人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.2 排列与排列数精练

3.1.2　排列与排列数

基础过关练

题组一　排列及其相关概念

1.(2019北京四中高二月考)下列问题属于排列问题的是(　　)

①从10个人中选2人分别去种树和扫地;

②从10个人中选2人去扫地;

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为logab中的底数与真数.　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.①④ B.①② C.④ D.①③④

2.(2020湖南湘潭高二模拟)从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(　　)

A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲

B.甲乙丙,乙丙甲

C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙

D.甲乙,甲丙,乙丙

题组二　排列数与排列数公式

3.(2019江西九江高二期中)18×17×16×…×9×8=(　　)

A.  B.    C. D.

4.(2020安徽六安一中高二月考)=(　　)

A. B. C. D.

5.(2019福建厦门高二期末)计算:2-+=　　　　. 

6.已知=10,则n的值为　　　　. 

7.求证:-=m.

题组三　排列问题

8.用四个数字1,2,3,4组成没有重复数字的两位数的个数为(　　)

A.6 B.12 C.16 D.20

9.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位男家长 ,另外两个小孩儿要排在一起,则所有的排法种数为(　　)

A.12 B.24 C.36 D.48

10.(2019广东惠州高二期末)已知直线l:mx+ny=0,若m,n∈{1,2,3,4,5,6},则能得到的不同直线的条数是　(　　)

A.22 B.23 C.24 D.25

11.(2020黑龙江哈尔滨三中高二期末)某单位安排5位员工在10月3日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天,则不同的安排方案共有　　　　种.(用数字作答) 

12.(2020山东日照高二联考)有3名男生、4名女生,若全体排成一排,则甲不站最左边,也不站最右边的排法种数为　　　;甲不站最左边,乙不站最右边的排法种数为　　　　. 

13.解答以下问题,最终结果用数字表示.

(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数?

(2)由1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数?

(3)由1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且1、2、3必须按由大到小顺序排列的五位数?

题组四　排列与概率的综合应用

14.(2019四川成都树德中学高二期中)甲、乙、丙三人随机排成一排,乙站在中间的概率是(　　)

A. B. C. D.

15.(2020湖北武汉高二模拟)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本,若将其随机地摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都相邻的概率是　　　　. 

能力提升练

题组一　排列数与排列数公式

1.(2019上海延安中学高二期末,)若m∈N+,m<27,则(27-m)(28-m)…(34-m)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.

2.(2020山东东营垦利一中模拟,)若=2,则logn25的值为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.不确定

3.(2020山东师范大学附中高二期中,)已知=89,则n的值为　　　　. 

4.(2020上海金山张堰中学高二期中,)(1)解不等式:3≤2+6;

(2)解方程:=140.

题组二　排列的应用

5.(2019山西大同高考模拟,)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为(　　)

A.120           B.240  C.360 D.480

6.(2020山东省实验中学高二月考,)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次安排有　(　　)

A.60种 B.48种 C.30种 D.24种

7.(2020山西长治第二中学高二期中,)用数字0,2,4,7,8,9组成无重复数字的六位数,其中大于420 789的正整数的个数是(　　)

A.479           B.180  C.455 D.456

8.(2020山东淄博淄川中学高二期中,)甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛,并决出了第一名到第五名的五个名次,甲、乙去询问成绩,组织者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析,这五个人的名次排列的不同情形共有(　　)

A.30种 B.36种 C.48种 D.54种

9.(2019上海杨浦高三期末,)数字不重复,且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为　　　　. 

10.(2020黑龙江牡丹江一中高二期末,)如图,对A、B、C、D、E、F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则共有　　　　种不同的染色方法. 

11.(2020浙江杭州高二期末,)有3名男生和3名女生,每人都单独参加某次面试,现安排他们的出场顺序.

(1)若女生甲不在第一个出场,女生乙不在最后一个出场,求不同的安排方式总数;

(2)若3名男生的出场顺序不同时相邻,求不同的安排方式总数.

题组三　排列与概率的综合应用

12.(2020河北秦皇岛高三期中,)“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.若将“仁、义、礼、智、信”排成一排,则“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为(　　)

A. B. C. D.

13.(2019湖北华中师大一附中高二期末,)若将1,2,3,a,b,c排成一排,则字母a不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是　　　　. 

