初中青岛版5.4二次函数的图像与性质同步练习题

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5.4二次函数的图象与性质同步练习

青岛版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

2. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

3. 二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点的横坐标为，则一次函数的图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 如图，在四边形中，，，，，动点沿路径从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为设点运动的时间为单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是

A.  B.
C.  D.

7. 已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为

A.  B.  C.  D.

8. 关于二次函数 的三个结论：对任意实数，都有 与 对应的函数值相等；若，对应的的整数值有个，则  或 ；若抛物线与轴交于不同两点，，且，则 或 其中正确的结论是  

A.   B.   C.   D.  

9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
   ；；；当时，随的增大而减小．
   其中正确的有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
    ；；；，
    正确的有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

11. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
    甲：若，则点的个数为；
    乙：若，则点的个数为；
    丙：若，则点的个数为．
    下列判断正确的是

A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对

12. 二次函数与一次函数在同一坐标系内的图象可能是图所示的

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为______．
14. 已知函数，当______时，随的增大而增大．
15. 抛物线的顶点坐标为______．
16. 在平面直角坐标系中，过点作轴的平行线，交抛物线于点、，那么的长为______．
17. 如图，已知点、是抛物线上两点，是抛物线的顶点，点是轴上一动点，当最小时，点的坐标是________．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数．
    若抛物线经过点，求的值；
    若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；
    若将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知抛物线是常数，且，过点．
    求的值，并通过计算说明点是否也在该抛物线上；
    若该抛物线与直线只有一个交点，求的值；
    若当时，随的增大而增大，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴与轴交于点．
    求点的坐标用含的代数式表示；
    记函数的图象为图形，若抛物线与图形恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，，，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足．
    若，求的长；
    当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值．
    
     

22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
    当时，
    抛物线的对称轴为______；
    若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是______；
    抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．

23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上．
    求点的坐标用含的式子表示；
    求抛物线的对称轴；
    已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
    
    填空：一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；
    点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求面积的最大值．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由方程组得，

，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故A错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故C正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：．
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于时开口向上，当小于时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【解答】
解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
对称轴为，得，即，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，
，即故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
依照题意画出二次函数及的图象，观察图象即可得出结论．
【解答】
解：二次函数与轴交点的横坐标为、，将其图象往下平移个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．



观察图象，可知：．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象在第二、三、四象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
，
点在第四象限；
故选：．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当点在上运动时，，则，，
，图象为二次函数；
当点在上运动时，如下图，

由知，，同理，
则，为一次函数；
当点在上运动时，
同理可得：，为一次函数；
故选：．
分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

7.【答案】
 

【解析】解：二次函数，
当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线，即轴，
则，
解得：，
则关于的一元二次方程为，
则两根之积为，
故选：．
根据题意可得二次函数图象的对称轴为轴，从而求出值，再利用根与系数的关系得出结果．
本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为轴．
 

8.【答案】
 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
与关于直线对称，
对任意实数，都有与对应的函数值相等；
故正确；
当时，，当时，，
若时，当时，，
当时，对应的的整数值有个，
，
，
若时，当时，，
当时，对应的的整数值有个，
，
，
故正确；
若，抛物线与轴交于不同两点，，且，
，，即，

，
若，抛物线与轴交于不同两点，，且，
，，即，

，
综上所述：当或时，抛物线与轴交于不同两点，，且．
故选：．
由题意可求函数的对称轴为直线，由对称性可判断；分或两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断；分或两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断；即可求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与轴的交点等知识，理解题意列出不等式组是本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，结论正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，结论正确；
抛物线与轴由两个交点，
，即，结论正确；
抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，结论错误；
故选：．
二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故正确；
结论正确的是，个，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
在抛物线上的点的纵坐标最大为，
甲、乙的说法正确；
若，则抛物线上纵坐标为的点有个，
丙的说法不正确；
故选：．
求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，，错误；
D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，，过点，正确．
故选D．
此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象有关知识，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致，逐一排除．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线的图象向右平移个单位所得函数图象的关系式是：；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线的图象向上平移个单位长度所得函数图象的关系式是：．
故答案为．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
故答案为：．
先运用配方法将抛物线写成顶点式，由于，抛物线开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的性质可知当时，随的增大而增大，即可求出．
本题考查了二次函数的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小；，抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大．
 

