必修 第一册4.2 指数函数随堂练习题

这是一份必修 第一册4.2 指数函数随堂练习题，共19页。试卷主要包含了2指数函数同步练习，0分），50+364−0，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
若不等式(12)x2−2ax<23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,−1)B. (34,+∞)C. (0,34)D. (−∞,34)
三个数30.4，0.43，30.3的大小关系( )
A. 0.43<30.3<30.4B. 0.43<30.4<30.3
C. 30.3<30.4<0.43D. 30.3<0.43<30.4
若a，b是任意实数，且a>b，则( )
A. a2>b2B. ba<1C. lg(a−b)>0D. (12)a<(12)b
若lg2x=lg3y=lg5z<−1，则( )
A. 2x<3y<5zB. 5z<3y<2xC. 3y<2x<5zD. 5z<2x<3y
三个数30.4，0.43，30.3的大小关系( )
A. 0.43<30.3<30.4B. 0.43<30.4<30.3
C. 30.3<30.4<0.43D. 30.3<0.43<30.4
若142a+1<148−2a，则实数a的取值范围是( )
A. (74,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,74)
设y1=40.9，y2=80.48，y3=12−1.5，则( )
A. y3>y1>y2B. y2>y1>y3C. y1>y2>y3D. y1>y3>y2
已知f(x)=ax+2(a>0且a≠1)，且在区间[1,2]上有f(x)≥18恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [2−34,+∞)B. (0,2−34]⋃[1,+∞)
C. [2−34,1)⋃(1,+∞)D. (0,2−34]⋃(1,+∞)
设集合A={−1,0,1,2}，集合B={x|1≤2x≤8}，则A∩B=( )
A. {−1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}
已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x−1，h(x)=lg3x+x的零点依次为a，b，c，则( )
A. a已知函数f(x)=3x+2csx.若a=f32，b=f(2)，c=f(lg27)，则a，b，c的大小关系是
A. a设a=0.50.4，b=lg0.40.3，c=lg80.4，则a，b，c的大小关系是( )
A. a二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
不等式23x−1 <(12)1−2x的解集是 ；
不等式lg2 (3x−1) 计算：1.50+364−0.5−2= (1) ； (2) ．
设函数f(x)=x−1,x≥12−ex,x<1，则f(f(0))= .若f(x)<1，则x的取值范围是 ．
函数y=2x的图象与函数y=2−x的图象关于 对称，它们的交点坐标是 ．
函数f(x)=ax+1−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ，若该函数在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为2，则实数a= ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
已知函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，且点A又在函数g(x)=lg2(x+a)的图像上．
(1)若f(x)-f(-x)=32，求x的值;
(2)若函数y=f[g(x)]在区间[1,3]上的图像总在y=kx+1图像上方，求实数k的取值范围．
已知指数函数f(x)的图象过点2,19．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围；
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=axax+2．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)+f(1−x)=1；
(3)求f(12021)+f(22021)+f(32021)++f(20202021)的值．
设函数f(x)=ax−1−5(a>0，且a≠1)，若y=f(x)的图象过点(3,20)．
(1)求a的值及fx=0的解．
(2)求不等式f(x)≥−2的解集．
已知2x2+x⩽(14)x−2，求函数y=2x2+2x+2的值域．
已知ax2−2x>ax+4(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
已知不等式lg2(x+1)≤lg2(7−2x)．
(1)求不等式的解集A；
(2)若当x∈A时，不等式(14)x−1−4(12)x+2≥m总成立，求m的取值范围．
已知a>0且满足不等式22a+1>25a−2
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga3x+1(3)若函数y=lga2x−1在区间1,3上有最小值−2，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为−x2+2ax<3x+a2恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．
【解答】
解：原式变形为：2−x2+2ax<23x+a2恒成立，
∵函数y=2x是R上的单调递增函数，
∴−x2+2ax<3x+a2恒成立，
即x2−2a−3x+a2>0恒成立，
∴Δ=−2a−32−4a2<0，
解得a>34．
故选B．

2.【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数y=3x的单调性判断出30.4>30.3>1，结合0.43<1，即可得到三个数的大小关系．
本题考查利用指数函数的单调性判断出数的大小关系，注意中间值“1”“0”的利用．
【解答】
解：因为函数y=3x在R上是增函数，所以30.4>30.3>1，
又0.43<0.40=1，所以0.43<30.3<30.4，
故选：A．

