还剩36页未读，
继续阅读
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 解析版
展开
这是一份2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 解析版，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
2．（3分）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝|x﹣2| D．y＝
3．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
4．（3分）如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（ ）
A．人 B．杰 C．地 D．灵
5．（3分）某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.4 B．中位数是36.3
C．平均数是36.4 D．方差是1.9
6．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
9．（3分）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
10．（3分）如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
11．（3分）如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（3分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ ．
14．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝ ．
16．（4分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm．（结果保留根号）
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 ．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
20．（12分）绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为 人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为 ．
（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？
（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．
21．（12分）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．
（1）求养殖房的最大面积．
（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？
22．（12分）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．
（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；
（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；
（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．
24．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．
25．（14分）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．
（1）求sin∠AHC；
（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
2．（3分）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝|x﹣2| D．y＝
【分析】根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解．
【解答】解：A．y＝x2，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．y＝，反比例函数，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C．y＝|x﹣2|，图象以直线x＝2为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
D．y＝，图象以y轴为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
4．（3分）如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（ ）
A．人 B．杰 C．地 D．灵
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：“仙”字的对面是“是地．
故选：C．
5．（3分）某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.4 B．中位数是36.3
C．平均数是36.4 D．方差是1.9
【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
【解答】解：7个数中36.3和36.4都出现了二次，次数最多，即众数为36.3和36.4，故A选项不正确，不符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，则中位数为36.4，故B选项错误，不符合题意；
＝×（36.5+36.7+36.4+36.3+36.4+36.2+36.3）＝36.4，故C选项正确，符合题意；
S2＝[（36.2﹣36.4）2+2×（36.3﹣36.4）2+2×（36.4﹣36.4）2+（36.5﹣36.4）2+（36.7﹣36.4）2]＝，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.2）元，根据行驶路程＝所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.5）元，
依题意得：＝．
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，有图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；
B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；
C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C错误；
D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确．
故选：C．
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
【分析】根据位似图形的性质求出两个矩形的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，
