高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第5课时万有引力定律及应用学案新人教版

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第5课时　万有引力定律及应用考点一　开普勒行星运动定律开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 [典例]　若金星和地球的公转轨道均视为圆形，且在同一平面内，如图所示。在地球上观测，发现金星与太阳可呈现的视角(太阳与金星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角)有最大值，最大视角的正弦值为k，则金星的公转周期为(　　)A．(1－k2)年　　　　　 B．(1－k2)年C．k3年   D.年[解析]　金星与太阳的最大视角出现的情况是地球上的人的视线看金星时，视线与金星的轨道相切，如图所示。θ为最大视角，由图可知sin θ＝根据题意，最大正弦值为k，则有：＝k根据开普勒第三定律有：＝联立以上各式得：＝k3解得：T金＝T地＝年，D项正确。[答案]　D[集训冲关]1．(2020·北京等级考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：选A　地球的第二宇宙速度是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，火星探测器需要脱离地球引力的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；物体在中心天体附近绕中心天体做匀速圆周运动的速度为该天体的第一宇宙速度，由＝m，可得v＝ ，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比＝＝ ，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；当物体在天体表面时，近似有＝mg，可得g＝，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比＝＝，则火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误。2.(多选)“帕克”太阳探测器是史上距离太阳最近的探测器，2020年1月29日它完成了第四次近日飞行。它的椭圆轨道距离太阳最近约R1＝1 867万千米，其在轨道上的飞行周期为T1，半长轴为a1。在之前的三次近日飞行中，“帕克”椭圆轨道距离太阳最近约R2＝2 414万千米，其在轨道上的飞行周期为T2，半长轴为a2。假设地球的公转周期为T，半长轴为a，忽略其他行星对“帕克”的影响。下列说法正确的是(　　)A.＝B.＝C．T1比T大D．在近日飞行过程中，“帕克”距离太阳R1时的速度比距离太阳R2时的速度要大解析：选ABD　“帕克”太阳探测器等同于行星，与地球一样，它的中心天体也是太阳，所以符合开普勒第三定律，故A、B正确；“帕克”太阳探测器距离太阳比地球近，根据开普勒第三定律可知C错误；由＝m可得v＝ ，在近日飞行中，“帕克”距离太阳越近，速度越大，故D正确。考点二　万有引力定律1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。(2)公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量。(3)适用条件公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r为两物体间的距离。 2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：G＝mg2。[典例]　如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)A．G　　 B．0　　　C．4G　　　D．G[解析]　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确。[答案]　D(1)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。(2)如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝G。(3)运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。　　 [集训冲关]1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)解析：选D　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。2．(多选)用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示其离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度。则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为(　　)A．G   B.C．mω2(R＋h)   D．m解析：选BCD　由万有引力定律得F＝G，地球表面的重力加速度g＝G，解得F＝，万有引力充当向心力，有F＝mω2(R＋h)，解得F＝m，故B、C、D正确。考点三　天体质量与密度的估算1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R进行估算。(1)由G＝mg得天体质量M＝。(2)天体密度ρ＝＝＝。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。2．测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r进行估算。(1)由G＝m得天体的质量M＝。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。(3)卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。[典例]　(2021·济南模拟)2020年12月“嫦娥五号”完成在月球表面自动取样，航天工程达到了一个新高度。“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动时的轨道半径为r，运行周期为T，已知万有引力常量为G，根据以上信息可以求出(　　)A．月球的平均密度  B．月球的第一宇宙速度C．月球质量  D．月球表面的重力加速度[解析]　根据G＝mr可得M＝，选项C正确；因月球的半径未知，则不能求解月球的平均密度、月球的第一宇宙速度以及月球表面的重力加速度的大小，选项A、B、D错误。[答案]　C(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，求出的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，体积V＝πR3只能用天体半径R。　　[集训冲关]1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)A．5×109 kg/m3  B．5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3解析：选C　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，解得密度ρ＝＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3，C正确。2．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　)A．卫星的速度和角速度B．卫星的质量和轨道半径C．卫星的质量和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径解析：选AD　若已知线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有＝m，解得M＝，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若已知卫星的运行周期和轨道半径，则＝m2r，解得M＝，故选项D正确。考点四　天体表面的重力加速度问题重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。[考法细研]考法1　求天体表面某高度处的重力加速度[例1]　宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)A．0   B.C.   D.[解析]　飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。[答案]　B考法2　求天体表面某深度处的重力加速度[例2]　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)A．1－  B．1＋C.2   D.2[解析]　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝G，又M＝ρV＝ρ·πR3，M′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A正确。[答案]　A考法3　天体表面重力加速度与动力学的综合[例3]　(2020·山东等级考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)A．m0.4g－  B．m0.4g＋C．m0.2g－  D．m0.2g＋[解析]　由G＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值＝＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝m0.4g＋，选项B正确。[答案]　B[系统归纳]1．天体表面的重力加速度g(不考虑天体自转)由mg＝G，得g＝。2．距天体地面高为h处的重力加速度g′由mg′＝G，得g′＝。