湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数导学案，共6页。


[问题] (1)某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？
(2)如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？




知识点一 指数函数的概念
在幂的表达式au中，如果底数是常数a而取指数为自变量x，则得到的一类函数y＝ax(x∈eq \a\vs4\al(R))叫作指数函数，其中a>0，且a≠1.
eq \a\vs4\al()
对指数函数概念的再理解

为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(3)y＝2x－1是指数函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝eq \r(2)，即f(x)＝(eq \r(2))x.
答案：(eq \r(2))x
知识点二 指数增长和指数衰减
1．指数增长：当底数aeq \a\vs4\al(>)1时，指数函数y＝ax的值从au增长到au＋T的增长率(au＋T－au)÷au＝aT－1是一个常量时，这个量被描述为指数式增长也称指数增长．
2．指数衰减：如果底数0某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3).
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解：(1)过滤1次后的杂质含量为eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \f(2,3)；
过滤2次后的杂质含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)×\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)；
过滤3次后的杂质含量为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,100)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)；
…
过滤n次后的杂质含量为eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)(n∈N＋)．
故y与n的函数关系式为y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)(n∈N＋)．
(2)由(1)知当n＝7时，y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(7)＝eq \f(64,54 675)>eq \f(1,1 000)，
当n＝8时，y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(8)＝eq \f(128,164 025)[例1] (1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝2·(eq \r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))eq \s\up12(x).
(2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________；
(3)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________．
[解析] (1)①中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝eq \f(1,2)·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数．
(2)根据指数函数的定义，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋2＝1，,2－b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝2.))
(3)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝9，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
[答案] (1)③ (2)－1 2 (3)3x
eq \a\vs4\al()
1．判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征；
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．
2．求指数函数的解析式或函数值
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键；
(2)求指数函数的函数值的关键是求指数函数的解析式．
[跟踪训练]
1．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：选C 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，故选C.
2．已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，求f(－2)的值．
解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得，a－eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),9)，
所以a＝3，
又f(－2)＝a－2，
所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).
[例2] (链接教科书第105页例1)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．
[解] 现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N＋.
eq \a\vs4\al()
指数增长模型的特点及求解策略
(1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题；
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p>0，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，其中1＋p>1，这是非常有用的指数增长模型．
[跟踪训练]
某地区2010年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2021年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)．
解析：设平均每年新增住房面积x万平方米，则eq \f(500×6＋11x,500×（1＋1%）11)≥7，解得x≥82.27≈82.即平均每年新增住房面积至少82万平方米．
答案：82
[例3] (链接教科书第106页例2)灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，t min后，开水的温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是与热水瓶类型有关的正的常量．现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的开水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 ℃)．
[解] 根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝eq \f(39,40)，利用计算器，算得k≈0.000 42.故θ＝20＋80e－0.000 42t，从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89.
因为89 ℃高于85 ℃，所以能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶．
eq \a\vs4\al()
指数衰减模型的特点及求解策略
(1)一般来说，若题中已给出函数模型，如本题给出的是指数型函数模型，只要解函数模型即可．常用的方法是待定系数法；
(2)在实际问题中，设其数为N，平均增长率p<0(平均衰减率－p>0)，则对于经过时间x后的总量y可用y＝N(1＋p)x表示，其中0<1＋p<1，这是非常重要的指数衰减模型．
[跟踪训练]
调查显示，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，那么他至少要经过________小时才可以驾驶机动车(精确到时)( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选C 设n(n∈N＋)小时后才可以驾驶机动车，
由题意，得0.3(1－50%)n≤0.02，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,15)，又n∈N＋，∴n≥4.
即至少要经过4小时才可以驾驶机动车．故选C.
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)
解析：选D 根据指数函数的定义知，D正确．
2．若函数y＝(m2－m－1)mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．eq \f(1,2)
解析：选C 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,m>0且m≠1，))解得m＝2.故选C.
3．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则函数f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)
C．f(x)＝4x D．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(x)
解析：选A 由f(2)＝4得a2＝4，又a>0，且a≠1，所以a＝2，即f(x)＝2x.故选A.
4．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．
解析：若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则4－3a>0且4－3a≠1，所以a答案：(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))
5．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的eq \f(4,5)，则经过________年，剩余物质的质量是原来的eq \f(64,125).
解析：经过一年，剩余物质的质量约是原来的eq \f(4,5)；经过两年，剩余物质的质量约是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)；经过三年，剩余物质的质量约是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(64,125).
答案：三新课程标准解读
核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义
数学抽象
2.理解指数函数的概念；会应用指数函数模型解决实际问题
数学建模
指数函数的概念
指数增长模型的应用
指数衰减模型的应用