∴矩形OA1B1C1O与矩形OABC的位似比为2：1，
∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为（8×2，6×2）或（8×（﹣2），6×（﹣2）），即（16，12）或（﹣16，﹣12），
故选：D．
9．（3分）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG＝x，则GF＝x，B'F＝x，从而BC＝x+x+x＝2+，即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF＝EF＝PE＝HP，∠GFE＝∠FEP＝∠HPE＝135°，
∴∠GFC＝∠B'FE＝∠DEP＝∠A'PH＝45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG＝x，则GF＝x，B'F＝x，
∴BG＝B'G＝x+x，
∴BC＝x+x+x＝2+，
∴x＝1，
∴GF＝，
故选：C．
10．（3分）如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
【分析】连CD、OE，如图，利用折叠性质得四边形OCED是菱形，＝，则S扇形ECD＝S扇形OCD，根据圆周角定理求得∠COD＝∠CED＝120°，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，＝，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（﹣2×2）+＝2（π﹣2）+
＝π﹣3，
故选：A．
11．（3分）如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先解分式方程得到x＝，利用有理数的整除性得到m＝0或m＝1，再根据≠2，解得m≠1，所以m＝0，接着根据一元二次方程的定义得到m≠0，于是可判断符合条件的m的值有0个．
【解答】解：去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝1﹣mx，
整理得（m﹣2）x＝﹣2，
解得x＝，
∵x为正整数，m为整数，
∴m＝0或m＝1，
而x≠2，即≠2，解得m≠1，
∴m＝0，
∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，
∴符合条件的m的值有0个．
故选：A．
12．（3分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】（1）由平行线分线段成比例和平行四边形的性质即可求值；
（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（3）点P在AD上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQ＝CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（4）以线段PQ为腰，则可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分开求解即可．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
∴四边形PQCD为平行四边形时，EF＝PD＝x＝；
（2）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
又∵BQ＝2DP，
∴＝；
（3）在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
又∵PD∥CG，
∴＝＝，
∴CG＝2PD．
∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴＝＝＝，
∵AB＝12，
∴EM＝8．
∴S＝（+13）×8＝；
（4）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，
∴2x+＝11﹣x，
解得x＝，
（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝＝13，
解得x＝2或x＝，
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或．
所以正确的结论有4个．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ ab（b+）（b﹣） ．
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），
故答案为：ab（b+）（b﹣）．
14．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
15．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝ 98 ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
∵∠1+∠3＝82°，
∴∠2＝180°﹣82°＝98°．
故答案为：98．
16．（4分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 120 cm．（结果保留根号）
【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，根据坡度的概念求出∠G＝30°，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，
由题意可知，CD⊥GF，AH＝50cm，
∵AB坡度i＝1：，
∴＝＝，
∴tanG＝＝，
∴∠G＝30°，
∴AG＝2AH＝100cm，
∴CG＝AC+AG＝160cm，
∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm），
在Rt△GEF中，tanG＝，
则＝，
解得：EF＝120（cm），
故答案为：120．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 ．
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC•sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，
∴20＝b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
∴外接圆直径为．
故答案为：．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 或﹣3 ．
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
∴t＝﹣3．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3，
解这个不等式，即﹣2≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝﹣4，
∴t＝﹣4，
不合题意．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝或t＝（舍弃），
∴t＝．
故答案为：或﹣3．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤x＜3中选择一个使得原分式有意义的值代入即可．
【解答】解：（1）﹣2﹣2+﹣|﹣|