3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数及其性质，不等式性质和特殊值法．
利用指数函数的单调性得D正确，用特值法可排除A、C、B．
【解答】
解：∵a，b是任意实数，且a>b，
∴不妨令a=0，b=−1，可排除A，C；
令a=−1，b=−2，可排除B；
∵y=(12)x为R上的单调递减函数，
∴a>b时，(12)a<(12)b，∴D正确．
故选D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了对数与指数互化，指数运算法则及幂函数及其性质．
设lg2x=lg3y=lg5z=k<−1，可得x=2k，y=3k，z=5k，然后根据幂函数的单调性可得答案．
【解答】
解：设lg2x=lg3y=lg5z=k<−1，
则：x=2k，y=3k，z=5k，
∴2x=2k+1，3y=3k+1，5z=5k+1，
∵k<−1，∴k+1<0，
又f(t)=tk+1在t∈(0,+∞)上单调递减，
∴5k+1<3k+1<2k+1，
∴5z<3y<2x．
故选B．

5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数y=3x的单调性判断出30.4>30.3>1，结合0.43<1，即可得到三个数的大小关系．
本题考查利用指数函数的单调性判断出数的大小关系，注意中间值“1”“0”的利用．
【解答】
解：因为函数y=3x在R上是增函数，所以30.4>30.3>1，
又0.43<0.40=1，所以0.43<30.3<30.4，
故选：A．

6.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查指数不等式的求解及指数函数的单调性，属于基础题．
根据指数函数的单调性得到关于a的不等式，求解即可．
【解答】
解：函数y=(14)x在R上为减函数，
因为(14)2a+1<(14)8−2a，
所以2a+1>8−2a，解得a>74．
故选A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查指数函数及其性质，根据指数函数的单调性求解．
【解答】
解：因为y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12−1.5=21.5，
又y=2x为R上的增函数，
由1.44<1.5<1.8，可得y1>y3>y2．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数不等式的恒成立问题，考查指数函数的性质和指数不等式的问题．
题设等价于在区间[1,2]上，f(x)min⩾18.讨论a>1和0【解答】
解：“在区间[1,2]上，f(x)⩾18恒成立”等价于“在区间[1,2]上，f(x)min⩾18”.
①当a>1时，f(x)=ax+2∈[a3,a4]，即a3⩾18，解得a⩾12，故a>1；
②当0综上，实数a的取值范围是．
故选C．

9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了指数不等式的解法及集合的交集与运算，是基础题．
解指数不等式得集合B，再求两集合的交集即可．
【解答】
解：由函数y=2x单调递增，不等式20≤2x≤23解得0≤x≤3，即集合B={x|0≤x≤3}，
则A∩B={0,1,2}．
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：令f(x)=2x+x=0，解得x<0，令g(x)=x−1=0，解得x=1，
由h(x)=lg3x+x，令h(13)=−1+13<0，h(1)=1>0，因此h(x)的零点x0∈(13,1)．
则b>c>a．
故选：D．
利用函数零点的判定方法即可得出．
本题考查了对数与指数函数的单调性、函数零点的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查函数的单调性的应用，利用导数判断单调性，再结合指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
求函数f(x)=3x+2csx的导数f′(x)=3−2sinx≥0，可得函数f(x)在R上递增，即可得b【解答】
解：∵函数f(x)=3x+2csx的导数f′(x)=3−2sinx≥0，
∴函数f(x)在R上递增，
∵32>3，lg27∈(2,3)，所以32>lg27>2，
∴f(32)>f(lg27)>f(2)，∴b故选D．

12.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，关键是利用中间量0，1的比较，属于基础题．
【解答】
解：∵a=0.50.4<0.50=1；b=lg0.40.3>；c=lg80.4故选C．
13.【答案】{x|x<0}
{x|13【解析】
【分析】
本题考查了指数不等式及对数不等式的解法，考查指数及对数函数的单调性，属于基础题．
根据指数及对数函数的单调性分别求解即可．
【解答】
解：23x−1<(12)1−2x⇒23x−1<22x−1⇒3x−1<2x−1⇒x<0，
即不等式23x−1<121−2x的解集是{x|x<0}；
由可得，
所以3x−1>03x−1<14，解得13即不等式lg2(3x−1)故答案为{x|x<0}；{x|13
14.【答案】1
34
【解析】
【分析】
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】
解：1.50+364−0.5−2
=1+4−4
=1．
2−2+lg23=2−2×2lg23
=14×3=34．
故答案为：1；34．
15.【答案】0
0,4
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数、函数的定义域和指数不等式，先得出f(0)，再代入即可，若f(x)<1，则x≥1x−1<1或x<12−ex<1，解出取并集即可．
【解答】
解：f(0)=2−e0=2−1=1，
所以f(f(0))=f(1)=1−1=0，
若f(x)<1，
则x≥1x−1<1或x<12−ex<1,
解得1≤x<4或0所以x的取值范围是0,4，
故答案为0；0,4．

