2021年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷 word版，含解析

这是一份2021年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷 word版，含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）
1．（3分）8的立方根等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则x的值是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）下列四个立体图形中，主视图与其它三个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4
C．（﹣3a）3•（﹣5a）5＝15a8 D．（﹣2x）2＝4x2
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大
C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上
D．方差越大，数据的波动越大
7．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．105° B．75° C．110° D．120°
8．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案直接写在答题卡相应位置上
9．（3分）在你认识的图形中，写出一个是中心对称图形的名称：　 　．
10．（3分）今年是中国共产党成立100周年，据中央组织部发布的党内统计公报，截至2019年12月31日，中国共产党党员总数为9191.4万名．数据9191.4万用科学记数法表示为 　 　．
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
12．（3分）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是　 　．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是刘军老师的健康码示意图，用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，刘军老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为　 　cm2．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　 　．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝8，BC＝4，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，Q为线段BP中点，将线段PQ绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（6分）计算：|﹣2|+tan60°﹣（﹣2021）0．
18．（6分）求不等式组的整数解．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
20．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
21．（8分）每年4月23日为“世界读书日”．为了解全校学生课外阅读情况，某校八年级（1）班研究性学习小组在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 　 　名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书以上的（含2本）约有多少人．

22．（10分）某社区计划给2400名居民注射新冠疫苗，实际每天注射疫苗的人数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天注射完成．求实际每天注射疫苗多少人？
23．（10分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，若将点B沿直线EF折叠，点B恰好与点D重合．
（1）请利用直尺、圆规在图中作出四边形BEDF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝6，AD＝8，求四边形BEDF的周长．

24．（10分）AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于CD，垂足为D．

（1）如图①，若AC平分∠BAD，求证：CD是⊙O的切线．
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图②，直线CD交⊙O于C、G两点，AG＝2，BG＝4，求cos∠CAD的值．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

26．（12分）在正方形ABCD中，点P是CD边上一点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DE、EF．
（1）如图①，若EF恰好经过点B，
①求证：DE⊥EF；
②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论．
（2）如图②，若EF恰好经过点C，当CF＝2CE时，求tan∠BCF的值．

27．（14分）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如下图，过点P（3，6）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”．
请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 　 　；（填字母代号）
（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
②在直角坐标系上画出函数图象，观察图象说明该图象可由函数 　 　的图象平移得到；
③结合图象探索性质，结论：A．图象与坐标轴没有交点；B．在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 　 　（填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围．



2021年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）
1．（3分）8的立方根等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】利用立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：8的立方根是2，
故选：A．
2．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则x的值是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．
【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，
∴x＝3，
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：∵x2+2＞0，
∴点P（x2+2，﹣3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
4．（3分）下列四个立体图形中，主视图与其它三个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图中的主视图解答即可．
【解答】解：选项A、B、D的主视图的底层两个小正方形，上层左边一个小正方形，
选项C的主视图的底层两个小正方形，上层是两个小正方形，
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4
C．（﹣3a）3•（﹣5a）5＝15a8 D．（﹣2x）2＝4x2
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝x5，故A不符合题意．
B、原式＝2x2，故B不符合题意．
C、原式＝﹣27a3•（﹣3125a5）＝84375a8，故C不符合题意．
D、原式＝4x2，故D符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大
C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上
D．方差越大，数据的波动越大
【分析】根据等弧的定义、概率的意义、利用频率估计概率及方差的意义即可作出判断．
【解答】解：A、能完全重合的弧是等弧，故此选项错误；
B、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；
C、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次，该事件是随机事件，本选项正确．
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，故此选项正确；
故选：A．
7．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．105° B．75° C．110° D．120°
【分析】由已知条件易求∠1的度数，再根据三角形的内角和定理及可求解．
【解答】解：由题意得∠1＝90°﹣60°＝30°，

∵∠α＝45°+∠1，
∴∠α＝45°+30°＝75°，
故选：B．
8．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案直接写在答题卡相应位置上
9．（3分）在你认识的图形中，写出一个是中心对称图形的名称：　圆、线段、平行四边形等（答案不唯一）　．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而写出一个符合题意的图形．
【解答】解：中心对称图形的名称：圆、线段、平行四边形等（答案不唯一）．
故答案为：圆、线段、平行四边形等（答案不唯一）．
10．（3分）今年是中国共产党成立100周年，据中央组织部发布的党内统计公报，截至2019年12月31日，中国共产党党员总数为9191.4万名．数据9191.4万用科学记数法表示为 　9.1914×107　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此解答即可．
【解答】解：9191.4万＝91914000＝9.1914×107．
故答案为：9.1914×107．
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　a（a﹣1）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
12．（3分）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是　3　．
【分析】设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×5＝15π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
根据题意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
故答案为3．
13．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是刘军老师的健康码示意图，用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，刘军老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为　2.6　cm2．