＝﹣+﹣|3﹣2|
＝﹣+﹣（3﹣2）
＝﹣+﹣3+2
＝﹣+；
（2）÷（+1﹣x）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，±2，
∴﹣2≤x＜3中x可以取得整数为0或1，
当x＝0时，原式＝＝1．
20．（12分）绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为 80 人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为 144° ．
（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？
（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．
【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比求出调查的学生数，再用学生总人数减去其他等级的人数求出C等级的人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可；
（2）用该年级的总人数乘以“非常了解”森林防灭火知识的学生所占的百分即可；
（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次参与调查的学生一共有：20÷10%＝200（人），
C等级的人数为：200﹣（40+60+20）＝80（人），
扇形图中C部分扇形圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：80、144°．
（2）1500×＝300（人），
答：估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有300人．
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
男3男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3
女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2
由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到两名男生的有12种，
则恰好抽到两名男生的概率为＝．
21．（12分）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．
（1）求养殖房的最大面积．
（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a+7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
∴a＝＝80﹣≥2b，
则b≤，且b≥0，
又∵a，b都为非负整数，
∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案．
22．（12分）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．
（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；
（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．
【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理求出OA，再根据三角形的面积公式求出HG，再根据勾股定理求出OD，得出OA，进而求出H的坐标，确定反比例函数的关系式；求出点A、B坐标，利用待定系数法求出直线AB的关系式即可；
（2）两个函数关系式联立求出交点的横坐标，结合图象得出答案．
【解答】解：过点H作HG⊥OA于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AH＝CH＝，BH＝DH＝2，
在Rt△ADH中，由勾股定理得，
AD＝＝5＝CD＝CB＝AB，
由三角形的面积公式得，
DH•AH＝AD•HG，
即2×＝5×HG，
∴HG＝2，
∴OC＝2HG＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得，
OD＝＝3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∵HG∥OC，FH＝HC，
∴OG＝AG＝OA＝1，
∴H（1，2），
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝，
∴A（2，0），B（5，4），
则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
答：双曲线的解析式为y＝，直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）双曲线y＝与直线y＝x﹣交点的横坐标是方程＝x﹣的解，
解方程＝x﹣得，
x1＝，x2＝，
由图象可得不等式＞mx+n的解集为x＜或0＜x＜．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；
（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接OE，根据直角所对的圆周角等于90°得到∠AEB＝90°，则∠BED＝90°，根据初级定理得到OC垂直平分BE，即可得出AD∥OC，再结合DE＝CF，即可得出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质即可得解；
（2）根据矩形的性质得出PF＝1，OC∥AD，进而得出△PFC∽△PEA，根据相似三角形的性质得出FC＝AE，再根据三角形中位线定理得到OF＝AE，即得FC＝OF＝OC＝OB，根据勾股定理求出OB，即可求出直径AB；
（3）设OF＝b，DE＝CF＝a，则AE＝2b，根据线段的关系即可推导出AB＝2AD﹣AE．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BE，∠BED＝90°，
∵C为弧BE的中点，
∴＝，
∴OC垂直平分BE，
∴AD∥OC，
∵DE＝CF，
∴四边形EFCD是矩形，
∴∠DCF＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，
由（1）知四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD，
∵EP＝2，CD＝3，
∴EF＝EP+PF＝2+PF＝3，
∴PF＝1，
∵OC∥AD，
∴△PFC∽△PEA，
∴＝＝，
∴FC＝AE，
∵OA＝OB，EF＝BF，
∴OF＝AE，
∴FC＝OF＝OC＝OB，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
∵BF＝EF＝CD＝3，
∴32＝OB2﹣，
∴OB＝2或OB＝﹣2（舍去），
∴AB＝2OB＝4；
（3）如图，AB＝2AD﹣AE，理由如下：
设OF＝b，DE＝CF＝a，则AE＝2b，
∴AB＝2OB＝2OC＝2（OF+FC）＝2（b+a）＝2a+2b，
∵AD＝AE+DE＝AE+a，
∴a＝AD﹣AE，
∴AB＝2（AD﹣AE）+AE＝2AD﹣AE．
