f'(e)=1e,所以f(x)=2ln x-xe, f'(x)=2x-1e,
令f'(x)=0,解得x=2e,
所以函数f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,
故f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2.
14.答案　-3;(0,2)
解析　由函数f(x)的图像过点(-1,-6),得m-n=-3.
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f'(x)=3x2+2mx+n,
所以g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
因为函数g(x)的图像关于y轴对称,所以-2m+62×3=0,解得m=-3,∴n=0,
所以f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
令f'(x)<0,得0 15.答案　12
解析　由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x+2ax-3,
由题意得f'(2)=4a-2=0,解得a=12,此时f'(x)=x-3+2x=x2-3x+2x.
令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

所以函数f(x)在x=2处取得极小值.
故a=12.
16.答案　4e
解析　易知f(x)=x-1x+aln x的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1+1x2+ax=x2+ax+1x2.
令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,x∈(0,+∞),
因为存在m,n,使得f'(m)=f'(n)=0,且m∈0,1e,
所以x2+ax+1=0在x∈(0,+∞)上有两个不相等的实数根m,n,且m+n=-a,m·n=1,
所以n=1m,a=-m-1m,
所以f(m)-f(n)=m-1m+-m-1mln m-1m+m--m-1mln 1m
=2-m-1mlnm-1m+m.
令h(x)=2-x-1xlnx+x-1xx∈0,1e,
则h'(x)=21x2-1ln x=2(1-x)(1+x)x2·ln x,当x∈0,1e时,h'(x)<0恒成立,
所以h(x)在x∈0,1e上单调递减,
所以h(x)min=h1e=4e,即f(m)-f(n)的最小值为4e.
四、解答题
17.解析　(1)选择①.由已知得f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax,
由题意得f'(2)=2a,即8+2a2=2a,解得a=4.(4分)
选择②.由已知得f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax,直线12x-y+1=0的斜率为12,
由题意得f'(1)=-2,即2+2a=-2,解得a=-2.(4分)
选择③.由已知得f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax,直线4x-y=0的斜率为4,
由题意得f'(1)=4,即2+2a=4,解得a=1.(4分)
(2)依题意g(x)=2x+x2+2aln x(a≠0),
则g'(x)=-2x2+2x+2ax.(5分)
由函数g(x)在[1,2]上是减函数,得g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立,即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=1x-x2,x∈[1,2],则h'(x)=-1x2-2x,当x∈[1,2]时,h'(x)<0,(8分)
因此h(x)在[1,2]上为减函数,所以h(x)min=h(2)=-72,故a≤-72.
所以实数a的取值范围为-∞,-72.(10分)
18.解析　(1)∵函数f(x)=x3-ax+1的图像在点(0,1)处的切线方程为y=-3x+1,
∴f'(0)=-3,又∵f'(x)=3x2-a,∴f'(0)=-a=-3,∴a=3.(4分)
(2)由(1)知f(x)=x3-3x+1,则f'(x)=3(x2-1),令f'(x)=0,解得x=±1.(6分)
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示:
x
[0,1)
1
(1,2]
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值-1
↗

因此,当x=1时, f(x)有极小值,也是最小值,为f(1)=-1,又f(0)=1, f(2)=3,(11分)
∴函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为3,最小值为-1.(12分)
19.解析　(1)由题可得函数f(x)的定义域为R, f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,
令f'(x)<0,得x<-1;令f'(x)>0,得x>-1,(2分)
所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=-1处取得极小值,极小值为-1e,无极大值.(4分)
(2)f(x)-ln x-mx≥1即xex-ln x-mx≥1,即m≤ex-lnxx-1x(x>0),
因为当x>0时,关于x的不等式f(x)-ln x-mx≥1恒成立,
所以当x>0时,m≤ex-lnxx-1xmin.(6分)
令g(x)=ex-lnxx-1x,x>0,
则g'(x)=x2ex+lnxx2,
设h(x)=x2ex+ln x(x>0),易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又h1e=e1e-2-1<0,h(1)=e>0,(8分)
所以存在x0∈1e,1,使得h(x0)=0,即x02ex0+ln x0=0,
所以当0x0时,g'(x)>0,
所以函数g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
由x02ex0+ln x0=0可得x0ex0=-ln x0x0=(-ln x0)e-ln x0,
所以f(x0)=f(-ln x0),x0∈1e,1,-ln x0∈(0,1),(10分)
由(1)知,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以x0=-ln x0,即ex0=1x0,
所以g(x)min=g(x0)=ex0-ln x0x0-1x0=1,所以m≤1.
故实数m的取值范围为(-∞,1].(12分)
20.解析　(1)∵f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13,
∴f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-1)x-1a,(2分)
因为a>1,所以0<1a<1,
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示:
x
-∞,1a
1a
1a,1
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