【分析】根据频率可以估计阴影部分占正方形的65%，求出正方形面积即可求．
【解答】解：因为经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，
所以，估计阴影部分面积大约占正方形面积的65%，
正方形的面积为：2×2＝4（cm2），
由此可估计阴影部分的总面积约为：4×65%＝2.6（cm2），
故答案为：2.6．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．

【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAO＝＝tan∠BCE＝，即可得到，解得即可．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，
∴＝，即，
解得n＝，
故答案为．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　3　．

【分析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．
【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，

∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠FCE＝90°，
∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，
∴△EBC≌△EFC（ASA），
∴BC＝CF，
∵AB∥DC，
∴AD＝DF，
∴DC＝．
故答案为：3．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝8，BC＝4，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，Q为线段BP中点，将线段PQ绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 　　．

【分析】在AC上取点M，使CM＝＝2，证明△DPB∽△MCB，从而证明D，P，M，B四点共圆，得D的轨迹是一条线段，当AP⊥DM时，AD最小，再运用相似三角形的性质进行解题．
【解答】解：在AC上取点M，使CM＝＝2，

∵DP＝QP＝，
∴，
连接DM，BM，DB，
∵∠DPB＝∠MCB＝120°，
∴△DPB∽△MCB，
∴∠DBP＝∠MBC，
∴∠DBM＝∠PBC，
∵∠DPB＝∠PDB＝120°，
∴∠DPA+∠BPC＝∠BPC+∠PBC＝60°，
∴∠DPA＝∠PBC，
∴∠DPA＝∠DBM，
∴D，P，M，B四点共圆，
∴∠DMP＝∠DBP＝∠MBC，
∵CM＝2BC＝4，∠MCB＝120°，
∴∠MBC为定角，
∴∠DMP为定角，
∴∠AMD为定角，
∴点D的轨迹是一条线段，当AP⊥DM时，AD最小，
∵，∠MCB＝∠BCA，
∴△MCB∽△BCA，
∴∠CAB＝∠MBC＝∠DMA，
作BN⊥AC于N，
∴CN＝2，BN＝2，
∴AN＝10，
∴AB＝4，
作AD'⊥DM于D'，
∴sin∠D'MA＝＝sin∠BAC＝，
∴AD'＝6×＝，
∴线段AD的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（6分）计算：|﹣2|+tan60°﹣（﹣2021）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+﹣1
＝1．
18．（6分）求不等式组的整数解．
【分析】首先分别求出两个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．
【解答】解：，
由①得：x＜1.5，
由②得：x＞﹣，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜1.5，
∴不等式组的整数解是0，1．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的运算法则先计算括号内的，再计算分式的除法，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：原式＝÷（）
＝÷
＝•
＝．
当x＝ 时，原式＝＝．
20．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表格法表示点A所有可能的情况如下：

共有9种等可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P（点A在坐标轴上）＝．
21．（8分）每年4月23日为“世界读书日”．为了解全校学生课外阅读情况，某校八年级（1）班研究性学习小组在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 　100　名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书以上的（含2本）约有多少人．

【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比，然后补全统计图即可；
（3）用总人数乘以一个月阅读2本课外书以上的（含2本）所占的比例即可．
【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%＝100（人），
故答案为：100；

（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10＝5（人），
读2本人数所占百分比为×100%＝38%，
补全统计图如下：


（3）1500×（1﹣10%）＝1350（人），
估计该校学生一个月阅读2本课外书以上的（含2本）约有1350人．
22．（10分）某社区计划给2400名居民注射新冠疫苗，实际每天注射疫苗的人数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天注射完成．求实际每天注射疫苗多少人？
【分析】设原计划每天注射实际每天注射疫苗x人，则原计划每天注射疫苗x人，由题意：某社区计划给2400名居民注射新冠疫苗，实际比原计划少用2天注射完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每天注射实际每天注射疫苗x人，则原计划每天注射疫苗x人，
由题意得：，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，
答：实际每天注射疫苗600人．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，若将点B沿直线EF折叠，点B恰好与点D重合．
（1）请利用直尺、圆规在图中作出四边形BEDF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝6，AD＝8，求四边形BEDF的周长．

【分析】（1）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AD于E交BC于F．
（2）证明四边形BEDF是菱形，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图所示：四边形BEDF即所求作．


（2）设EF与BD交点为O．
∵EF垂直平分线线段BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD
∠EOD＝∠FOB，
∠EDB＝∠FBD，
∴△EOD≌△BOF（AAS），
∴ED＝BF＝BE＝DF，
∴四边形BEDF是菱形，
在Rt△AEB中，
∵∠A＝90°，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴62+（8﹣BE）2＝BE2，
∴BE＝，
∴四边形BEDF的周长为25．
24．（10分）AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于CD，垂足为D．