15.【答案】
 

【解析】解：
，
顶点坐标为，
故答案为：．
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，，解得，，
所以，，
所以．
故答案为．
由于过点作轴的平行线，交抛物线于点、，则、的纵坐标都为，根据二次函数图象上点的坐标特征有，然后解方程求出即可得到、两点坐标，再计算它们的横坐标之差即可得到的长．
本提考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是确定、的纵坐标．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据点、是抛物线上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点的坐标，然后即可得到点关于轴的对称点的坐标，则点关于轴的对称点的坐标与点所连直线与轴的交点即为所求的点的坐标．
【解答】
解：点、是抛物线上两点，
，得，
抛物线解析式为，
点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，
则点与点所连直线与轴的交点即为所求的点，此时最小，
设过点与点的直线解析式为，
，得，
即过点与点的直线解析式为，
当时，，得，
点的坐标为，
故答案为．  

18.【答案】解：把点代入抛物线，得
，
解得；
把点代入抛物线，得
，
把点代入抛物线，得
，
，
，
解得；
抛物线解析式配方得

将抛物线向右平移个单位长度得到新解析式为

当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大，
时，，
，解得，都不合题意，舍去；
当时，，
，解得；
当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，
时，，
，解得，舍去
综上，或．
 

【解析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用表示顶点．
把点坐标代入解析式即可；
分别把点和点代入函数解析式，表示、利用条件构造关于的不等式；
根据平移得到新抛物线，分类讨论求出抛物线的最小值，找到最小值求．
 

19.【答案】解：抛物线是常数，且，过点，
，
抛物线，
当时，，
即点在该抛物线上；
抛物线，该抛物线与直线只有一个交点，
，
解得，，
即的值是或；
当时，随的增大而增大，抛物线，
，，
解得，，
即的取值范围是．
 

【解析】根据抛物线是常数，且，过点，可以得到的值，然后将代入抛物线解析式，即可得到的值，从而可以判断点是否也在该抛物线上；
根据该抛物线与直线只有一个交点，可知该抛物线顶点的纵坐标是，从而可以求得的值；
根据当时，随的增大而增大，可知，该抛物线的对称轴，从而可以求得的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

20.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
点的坐标是；
由题意可知图形为线段，，．
当抛物线经过点时，解得或；
当抛物线经过点时，解得分
如图，当时，抛物线与图形恰有一个公共点．
如图，当时，抛物线与图形恰有两个公共点．
如图，当时，抛物线与图形恰有两个公共点．

结合函数的图象可知，当或或时，抛物线与图形恰有一个公共点．
 

【解析】二次函数二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；
一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异
常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
抛物线与轴交点个数．时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：；
设为，则．
由可得，
，
，
，
当，即时，的值最大，的最大值为．
 

【解析】证明∽，得出，即可得出答案；
设为，则由可得，得出，由二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质；证明三角形相似是解题的关键．
 

22.【答案】  或
 

【解析】解：抛物线的对称轴为，
故答案为；

抛物线上有两点，，
且，则的取值范围是或；
故答案为：或；
抛物线：的对称轴为，且对称轴与轴交于点，
点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点右移个单位得到点，
点的坐标为．
依题意，抛物线与线段恰有一个公共点，
把点代入，可得；
把点代入，可得；
把点代入，可得．
根据所画图象可知抛物线与线段恰有一个
公共点时可得：
或．
当时，即可求得抛物线的对称轴；
若在抛物线上有两点，，且，即可得的取值范围；
根据抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，即可求的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．
 

23.【答案】解：
点向右平移个单位长度，得到点；
与关于对称轴直线对称，
抛物线对称轴直线；
对称轴直线，
，
，
时，，如图，

根据图象可得函数与线段无交点；
时，，如图，

抛物线不可能同时经过点和点，
当点在点上方或与点重合时，抛物线与线段恰有一个公共点，
即，解得，
综上所述，当时，抛物线与线段恰有一个公共点．
 

【解析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
根据点的平移规律即可得；
根据与关于对称轴对称即可得；
结合函数图象即可得．
 

24.【答案】解：；；
设，
由可知：，
，，
，
，随的增大而减小，
当时，取得最大值
当时，，时，，
的取值范围为：．
 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
先将代入反比例函数即可求出的值，然后将代入反比例函数即可求出的，再根据点的坐标即可求出一次函数的解析式．
设的坐标为，由于点在线段上，从而可知，，由题意可知：，利用二次函数的性质可求出的范围．
【解答】
解：将代入，
，
，
将代入，
，
，
将代入，
，
．
故答案为；；
见答案．  

25.【答案】解：把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
即一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，最大，
即面积的最大值是．
 

【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式；
根据题意，要使三角形的面积最大，可用点的横坐标，表示三角形的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．