14.(2020山东枣庄高二专题模拟,)5名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生2人,女生2人.

(1)求两名女生相邻而站的概率;

(2)求教师不站中间且女生不站两端的概率.

3.1.2　排列与排列数

基础过关练

1.A　由排列的概念知①④是排列问题.

2.C　若选出的是甲、乙,则站法有甲乙、乙甲;若选出的是甲、丙,则站法有甲丙、丙甲;若选出的是乙、丙,则站法有乙丙、丙乙.故选C.

3.D　因为从8~18共有11个数,所以18×17×16×…×9×8=,故选D.

4.A　===.故选A.

5.答案　230

解析　2-+=2×5×4×3×2-4×3×2×1+=230.

6.答案　8

解析　∵=10,∴n≥3,

∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),

∴2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.

7.证明　因为-

=-

=·

=·

=m·=m,

所以-=m.

8.B　根据题意,一共有=4×3=12个不同的两位数.

9.B　先安排首尾两个位置的男家长,共有种方法;将两个小孩儿作为一个整体,与剩下的另两位女家长一同安排在两位男家长的中间,共有种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法种数为=24.故选B.

10.B　当m,n相等时,能且只能得到1条直线;当m,n不相等时,有=6×5=30 种情况,但==,==,=,=,=,=,重复了8条直线,因此共能得到1+30-8=23条不同的直线.故选B.

11.答案　72

解析　先安排除甲、乙之外的3人,然后利用插空法安排甲、乙两人,故不同的安排方案共有=72种,故答案为72.

12.答案　3 600;3 720

解析　先排甲,有5种排法,其余6人全排列,有种排法,共有5×=3 600种排法.

将7名学生全排列,有种排法,其中甲站最左边时,有种排法,乙站最右边时,有种排法,其中都包含了甲站最左边且乙站最右边的情形,有种排法,故共有-2×+=3 720种排法.

13.解析　(1)偶数的末位数字必须为0,2,4,对此进行以下分类:

当末位数字是0时,剩下的1,2,3,4进行全排列,有=24个数;

当末位数字是2时,注意0不能排在首位,首位从1,3,4选出,有种排法,将剩下的三个数进行全排列,有种排法,所以当末位数字是2时,有=18个数;

同理,当末位数字是4时也有18个数,所以由0、1、2、3、4可以组成的无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.

(2)由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数一共有=5×4×3×2×1=120个.

第一步,把2、3捆绑,有=2种排法;

第二步,将捆绑的2、3与1、4、5一起进行全排列,共有=4×3×2×1=24个数,根据分步乘法计数原理,其中2、3相邻的五位数共有=48个,因此由1、2、3、4、5组成的无重复数字且2、3不相邻的五位数共有120-48=72个.

(3)把五位数的每个数位都看成一个空,易知数字4、5共有=5×4=20种排法,然后把数字1、2、3按照3、2、1的顺序插入,只有1种排法,根据分步乘法计数原理,可知由1、2、3、4、5组成的无重复数字且1、2、3必须按由大到小顺序排列的五位数共有×1=20个.

14.B　三个人排成一排的所有情况有=6种,其中乙站在中间的情况有=2种,所以乙站在中间的概率为,故选B.

15.答案　

解析　由题意,把5本书随机地摆在书架上,共有=120种结果,其中同一科目的书都相邻,即把2本语文书和2本数学书各自捆绑在一起,共有=24种结果,所以同一科目的书都相邻的概率是=.

能力提升练

1.D　因为(27-m)(28-m)…(34-m)=(34-m)…(28-m)(27-m),它表示的是从(34-m)连乘到(27-m),一共是8个正整数连乘,所以(27-m)(28-m)…(34-m)=.故选D.

2.B　由=2,得=2·,解得n=5(n=0舍去),

所以logn25=log525=2.故选B.

3.答案　15

解析　由题得=90,∴(n-5)(n-6)=90,解得n=15(n=-4舍去).

4.解析　(1)因为=x(x-1)(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),x≥3,解得3≤x≤5,易知x∈N,所以原不等式的解集为{3,4,5}.

(2)易得所以x≥3,x∈N,由=140得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),

化简,得4x2-35x+69=0,解得x1=3,x2=(舍去).

所以该方程的解为x=3.

