2020-2021学年河北省石家庄市某校高二（上）8月开学考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省石家庄市某校高二（上）8月开学考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|lg2(x−1)≥1}，则A∩B=( )
A.3,4B.−2,4C.[−2,+∞)D.2,3

2. 若sinα=45，且α是第二象限角，则tanα的值为( )
A.−43B.34C.±34D.±43

3. 直线x−3y−3=0的倾斜角是( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

4. 我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹简容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”.意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( )
A.0.9升B.1升C.1.1升D.2.1升

5. 已知向量a→，b→满足|a→|=3， |b→|=2， |2a→+b→|=213，则a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π4C.2π3D.π3

6. 设a，b，c都是正实数，且a，b满足1a+9b=1，则使a+b≥c恒成立的c的范围是( )
A.(0, 8]B.(0, 10]C.(0, 12]D.(0, 16]

7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为ab8sinC，则C=( )
A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3

8. 已知点Px,y在曲线C ：x2+y2−2x=0上，则x−2y的最大值为( )
A.2B.−2C.1+5D.1−5
二、多选题

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使△ABC的形状唯一确定的有( )
A.a=1，b=2，∠A=30∘B.a=2，b=3，∠C=60∘
C.a=1，∠B=30∘，∠C=45∘D.a=2，b=3，c=4

已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论错误的是( )
A.不存在k，使得l2的倾斜角为90∘
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直

设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是( )
A.若d0

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中， AA1=AC=23AB=2，AB⊥AC，点D，E分别是线段BC， B1C上的动点(不含端点)，且ECB1C=DCBC．则下列说法正确的是( )

A.ED//平面ACC1
B.该三棱柱的外接球的表面积为68π
C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为32
D.二面角A−EC−D的余弦值为413
三、填空题

若对任意的x≥0， x2−2ax+a+2≥0成立，则实数a的取值范围为________.
四、解答题

已知三角形的三个顶点A(−2, 0)，B(4, −4)，C(0, 2).
(1)求线段BC的中线所在直线方程；

(2)求AB边上的高所在的直线方程.

如图所示，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点.

(1)证明：SD//平面AEC;

(2)若侧面SBC⊥底面ABCD，求点A到平面BSD的距离.

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs2C=−34.
(1)求sinC；

(2)当c=2a，且b=37时，求a．

设Sn是数列an的前n项和，Sn=2an−2n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；

(2)记bn=nan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

如图，三棱锥S−ABC中，∠ASC=∠ABC=90∘，∠CAB=30∘，∠CAS=60∘，SB=30，AC=43．

(1)求证：平面ASC⊥平面ABC；

(2)M是线段AC上一点，若AM=543，求二面角A−SM−B的大小．

已知过点A(0, 1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)2+(y−3)2=1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；

(2)若OM→⋅ON→=12，其中O为坐标原点，求|MN|的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省石家庄市某校高二（上）8月开学考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
对数及其运算
交集及其运算
【解析】
通过解不等式化简集合A,B，然后即可求解交集.
【解答】
解：A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，
B={x|lg2(x−1)≥1}={x|x−1≥2}={x|x≥3}，
故A∩B={x|3≤x≤4}.
故选A.
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由sinα=45，且α是第二象限的角，利用同角三角函数间的关系先求出csα，再利用同角三角函数间的关系求出tanα．
【解答】
解：∵ sinα=45，且α是第二象限角，
∴ csα=−1−sin2α=−1−1625=−35，
∴ tanα=45−35=−43．
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
求出直线的斜率，然后求解倾斜角．
【解答】
解：直线x−3y−3=0的斜率为：33，
倾斜角是α，则tanα=33，
可得α=30∘．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积．
【解答】
解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，
由题意得S3=3a1+3×22d=3.9，S9−S5=(9a1+9×82d)−(5a1+5×42d)=3，
解得a1=1.4，d=−0.1，
∴ 中间一节可盛米的容积为：
a5=a1+4d=1.4−0.4=1（升）．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
将2→​a+→​b=213平方，解得cs→​a,→​b=12，根据特殊角的三角函数值可得结果.
【解答】
解：∵ |2a→+b→|=213，
∴ 4a→2+4a→⋅b→+b→2=52.
∵ |a→|=3，|b→|=2，
∴ a→⋅b→=3，即 |a→|⋅|b→|cs⟨a→,b→⟩=3，
则cs⟨a→,b→⟩=12，
∴ a→与b→的夹角为π3.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意可得a+b=(a+b)(1a+9b)=1+9ab+ba+9，再利用基本不等式求出a+b的最小值为16，从而得到16≥c，由此求得c的取值范围．
【解答】
解：a，b，c都是正实数，且a，b满足1a+9b=1，
则a+b=(a+b)(1a+9b)=1+9ab+ba+9
=10+9ab+ba≥10+29ab⋅ba=16，
当且仅当9ab=ba时，等号成立．
故a+b的最小值为16，要使a+b≥c恒成立，只要16≥c，故c的取值范围为(0, 16].
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】

【解答】
解：由ab8sinC=12absinC，
得sin2C=14，又C∈(0,π)，
所以sinC=12，
所以C=π6或5π6.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由题意可知，曲线C为圆，利用直线与圆的位置关系可知，当直线与圆相切时z=x−2y取最值，即可求解.
【解答】
解：曲线C：x2+y2−2x=0⇒(x−1)2+y2=1，
即C是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
令z=x−2y，则x−2y−z=0，即y=x2−z2，
故当直线与C相切时，z取最值，
故1−z1+4=1，解得z=1−5或z=1+5，
故x−2y的最大值为1+5.
故选C.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：A，因为a=1，b=2，∠A=30∘，
所以由asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=2×121=22，
因为a