（1）如图①，若AC平分∠BAD，求证：CD是⊙O的切线．
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图②，直线CD交⊙O于C、G两点，AG＝2，BG＝4，求cos∠CAD的值．
【分析】（1）如图①，证明：连接OC，运用角平分线定义、等腰三角形性质和切线的判定定理即可证得结论；
（2）运用圆内接四边形性质可得：∠ACD＝∠B，再利用圆的直径所对圆周角为直角可推出∠CAD＝∠GAB，再利用勾股定理和三角函数定义即可求得答案．
【解答】（1）如图①，证明：连接OC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：如图②，∵∠B+∠ACG＝180°，∠ACD+∠ACG＝180°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AD垂直于CD，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
又∠B+∠GAB＝90°，
∴∠CAD＝∠GAB，
∴cos∠CAD＝cos∠GAB，
在Rt△AGB中，
∵∠AGB＝90°，
∴AG2+GB2＝AB2，
∵AG＝2，BG＝4，
∴AB＝，
∴cos∠GAB＝＝＝，
∴cos∠CAD的值为．


25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
【解答】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
26．（12分）在正方形ABCD中，点P是CD边上一点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DE、EF．
（1）如图①，若EF恰好经过点B，
①求证：DE⊥EF；
②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论．
（2）如图②，若EF恰好经过点C，当CF＝2CE时，求tan∠BCF的值．

【分析】（1）①由旋转的性质得出AE＝AF，∠EAF＝90°，证明△DAE≌△BAF（SAS），得出∠F＝∠DEA＝45°，则可得出结论；
②连接BD，由勾股定理可得出答案；
（2）连接AC，延长CB到G使得BG＝CB，连接GA，GF，证明△AGF≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出CE＝GF，证出∠GFC＝90°，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）①证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴△DAE≌△BAF（SAS），
∴∠F＝∠DEA＝45°，
∴∠DEA+∠FEA＝90°，
即DE⊥EF；
②解：BE2+BF2＝2AB2．
连接BD，

∵DE⊥EF，
∴DE2+BE2＝BD2，
在正方形ABCD中，BD2＝AB2+AD2＝2AB2，
∴BE2+BF2＝2AB2；
（2）连接AC，延长CB到G使得BG＝CB，连接GA，GF，

∵AB垂直平分GC，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG＝45°，
∴∠GAC＝90°，
又∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝∠CAE，
又∵AE＝AF，
∴△AGF≌△ACE（SAS），
∴CE＝GF，
∴∠AEC＝∠AFG＝45°，
∴∠GFC＝90°，
∵CF＝2CE，
∴，
∴tan∠BCF＝．
27．（14分）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如下图，过点P（3，6）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”．
请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 　D，E　；（填字母代号）
（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
②在直角坐标系上画出函数图象，观察图象说明该图象可由函数 　y＝　的图象平移得到；
③结合图象探索性质，结论：A．图象与坐标轴没有交点；B．在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 　A、B　（填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围．


【分析】（1）根据“靓点”定义进行判断便可；
（2）①根据“靓点”定义，由面积与周长相等列出x与y的方程，变形为y关于x的函数解析式，根据第一象限内的点的横纵坐标为正数及函数解析式有意义，得出x的取值范围；
II．①根据奇点的定义判断即可．
②结合图象及函数解析式可得y＝ 的函数图象由y＝ 向右平移2个单位，向上平移2个单位得到．
③结合图象求解．
（3）联立方程求出图象只有1个交点时k的值，然后结合图象求解．
【解答】解：（1）∵过点C（3，﹣4），分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，
∴矩形OACB的周长为14，面积为12，周长与面积不相等，
∴点C不是“靓点”，
∵过点D（﹣6，﹣3）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，
∴矩形OADB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，
∴点D是“靓点”，
∵过点E（，﹣5）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，
∴矩形OAEB的周长为，面积也为，周长与面积相等，
∴点E是“靓点”，
故答案为：D，E；
（2）①根据题意得，2（x+y）＝xy，
∴＝，
∵第一象限内的点的横纵坐标为正，
∴，
解得x＞2，
故自变量的取值范围为：x＞2；
∴y＝（x＞2）．
②如图，图象y＝可由y＝向右先平移2个单位，再向上平移2个单位得到．

③结合图像可得，结论：A．图象与坐标轴没有交点；B．在第一象限内，y随着x的增大而减小．
故答案为：A，B．
（3）∵直线y＝kx+8经过定点（0，8），
联立方程得kx2+（6﹣2k）x﹣16＝0，
当k≠0时，Δ＝（6﹣2k）2+64k，
当Δ＝0时，即（6﹣2k）2+64k＝0，
解得k＝﹣1或k＝﹣9．
当k＝﹣1时kx2+（6﹣2k）x﹣16＝﹣x2+8x﹣16＝0，
解得x＝4，满足题意．
当k＝﹣9时kx2+（6﹣2k）x﹣16＝﹣9x2+24x﹣16＝0，
解得x＝（舍）．
∴k＝﹣1时直线y＝kx+8与曲线y＝+2有1个交点，
如图，

结合图象可得当k≥0或k＝﹣1时，“靓点”的个数为1个，当﹣1＜k＜0时，“靓点”的个数为2个．