24．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），用待定系数法即得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）过P作PE∥y轴交BC于E，在Rt△BOC中，sin∠BCO＝＝，即得sin∠PEQ＝＝，PQ＝PE，故PE最大时，PQ的最大，由B（4，0）、C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，设P（t，﹣t2+t﹣3），0≤t≤4，则E（t，t﹣3），得PE＝（﹣t2+t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣（t﹣2）2+3，即得t＝2时，PE最大为3，故P（2，）时，PQ最大值为；
（3）方法一：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，连接MF交BC于G，交x轴于S，过G作GT⊥x轴于T，连接CF交抛物线于M'，根据CM平分∠BCO，可得M是满足条件的点，而＝＝，且＝＝，可得＝＝，即可求出OH＝，H（，0），即得直线CM为y＝2x﹣3，根据M关于直线BC的对称点为F，知直线CF与抛物线交点M'也是满足条件的点，由得M（，），即可得CM＝，CH＝，由HN∥MG，有＝，可得CG＝，BG＝BC﹣CG＝，又GT∥OC，有＝＝，即＝＝，可得GT＝，BT＝，从而G（，﹣），根据G是MF的中点，M（，），得F（，﹣），即可得直线CM'为y＝x﹣3．
方法二：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，过B作BR⊥BC交直线CF于R，过R作GS⊥x轴于S，CF交抛物线于M'，直线CM解析式求法同方法一，由△CHN∽△CBR，可得BR＝，，由△BOC∽△RSB，可得RS＝2，BS＝，从而知R（，﹣2），即得CR为y＝x﹣3，即CM解析式为y＝x﹣3．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）过P作PE∥y轴交BC于E，如图：
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴BC＝5，
在Rt△BOC中，sin∠BCO＝＝，
∵PE∥y轴，
∴∠PEQ＝∠BCO，
∴sin∠PEQ＝＝，
∴PQ＝PE，
∴PE最大时，PQ的最大，
设直线BC为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC为y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+t﹣3），0≤t≤4，则E（t，t﹣3），
∴PE＝（﹣t2+t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣2）2+3，
∵﹣＜0，
∴t＝2时，PE最大为3，
∴当P（2，）时，PQ最大值为；
（3）存在点M，使得∠BCM＝∠BCO，
方法一：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，连接MF交BC于G，交x轴于S，过G作GT⊥x轴于T，连接CF交抛物线于M'，如图：
∵CM平分∠BCO，
∴OH＝NH，∠BCM＝∠BCO，
∴M是满足条件的点，
∵＝＝，且＝＝，
∴＝＝，
而OH+BH＝OB＝4，
∴OH＝，
∴H（，0），
设直线CH为y＝tx﹣3，
则0＝t﹣3，解得t＝2，
∴直线CH为y＝2x﹣3，即直线CM为y＝2x﹣3，
∵M关于直线BC的对称点为F，
∴∠BCF＝∠BCM＝∠BCO，
∴直线CF与抛物线交点M'也是满足条件的点，
由得或，
∴M（，），
而H（，0），
∴CM＝，CH＝，
∵HN∥MG，
∴＝，
又CN＝OC＝3，
∴＝，
∴CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝，
∵GT∥OC，
∴＝＝，即＝＝，
∴GT＝，BT＝，
∴OT＝OB﹣BT＝，
∴G（，﹣），
∵G是MF的中点，M（，），
∴F（，﹣），
设直线CF为y＝kx﹣3，
则﹣＝k﹣3，
解得k＝，
∴CF为y＝x﹣3，即直线CM'为y＝x﹣3，
综上所述，直线CM的解析式为y＝2x﹣3或y＝x﹣3．
方法二：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，过B作BR⊥BC交直线CF于R，过R作GS⊥x轴于S，CF交抛物线于M'，如图：
直线CM解析式求法同方法一，
∵M关于直线BC的对称点为F，
∴∠HCN＝∠BCR，
∴△CHN∽△CBR，
∴＝，即＝，
∴BR＝，
∵∠CBR＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠SBR＝∠BRS，
∴△BOC∽△RSB，
∴＝＝，即＝＝，
∴RS＝2，BS＝，
∴OS＝OB+BS＝，
∴R（，﹣2），
由C（0，﹣3），R（，﹣2）可得CR为y＝x﹣3，即CM解析式为y＝x﹣3．
综上所述，直线CM的解析式为y＝2x﹣3或y＝x﹣3．
25．（14分）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．
（1）求sin∠AHC；
（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．
【分析】（1）过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R．利用全等三角形的性质证明∠DAH＝60°，再证明CH平分∠AHB，推出∠AHC＝60°，可得结论；
（2）如图，过点D作DP⊥CE于点P．求出PA，EP，利用勾股定理求解即可；
（3）如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于H，过点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．想办法求出WQ．QH，利用勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM＝∠HDM，
∵CT⊥AE，CR⊥BD，
∴CT＝CR（全等三角形的对应边上的高相等），
∴CH平分∠AHB，
∵∠AMC＝∠DMH，
∴∠AHM＝∠ACM＝60°，
∴∠AHC＝∠BHC＝60°，
∴sin∠AHC＝；
（2）如图2中，如图，过点D作DP⊥CE于点P．
∵AC＝CD＝x（cm），∠DCE＝60°，
∴CP＝CD＝x．DP＝x，
∵AB＝10cm，
∴BC＝AB﹣AC＝（10﹣x）cm，
∴CE＝CB＝（10﹣x）cm，
∴PE＝|10﹣x﹣x|＝|10﹣x|，
∴y＝DE＝＝＝（0＜x＜10）；
（3）如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于H，过点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．
∵2AH＝3DH，
∴可以假设AH＝3k，DH＝2k，
∵∠DHS＝60°，DS⊥AH，
∴SH＝DH＝k，DS＝k，AM＝2k，
∵AD2＝AS2+DS2，
∴（2）2＝（2k）2+（k）2，
∴k＝2（负根已经舍弃），
∴AH＝6，DH＝4，
∵•AH•DS＝•AD•HK，
∴HK＝，DK＝＝＝，
∵AG＝DG＝，四边形WQKG是矩形，
∴WQ＝KG＝﹣＝，GW＝KW＝，
∴HQ＝KH+KQ＝，
∴WH＝＝＝2．
∴PA+PD+PH的最小值为2．
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