所以当x=1a时, f(x)有极大值,且极大值为f1a=-2a2+3a-16a2,
当x=1时, f(x)有极小值,且极小值为f(1)=-16(a-1).(6分)
(2)由(1)得f'(x)=a(x-1)x-1a.
∵01.
① 当1a≥2,即0 ∵f(0)=-13<0, f(1)=-16(a-1)>0,f(2)=13(2a-1)≤0,
∴f(x)在(0,1)和(1,2]上各有一个零点,
此时f(x)在[0,2]上有两个零点.(8分)
② 当1<1a<2,即12 ∵f(0)=-13<0, f(1)=-16(a-1)>0,f1a=-(2a-1)(a-1)6a2>0,
∴f(x)在(0,1)上有且只有一个零点,在(1,2)上没有零点,
此时f(x)在[0,2]上有且只有一个零点.(11分)
综上所述,当0 21.解析　作ED⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E,F,如图所示.

则有DC=EF,所以AE=BF=1,所以AD=2.(2分)
(1)设PD=x千米,
在△APD中,AP2=AD2+DP2-2AD·DP·cos ∠ADP,
即7=4+x2-4xcos 120°,整理得x2+2x-3=0,
所以x=1或x=-3(舍去),
所以PC=1千米,又PC路段的造价为每千米8万元,
所以PC路段的总造价为8万元.(4分)
(2)因为在△APD中,∠APD=∠PAB=θ,∠ADP=120°,所以∠DAP=60°-θ,
所以由正弦定理得,APsin120°=ADsinθ=PDsin(60°-θ),
所以AP=3sinθ,PD=2sin(60°-θ)sinθ.(6分)
设总造价为y万元,则y=10AP+8(2-PD)=103sinθ+16-16sin(60°-θ)sinθ
=23(5-4cosθ)sinθ+24,π6<θ<π3.(8分)
则有y'=23(4-5cosθ)sin2θ,
令y'=0,得cos θ=45,令cos θ0=45,θ0∈π6,π3.(10分)
当θ变化时,y',y的变化情况如表所示:
θ
π6,θ0
θ0
θ0,π3
y'
-
0
+
y
↘
极小值
↗

所以当θ=θ0,即cos θ=45时,y有最小值.
故当cos θ=45时,AP,PC路段的总造价最低.(12分)
22.解析　(1)由已知得f'(x)=aex-1,
当a≤0时, f'(x)<0在(-∞,+∞)上恒成立, f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
当a>0时,由f'(x)=0,解得x=-ln a,
由于a>0时,导函数f'(x)=aex-1单调递增,
故当x∈(-∞,-ln a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(-ln a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.(2分)
综上,当a≤0时, f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
当a>0时, f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(3分)
(2)曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与C1,C2分别切于点(x1,aex1),(x2,x22),显然x1≠x2.
由于(aex)'=aex,(x2)'=2x,
所以aex1=2x2=aex1-x22x1-x2,
所以2x2x1-2x22=aex1-x22=2x2-x22,
所以2x1x2-x22=2x2. (4分)
由于a>0,故x2>0,即x2=2x1-2>0,
因此x1>1,
此时a=2x2ex1=4(x1-1)ex1,
设F(x)=4(x-1)ex(x>1),
问题等价于直线y=a与曲线y=F(x)在x>1时有且只有一个公共点.(5分)
易知F'(x)=4(2-x)ex,令F'(x)=0,解得x=2,
易知F(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,
所以F(x)的值域为0,4e2.
故a=4e2.(7分)
(3)当a=1时, f(x)=ex-x-1,问题等价于不等式ex-x-1-kxln(x+1)≥0在x≥0时恒成立.
设h(x)=ex-x-1-kxln(x+1)(x≥0),易知h(0)=0,
设m(x)=h'(x)=ex-1-kln(x+1)+x1+x(x≥0),(8分)
则m'(x)=ex-k11+x+1(1+x)2,
而m'(0)=1-2k.(9分)
(i)当1-2k≥0,即k≤12时,
由于x≥0,所以ex≥1,k11+x+1(1+x)2≤1211+x+1(1+x)2≤1,
此时m'(x)≥0,m(x)在[0,+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(0)=0,
即h'(x)≥0,所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,
即ex-x-1-kxln(x+1)≥0,故k≤12满足题意.(10分)
(ii)当k>12时,m'(0)<0,
易知m'(x)=ex-k11+x+1(1+x)2在[0,+∞)上单调递增,
令x=ln 2k>0,则m'(ln 2k)=2k-k11+ln2k+1(1+ln2k)2>2k-2k=0,
故在(0,ln 2k)上存在唯一实数x0,使得m'(x0)=0,
因此当x∈(0,x0)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x) 即h'(x)<0,所以h(x)在(0,x0)上单调递减,故h(x) 亦即ex-x-1-kxln(x+1)<0,故k>12不符合题意.
综上,实数k的取值范围为-∞,12.(12分)