2020-2021学年第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数课时作业

课时分层作业(四)　排列数的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有(　　)

A．25种　　　 B．55种

C．A种 D．53种

C　[其不同的轮流放映相当于将5所大学的全排列，即A.]

2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)

A．6种 B．9种

C．18种 D．24种

C　[先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有A·A＝18(种)．]

3．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．6　　 B．12

C．18　　 D．24

D　[先从2,4中选一个数字，有2种选法；再从1,3,5中选两个数字并排列，有A种选法；最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×A×2＝24.]

4．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为(　　)

A．480　　 B．360

C．120　　 D．240

D　[甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A＝720(种)，甲、乙、丙的排列有A＝6(种)，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有2×＝240(种)．故选D.]

5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)

A．24种 B．36种

C．48种 D．72种

B　[分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；

第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．

由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．]

二、填空题

6．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

48　[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．]

7．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．

240　[翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．]

8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．

24　[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，

②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，

③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．

则共有2×2×6＝24种排法．]

三、解答题

9．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有多少个？

[解]　第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；

第2类，个位数字是4，有AA个数；

第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．

由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．

10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．

[解]　所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个球颜色互不相同有A＝4×3×2×1＝24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．

11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)

A．10种 B．12种

C．9种 D．8种

B　[先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．

因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．]

12．(多选题)用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　)

A．A＋A·A·A 

B．A＋A·(A－A)

C．A·A·A＋A·A·A 

D．A－A－A(A－A)

ABCD　[法一：先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有A种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有A＋A×A×A＝2296种．

法二：个位是0的不同四位数偶数共有A种，个位不是0的不同四位偶数有A×A个，其中包含个位是偶数且千位为0的A×A种，故没有重复数字的四位偶数共有：A＋A(A－A)＝2296个．

法三：若千位为奇数，则有A×A×A个，若千位是偶数，有A×A×A个，故共有A×A×A＋A×A×A＝2296个．

法四：没有重复数字的四位数有A－A个，没有重复数字的四位奇数有A(A－A)个，故没有重复数字的四位偶数有A－A－A(A－A)＝2296个．

故选ABCD.]

13．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有________种．

24　[甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空中有A种方法．所以由分步乘法计数原理，共有AAA＝24种排法．]

14．(一题两空)六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为________．

24　96　[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．不考虑任何限制，共有＝120种不同放车方法，若三个空车位不连在一起，则共有120－24＝96种停放方法．]

15．从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的有几个？

[解]　(1)a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种．故可组成一元二次方程A·A＝48个．

(2)方程要有实根，需Δ＝b2－4ac≥0.

c＝0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；

c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个．故有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18个．