2020年安徽省合肥高三二模数学（文）试卷及答案

2020年安徽省合肥高三二模

数学试题(文科)

(考试时间：120分钟   满分：150分)

第Ⅰ卷  (60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则

A.          B.           C.          D.

2.欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数、联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则

A.1            B.             C.             D.

3.若实数，满足约束条件则的最小值是

A.16          B.7          C.-4         D.-5

4.已知数列是等差数列，若，，则

A.18         B.17         C.15         D.14

5.在平行四边形中，若，交于点，则

 A.      B.    C.      D.

6.函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是

A.函数的图像可由的图像向左平移个单位得到

B.函数的图像关于直线对称

      C.函数在区间上单调递增

D.函数图像的对称中心为()

7.若函数是奇函数，为偶函数，则

A.        B.        C.         D.

8.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是

①由图1和图2面积相等可得；②由可得；

③由可得；   ④由可得.

A.①②③④      B.①②④      C.②③④     D.①③

9.已知函数，则的解集为

A.      B.       C.       D.

10.已知为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是

A.   B.    C.    D.

11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择三个项目的意向如下：

若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为

A.         B.        C.         D.

12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为

A.    B.    C.    D.

第Ⅱ卷    (90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.

13.曲线(是自然对数的底数)在处的切线方程为           .

14.若数列的首项为，，则数列的前10项之和等于            .

15.已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于               .

16.在长方体中，，点是线段上的一个动点，则：(1)的最小值等于          ；(2)直线与平面所成角的正切值的取值范围为           .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

已知的内角，，的对边分别为，，，.

⑴求角的大小；

⑵若角为锐角，，的面积为，求的周长.

18.(本小题满分12分)

在矩形中，在边上，，如图(1).沿将和折起，使平面和平面都与平面垂直，连结，如图(2).

⑴证明：；

⑵求三棱锥的体积.

19.(本小题满分12分)

已知圆经过抛物线:()的焦点，且与抛物线的准线相切.

⑴求抛物线的标准方程；

⑵设经过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为点，若的面积为6，求直线的方程.

20.(本小题满分12分)

随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数，并整理成下表：

⑴请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表)；

⑵若用表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件发生的概率；

⑶若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面2×2列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？

附：.

21.(本小题满分12分)

已知函数.(是自然对数的底数)

⑴求的单调递减区间；

⑵若函数，证明在(0，)上只有两个零点.(参考数据：)

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

⑴曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

⑵若直线与曲线交于两点，(2，0)，求的值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

若不等式的解集为().

⑴求的值；

⑵若三个正实数满足.证明：.

合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.   14.   15.  16.，(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)∵，∴.

化简得，即，∴，即.

∴或.                           ………………………………5分

(2)∵是锐角，∴，

由得，.

在中，由余弦定理得

∴，∴，

∴的周长为                     ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

⑴证明：分别取的中点，连结.

由图(1)可得，与都是等腰直角三角形且全等，

∴，，.

∵平面平面，交线为，平面，，

∴平面.

同理，平面，∴.

又∵，∴四边形为平行四边形，∴.

∵分别是的中点，∴，

∴.             ………………………………5分

⑵由图可知，，

∵，∴，

∴.

由(1)知，平面.

∵，，∴，

∴.     ………………………………12分

19.(本小题满分12分)

解：⑴由已知可得：圆心(4，4)到焦点的距离与到准线的距离相等，即点(4，4)在抛物线上，

∴，解得.

∴抛物线的标准方程为.                    ………………………………5分

⑵由已知可得，直线斜率存在，否则点与点重合.

设直线的斜率为()，则.

由消去得  .

设()，()，∴，.………………………………7分

由对称性可知，()，∴，.

设直线()的倾斜角为，则，

∴，

∴.……………………………10分

由已知可得，解得.

∴直线的方程为，即.   ………………………………12分

20.(本小题满分12分)

解：⑴，

    所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8432步.……………………………3分

    ⑵，

所以事件A的概率约为0.6216.  ………………………………………………………5分

(3)

                                  ……………………………………………………8分

，…………10分

∴有99.9﹪以上的把握认为，健步达人与年龄有关.    ………………………………12分

21.(本小题满分12分)

解：(1)，定义域为..

由得，解得().

∴的单调递减区间为().………………………………5分

(2)∵，∴.

∵，∴当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

又∵，，，

∴在上图象大致如右图.

∴，，使得，，

且当或时，；当时，.

∴在和上单调递减，在上单调递增.

∵，∴.

∵，∴，

又∵，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，

∴函数在上有两个零点.          ………………………………12分

22.(本小题满分10分)

(1)曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为.

∵，∴，

∴直线的直角坐标方程为.                ………………………………5分

(2)设直线的参数方程为(为参数)，

将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴.

∵点(2，0)在直线上，

∴. ………………………………10分

23.(本小题满分10分)

(1)由题意知，为方程的根，∴，解得.

由解得，，∴.     ………………………………5分

(2)由(1)知，

∴.

，

，

∴成立.             ………………………………10分