2．（3分）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝|x﹣2| D．y＝
3．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
4．（3分）如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（ ）
A．人 B．杰 C．地 D．灵
5．（3分）某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.4 B．中位数是36.3
C．平均数是36.4 D．方差是1.9
6．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
9．（3分）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
10．（3分）如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
11．（3分）如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（3分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ ．
14．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝ ．
16．（4分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm．（结果保留根号）
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 ．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
20．（12分）绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为 人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为 ．
（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？
（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．
21．（12分）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．
（1）求养殖房的最大面积．
（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？
22．（12分）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．
（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；
（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；
（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．
24．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．
25．（14分）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．
（1）求sin∠AHC；
（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
2．（3分）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝|x﹣2| D．y＝
【分析】根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解．
【解答】解：A．y＝x2，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．y＝，反比例函数，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C．y＝|x﹣2|，图象以直线x＝2为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
D．y＝，图象以y轴为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
4．（3分）如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（ ）
A．人 B．杰 C．地 D．灵
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：“仙”字的对面是“是地．
故选：C．
5．（3分）某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.4 B．中位数是36.3
C．平均数是36.4 D．方差是1.9
【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
【解答】解：7个数中36.3和36.4都出现了二次，次数最多，即众数为36.3和36.4，故A选项不正确，不符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，则中位数为36.4，故B选项错误，不符合题意；
＝×（36.5+36.7+36.4+36.3+36.4+36.2+36.3）＝36.4，故C选项正确，符合题意；
S2＝[（36.2﹣36.4）2+2×（36.3﹣36.4）2+2×（36.4﹣36.4）2+（36.5﹣36.4）2+（36.7﹣36.4）2]＝，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.2）元，根据行驶路程＝所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.5）元，
依题意得：＝．
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，有图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；
B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；
C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C错误；
D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确．
故选：C．
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
【分析】根据位似图形的性质求出两个矩形的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，
∴矩形OA1B1C1O与矩形OABC的位似比为2：1，
∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为（8×2，6×2）或（8×（﹣2），6×（﹣2）），即（16，12）或（﹣16，﹣12），
故选：D．