16.【答案】y轴
(0,1)
【解析】解：因为y=2−x=(12)x，结合指数函数的图象知，
函数y=2x的图象与函数y=2−x的图象关于y轴对称，
它们的交点坐标是(0,1)．
故答案为：y轴;(0,1)．
由y=2−x=(12)x，结合指数函数的图象与性质，即可得出结论．
本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
17.【答案】(−1,0)
2
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了指数函数的单调性，是中档题．
令x+1=0即可求出函数f(x)过的定点坐标，根据函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值在区间端点处取得，得到|f(0)−f(1)|=2，从而求出a的值．
【解答】
解：∵f(x)=ax+1−1，
∴令x+1=0得：x=−1，此时y=1−1=0，
∴函数f(x)的图象恒过定点(−1,0)，
∵函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为2，
∴|f(0)−f(1)|=2，
∴|(a−1)−(a2−1)|=2，
整理得|a2−a|=2，
∴a2−a=−2或a2−a=2，
解得a=2或−1，
又∵a>0且a≠1，
∴a=2．
故答案为：(−1,0)；2．

18.【答案】解：(1)f(x)=ax+1(a>0)，
当x=0时，f(x)=2，
则函数y=f(x)图像恒过定点A(0,2)，
又∵A(0,2)在函数y=g(x)图像上，
则2=lg2a，得a=2
由f(x)−f(−x)=32，则2x−2−x=32，
令2x=t>0，则t−1t=32，
即2t2−3t−2=0，(2t+1)(t−2)=0，
∵t>0，∴t=2，
即2x=2，得x=1．
(2)f[g(x)]=2lg2(x+2)+1=2lg2(x+2)2+1=(x+2)2+1，
函数y=f[g(x)]在区间[1,3]上的图像总在直线y=kx+1图像上方，
则(x+2)2+1>kx+1在区间[1,3]上恒成立，
即x2+(4−k)x+4>0在区间[1,3]上恒成立，
令h(x)=x2+(4−k)x+4，则h(x)min>0，
函数y=h(x)的对称轴为x=k2−2，
①k2−2≤1，即k≤6，y=h(x)在区间[1,3]上单调递增，
h(x)min=h( 1)=9−k>0，
则k<9，
又k≤6，∴k≤6；
②1函数y=h(x)在(1,k2−2)上单调递减，在区间(k2−2,3)上单调递增，
则h(x)min=h(k2−2)=(k2−2)2+(4−k)(k2−2)+4=−k24+2k>0，
则0又6 ③k2−2≥3，即k≥10，y=h(x)在区间[1,3]上单调递减，
h(x)min=h(3)=25−3k>0，即k<253，
又k≥10，∴无解，
综上所述，实数k的取值范围为(−∞,8)．
【解析】本题考查对数函数的性质，指数函数的性质，二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于难题．
(1)求出A点坐标，代入g(x)=lg2(x+a)中，求出a，利用f(x)−f(−x)=32，得到2x−2−x=32，解方程即可；
(2)由题意可得x2+(4−k)x+4>0在区间[1,3]上恒成立，令h(x)=x2+(4−k)x+4，转化为h(x)min>0，分情况讨论求出函数的最小值即可求解．
19.【答案】解：(1)设f(x)=ax(a>0且a≠1)．
将点(2,19)代入得19=a2，
解得a=13，故f(x)=(13)x．
(2)由(1)知f(x)=(13)x，
显然f(x)在R上是减函数，
又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得−1即x的取值范围为(−1,1)．
【解析】本题主要考查指数函数解析式和单调性的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．
(1)设f(x)=ax，利用待定系数法进行求解．
(2)根据指数函数的单调性，解指数不等式即可．
20.【答案】解：(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减，
所以舍去)，
即a=4;
(2)由(1)知fx=4x4x+2
所以fx+f1−x=4x4x+2+41−x41−x+2