5.C　前排3人形成4个空,从甲、乙、丙三人中选一人插入,有种方法.后排4人形成5个空,若插入的两人不相邻,则有种方法,若两人相邻则有种方法,故共有(+)=360种方法,故选C.

6.B　因为A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,所以只有一种座次安排;考虑B、C只能选择相邻的两个座位,位置可以互换,根据排列数的计算公式,可知有4种座次安排,接下来考虑其余三人坐剩余的三把椅子,且位置可以互换,有种座次安排,根据分步乘法计数原理知,有4××=48种座次安排,故选B.

7.C　若十万位的数字大于4,则有3×=360个满足题意的六位数;若十万位的数字为4,当万位的数字大于2时,有3×=72个满足题意的六位数,当万位的数字为2且千位的数字不为0时,有3×=18个满足题意的六位数,当万位的数字为2且千位的数字为0时,有2×+1=5个满足题意的六位数.

综上可知,一共有360+72+18+5=455个满足题意的六位数.故选C.

8.D　先排乙,有3种情形,再排甲,有3种情形,最后排剩余三人,有种情形,因此共有3×3×=54种情形,故选D.

9.答案　840

解析　根据题意,0到9十个数字中差的绝对值等于2的组合有8种:0与2,1与3,2与4,3与5,4与6,5与7,6与8,7与9.

分2种情况讨论:①当个位与千位数字为0,2时,只能千位为2,个位为0,有=56个满足题意的四位数;②当个位与千位数字为1与3,或2与4,或3与5,或4与6,或5与7,或6与8,或7与9时,先排千位数字,再排个位数字,最后排十位与百位数字,有7××=784个满足题意的四位数.

综上,共有784+56=840个满足题意的四位数.

10.答案　96

解析　要完成给题图中的A、B、C、D、E、F六个区域进行染色,可将染色方法分为两类,第一类是仅用三种颜色染色,则A、F同色,B、D同色,C、E同色,即从四种颜色中取三种,有4种取法,用三种颜色染三个区域有=6种染法,共有4×6=24种染法;

第二类是用四种颜色染色,即A、F,B、D,C、E三组中有一组不同色,则有3种方案(A、F不同色或B、D不同色或C、E不同色),先从四种颜色中取两种染同色区域,有=12种染法,剩余两种染在不同色区域,有2种染法,共有3×12×2=72种染法.

由分类加法计数原理可得不同的染色方法种数为24+72=96.

11.解析　(1)解法一:不考虑任何限制,6名同学的出场顺序总数为,

女生甲在第一个出场和女生乙在最后一个出场的顺序总数均为,

女生甲在第一个出场且女生乙在最后一个出场的顺序总数为,

则符合条件的安排方式总数为--+=504.

解法二:按女生甲分类,她在最后一个出场的顺序总数为;

若她不在最后一个出场,则只能在除首尾之外的四个位置中选择一个,

女生乙再在剩余四个位置中选择一个,此时出场的顺序总数为,

则符合条件的安排方式总数为+=504.

(2)3名男生同时相邻时,将3名男生看成一个整体,与3名女生一起看作4个对象进行全排列,有种安排方式,则符合条件的安排方式总数为 -=576.

12.A　将“仁、义、礼、智、信”排成一排,无限制条件时有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有种,故概率为=,故选A.

13.答案　

解析　将1,2,3,a,b,c排成一排一共有种不同排法,在1,2,3中任取2个数字作为一个整体,有种方法,先将a,b,c进行排列(不考虑a是否在两端),有种排法,再将“整体”与另一个数字插入a,b,c形成的4个空中,有种方法,再将其中a在两端的情形去除掉,则字母a不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻有(-)种不同的排法,所以其概率为=.

14.解析　5名师生站成一排照相留念共有=120种站法,

(1)记“两名女生相邻而站”为事件A,易知两名女生相邻而站有种站法,将其视为一个整体与其余3个人全排列,有种排法,所以共有=48种不同站法, 则P(A)==,

即两名女生相邻而站的概率为.

(2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B,事件B分两类:

①教师站在一端,另一端由男生站,有=24种站法;

②两端全由男生站,教师站除两端和正中间外的2个位置之一,有=8种站法,

所以,事件B共包含24+8=32种站法,

则P(B)==,

即教师不站中间且女生不站两端的概率为.