9．（3分）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG＝x，则GF＝x，B'F＝x，从而BC＝x+x+x＝2+，即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF＝EF＝PE＝HP，∠GFE＝∠FEP＝∠HPE＝135°，
∴∠GFC＝∠B'FE＝∠DEP＝∠A'PH＝45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG＝x，则GF＝x，B'F＝x，
∴BG＝B'G＝x+x，
∴BC＝x+x+x＝2+，
∴x＝1，
∴GF＝，
故选：C．
10．（3分）如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
【分析】连CD、OE，如图，利用折叠性质得四边形OCED是菱形，＝，则S扇形ECD＝S扇形OCD，根据圆周角定理求得∠COD＝∠CED＝120°，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，＝，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（﹣2×2）+＝2（π﹣2）+
＝π﹣3，
故选：A．
11．（3分）如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先解分式方程得到x＝，利用有理数的整除性得到m＝0或m＝1，再根据≠2，解得m≠1，所以m＝0，接着根据一元二次方程的定义得到m≠0，于是可判断符合条件的m的值有0个．
【解答】解：去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝1﹣mx，
整理得（m﹣2）x＝﹣2，
解得x＝，
∵x为正整数，m为整数，
∴m＝0或m＝1，
而x≠2，即≠2，解得m≠1，
∴m＝0，
∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，
∴符合条件的m的值有0个．
故选：A．
12．（3分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】（1）由平行线分线段成比例和平行四边形的性质即可求值；
（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（3）点P在AD上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQ＝CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（4）以线段PQ为腰，则可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分开求解即可．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
∴四边形PQCD为平行四边形时，EF＝PD＝x＝；
（2）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
又∵BQ＝2DP，
∴＝；
（3）在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
又∵PD∥CG，
∴＝＝，
∴CG＝2PD．
∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴＝＝＝，
∵AB＝12，
∴EM＝8．
∴S＝（+13）×8＝；
（4）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，
∴2x+＝11﹣x，
解得x＝，
（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝＝13，
解得x＝2或x＝，
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或．
所以正确的结论有4个．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ ab（b+）（b﹣） ．
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），
故答案为：ab（b+）（b﹣）．
14．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
15．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝ 98 ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
∵∠1+∠3＝82°，
∴∠2＝180°﹣82°＝98°．
故答案为：98．
16．（4分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 120 cm．（结果保留根号）
【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，根据坡度的概念求出∠G＝30°，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，
由题意可知，CD⊥GF，AH＝50cm，
∵AB坡度i＝1：，
∴＝＝，
∴tanG＝＝，
∴∠G＝30°，
∴AG＝2AH＝100cm，
∴CG＝AC+AG＝160cm，
∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm），
在Rt△GEF中，tanG＝，
则＝，
解得：EF＝120（cm），
故答案为：120．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 ．
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC•sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，
∴20＝b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
∴外接圆直径为．
故答案为：．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 或﹣3 ．
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
∴t＝﹣3．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3，
解这个不等式，即﹣2≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝﹣4，
∴t＝﹣4，
不合题意．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝或t＝（舍弃），
∴t＝．
故答案为：或﹣3．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤x＜3中选择一个使得原分式有意义的值代入即可．
【解答】解：（1）﹣2﹣2+﹣|﹣|
＝﹣+﹣|3﹣2|
＝﹣+﹣（3﹣2）
＝﹣+﹣3+2
＝﹣+；
（2）÷（+1﹣x）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，±2，
∴﹣2≤x＜3中x可以取得整数为0或1，
当x＝0时，原式＝＝1．