=4x4x+2+44x44x+2=4x4x+2+24x+2=1；
(3)由(2)知f12021+f20202021=1，
……
f10102021+f10112021=1，
所以原式=1010×1=1010．
【解析】本题考查指数与指数幂的运算，考查指数函数的性质，属于中档题．
(1)利用指数函数的单调性即可；
(2)利用指数幂的运算即可；
(3)寻求规律易得结果．
21.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax−1−5的图象过点(3,20)，
则有20=a2−5，
又由a>0，且a≠1，则a=5，
∴f(x)=5x−1−5，
若f(x)=5x−1−5=0，则x=2，即函数f(x)的零点为2；
(2)f(x)≥−2即5x−1−5≥−2，变形可得5x≥15，
解可得x≥lg515，即不等式的解集为[lg515,+∞)．
【解析】本题考查指数函数的性质以及指数不等式的解法，关键是求出函数f(x)的解析式，属于基础题．
(1)根据题意，将(3,20)代入函数的解析式，可得20=a2−5，结合a的范围分析可得a的值，即可得f(x)的解析式，解方程f(x)=0可得函数的零点，即可得答案；
(2)f(x)≥−2即5x−1−5≥−2，变形可得5x≥15解可得不等式的解集，即可得答案．
22.【答案】解：由2x2+x⩽(14)x−2=2−2x+4，得x2+x≤4−2x，
解得−4≤x≤1，
则(x+1)2−1∈[−1,8]，
函数y=2x2+2x+2=2(x+1)2−1+2∈[2−1+2,28+2]，
即y∈[52,258]，
所以值域为[52,258]．
【解析】本题考查函数的值域，考查利用指数函数的单调性解不等式，解题的关键是函数单调性的确定．
利用指数函数的单调性解不等式可得x的范围，再分析复合函数y=2x2+2x+2的值域，即可得结果．
23.【答案】解：当0则不等式ax2−2x>ax+4可化为：x2−2x解得：x∈(−1,4)，
当a>1时，y=ax为增函数，
则不等式ax2−2x>ax+4可化为：x2−2x>x+4，即x2−3x−4>0，
解得：x∈(−∞,−1)∪(4,+∞)．
综上，当0当a>1时，x∈(−∞,−1)∪(4,+∞)．
【解析】本题考查的知识点是指数不等式的解法，熟练掌握指数函数的图象和性质，是解答的关键．
根据指数函数的单调性，分当01时两种情况，将不等式转化为二次不等式，进而可得x的取值范围．
24.【答案】解：(1)由已知可得：x+1>0x+1⩽7−2x⇒−1因此，原不等式的解集A=(−1,2]．
(2)令f(x)=14x−1−412x+2，则原问题等价f(x)min⩾m，
且f(x)=4·14x−412x+2，令t=12x∈[14,2),
令g(t)=4t2−4t+2=4t−122+1,t∈[14,2),
当t=12时，g(t)取最小值，
即当x=1时，函数y=f(x)取得最小值，
即f(x)min=f(1)=1，∴m⩽1，
因此，实数m的取值范围是(−∞,1]．
【解析】本题主要考查的是不等式的求解、恒成立问题以及指数函数、对数函数及其性质，难度中等，属于中档题．
(1)根据对数函数性质列不等式组求解即可;
(2)构造新函数令f(x)=14x−1−412x+2，问题转化为：f(x)min⩾m，再令t=12x∈[14,2)，得到f(x)=g(t)=4t2−4t+2=4t−122+1,利用二次函数可得结论．
25.【答案】解：(1)∵22a+1>25a−2，
∴2a+1>5a−2，即3a<3，
∴a<1，
又∵a>0，
∴0(2)由(1)知0∵lga(3x+1)等价于3x+1>07−5x>03x+1>7−5x,
即x>−13x<75x>34，
∴34即不等式的解集为(34,75).
(3)∵0∴函数y=lga(2x−1)在区间[1,3]上为减函数，
∴当x=3时，y有最小值为−2，
即lga5=−2，
∴a−2=1a2=5，
解得a=55或a=−55(舍去)，
所以a=55．
【解析】本题指数函数和对数函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
(1)根据指数函数的单调性可得2a+1>5a−2，结合a>0即可求实数a的取值范围；
(2)根据对数函数的单调性可列出不等式组3x+1>07−5x>03x+1>7−5x，求解即可；
(3)根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．