20．（12分）绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为 80 人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为 144° ．
（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？
（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．
【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比求出调查的学生数，再用学生总人数减去其他等级的人数求出C等级的人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可；
（2）用该年级的总人数乘以“非常了解”森林防灭火知识的学生所占的百分即可；
（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次参与调查的学生一共有：20÷10%＝200（人），
C等级的人数为：200﹣（40+60+20）＝80（人），
扇形图中C部分扇形圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：80、144°．
（2）1500×＝300（人），
答：估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有300人．
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
男3男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3
女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2
由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到两名男生的有12种，
则恰好抽到两名男生的概率为＝．
21．（12分）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．
（1）求养殖房的最大面积．
（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a+7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
∴a＝＝80﹣≥2b，
则b≤，且b≥0，
又∵a，b都为非负整数，
∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案．
22．（12分）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．
（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；
（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．
【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理求出OA，再根据三角形的面积公式求出HG，再根据勾股定理求出OD，得出OA，进而求出H的坐标，确定反比例函数的关系式；求出点A、B坐标，利用待定系数法求出直线AB的关系式即可；
（2）两个函数关系式联立求出交点的横坐标，结合图象得出答案．
【解答】解：过点H作HG⊥OA于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AH＝CH＝，BH＝DH＝2，
在Rt△ADH中，由勾股定理得，
AD＝＝5＝CD＝CB＝AB，
由三角形的面积公式得，
DH•AH＝AD•HG，
即2×＝5×HG，
∴HG＝2，
∴OC＝2HG＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得，
OD＝＝3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∵HG∥OC，FH＝HC，
∴OG＝AG＝OA＝1，
∴H（1，2），
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝，
∴A（2，0），B（5，4），
则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
答：双曲线的解析式为y＝，直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）双曲线y＝与直线y＝x﹣交点的横坐标是方程＝x﹣的解，
解方程＝x﹣得，
x1＝，x2＝，
由图象可得不等式＞mx+n的解集为x＜或0＜x＜．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；
（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接OE，根据直角所对的圆周角等于90°得到∠AEB＝90°，则∠BED＝90°，根据初级定理得到OC垂直平分BE，即可得出AD∥OC，再结合DE＝CF，即可得出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质即可得解；
（2）根据矩形的性质得出PF＝1，OC∥AD，进而得出△PFC∽△PEA，根据相似三角形的性质得出FC＝AE，再根据三角形中位线定理得到OF＝AE，即得FC＝OF＝OC＝OB，根据勾股定理求出OB，即可求出直径AB；
（3）设OF＝b，DE＝CF＝a，则AE＝2b，根据线段的关系即可推导出AB＝2AD﹣AE．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BE，∠BED＝90°，
∵C为弧BE的中点，
∴＝，
∴OC垂直平分BE，
∴AD∥OC，
∵DE＝CF，
∴四边形EFCD是矩形，
∴∠DCF＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，
由（1）知四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD，
∵EP＝2，CD＝3，
∴EF＝EP+PF＝2+PF＝3，
∴PF＝1，
∵OC∥AD，
∴△PFC∽△PEA，
∴＝＝，
∴FC＝AE，
∵OA＝OB，EF＝BF，
∴OF＝AE，
∴FC＝OF＝OC＝OB，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
∵BF＝EF＝CD＝3，
∴32＝OB2﹣，
∴OB＝2或OB＝﹣2（舍去），
∴AB＝2OB＝4；
（3）如图，AB＝2AD﹣AE，理由如下：
设OF＝b，DE＝CF＝a，则AE＝2b，
∴AB＝2OB＝2OC＝2（OF+FC）＝2（b+a）＝2a+2b，
∵AD＝AE+DE＝AE+a，
∴a＝AD﹣AE，
∴AB＝2（AD﹣AE）+AE＝2AD﹣AE．
24．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），用待定系数法即得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）过P作PE∥y轴交BC于E，在Rt△BOC中，sin∠BCO＝＝，即得sin∠PEQ＝＝，PQ＝PE，故PE最大时，PQ的最大，由B（4，0）、C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，设P（t，﹣t2+t﹣3），0≤t≤4，则E（t，t﹣3），得PE＝（﹣t2+t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣（t﹣2）2+3，即得t＝2时，PE最大为3，故P（2，）时，PQ最大值为；
（3）方法一：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，连接MF交BC于G，交x轴于S，过G作GT⊥x轴于T，连接CF交抛物线于M'，根据CM平分∠BCO，可得M是满足条件的点，而＝＝，且＝＝，可得＝＝，即可求出OH＝，H（，0），即得直线CM为y＝2x﹣3，根据M关于直线BC的对称点为F，知直线CF与抛物线交点M'也是满足条件的点，由得M（，），即可得CM＝，CH＝，由HN∥MG，有＝，可得CG＝，BG＝BC﹣CG＝，又GT∥OC，有＝＝，即＝＝，可得GT＝，BT＝，从而G（，﹣），根据G是MF的中点，M（，），得F（，﹣），即可得直线CM'为y＝x﹣3．
方法二：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，过B作BR⊥BC交直线CF于R，过R作GS⊥x轴于S，CF交抛物线于M'，直线CM解析式求法同方法一，由△CHN∽△CBR，可得BR＝，，由△BOC∽△RSB，可得RS＝2，BS＝，从而知R（，﹣2），即得CR为y＝x﹣3，即CM解析式为y＝x﹣3．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）过P作PE∥y轴交BC于E，如图：
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴BC＝5，
在Rt△BOC中，sin∠BCO＝＝，
∵PE∥y轴，
∴∠PEQ＝∠BCO，
∴sin∠PEQ＝＝，
∴PQ＝PE，
∴PE最大时，PQ的最大，
设直线BC为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC为y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+t﹣3），0≤t≤4，则E（t，t﹣3），
∴PE＝（﹣t2+t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣2）2+3，
∵﹣＜0，
∴t＝2时，PE最大为3，
∴当P（2，）时，PQ最大值为；
（3）存在点M，使得∠BCM＝∠BCO，
方法一：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，连接MF交BC于G，交x轴于S，过G作GT⊥x轴于T，连接CF交抛物线于M'，如图：
∵CM平分∠BCO，
∴OH＝NH，∠BCM＝∠BCO，
∴M是满足条件的点，
∵＝＝，且＝＝，
∴＝＝，
而OH+BH＝OB＝4，
∴OH＝，
∴H（，0），
设直线CH为y＝tx﹣3，
则0＝t﹣3，解得t＝2，
∴直线CH为y＝2x﹣3，即直线CM为y＝2x﹣3，
∵M关于直线BC的对称点为F，
∴∠BCF＝∠BCM＝∠BCO，
∴直线CF与抛物线交点M'也是满足条件的点，
由得或，
∴M（，），
而H（，0），
∴CM＝，CH＝，
∵HN∥MG，
∴＝，
又CN＝OC＝3，
∴＝，
∴CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝，
∵GT∥OC，
∴＝＝，即＝＝，
∴GT＝，BT＝，
∴OT＝OB﹣BT＝，
∴G（，﹣），
∵G是MF的中点，M（，），
∴F（，﹣），
设直线CF为y＝kx﹣3，
则﹣＝k﹣3，
解得k＝，
∴CF为y＝x﹣3，即直线CM'为y＝x﹣3，
综上所述，直线CM的解析式为y＝2x﹣3或y＝x﹣3．
方法二：作∠BCO的平分线交抛物线于M，交x轴于H，过H作HN⊥BC于N，作M关于直线BC的对称点F，过B作BR⊥BC交直线CF于R，过R作GS⊥x轴于S，CF交抛物线于M'，如图：
直线CM解析式求法同方法一，
∵M关于直线BC的对称点为F，
∴∠HCN＝∠BCR，
∴△CHN∽△CBR，
∴＝，即＝，
∴BR＝，
∵∠CBR＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠SBR＝∠BRS，
∴△BOC∽△RSB，
∴＝＝，即＝＝，
∴RS＝2，BS＝，
∴OS＝OB+BS＝，
∴R（，﹣2），
由C（0，﹣3），R（，﹣2）可得CR为y＝x﹣3，即CM解析式为y＝x﹣3．
综上所述，直线CM的解析式为y＝2x﹣3或y＝x﹣3．
25．（14分）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．
（1）求sin∠AHC；
（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．
【分析】（1）过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R．利用全等三角形的性质证明∠DAH＝60°，再证明CH平分∠AHB，推出∠AHC＝60°，可得结论；
（2）如图，过点D作DP⊥CE于点P．求出PA，EP，利用勾股定理求解即可；
（3）如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于H，过点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．想办法求出WQ．QH，利用勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM＝∠HDM，
∵CT⊥AE，CR⊥BD，
∴CT＝CR（全等三角形的对应边上的高相等），
∴CH平分∠AHB，
∵∠AMC＝∠DMH，
∴∠AHM＝∠ACM＝60°，
∴∠AHC＝∠BHC＝60°，
∴sin∠AHC＝；
（2）如图2中，如图，过点D作DP⊥CE于点P．
∵AC＝CD＝x（cm），∠DCE＝60°，
∴CP＝CD＝x．DP＝x，
∵AB＝10cm，
∴BC＝AB﹣AC＝（10﹣x）cm，
∴CE＝CB＝（10﹣x）cm，
∴PE＝|10﹣x﹣x|＝|10﹣x|，
∴y＝DE＝＝＝（0＜x＜10）；
（3）如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于H，过点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．
∵2AH＝3DH，
∴可以假设AH＝3k，DH＝2k，
∵∠DHS＝60°，DS⊥AH，
∴SH＝DH＝k，DS＝k，AM＝2k，
∵AD2＝AS2+DS2，
∴（2）2＝（2k）2+（k）2，
∴k＝2（负根已经舍弃），
∴AH＝6，DH＝4，
∵•AH•DS＝•AD•HK，
∴HK＝，DK＝＝＝，
∵AG＝DG＝，四边形WQKG是矩形，
∴WQ＝KG＝﹣＝，GW＝KW＝，
∴HQ＝KH+KQ＝，
∴WH＝＝＝2．
∴PA+PD+PH的最小值为2．
相关试卷
2023年四川省绵阳市游仙区中考数学三诊试卷（含解析）： 这是一份2023年四川省绵阳市游仙区中考数学三诊试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省绵阳市游仙区九年级中考三诊数学题： 这是一份2023年四川省绵阳市游仙区九年级中考三诊数学题，共4页。
四川省绵阳市游仙区2022年中考数学全真模拟试题含解析： 这是一份四川省绵阳市游仙区2022年中考数学全真模拟试题含解析，共18页。试卷主要包含了函数的自变量x的取值范围是，方程x等内容，欢迎下载使用。
