5.4 三角函数的性质（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份5.4 三角函数的性质（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了周期，对称性，单调性，奇偶性，定义域，值域，解析式，伸缩平移等内容，欢迎下载使用。

常见考法
考法一 周期
【例1】（1）（2021·黑龙江哈尔滨市）函数的最小正周期为_______．
（2021·张家口市宣化）函数的最小正周期T=___________.
（3）在函数①y＝cs|2x|；②y＝|cs x|；③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))；④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的所有函数为
【答案】（1）π（2）（3）①②③
【解析】（1） 因为，所以函数f(x)＝cs2x－sin2x的最小正周期为
（2）
，是以为周期的函数，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
在内不存在小于的周期，是的最小正周期.故答案为：.
（3）①y＝cs|2x|＝cs 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cs x|的最小正周期为π；
③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq \f(π,2)，故选A.
【一隅三反】
1．（2021·全国）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
【解析】函数,周期为
2.（多选）（2021·海南）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】A，，则， A正确；
B，函数的最小正周期为，因此B不正确；
C，函数不是周期函数，故C不正确；
D，，最小正周期为，所以也是它的一个周期，故D正确.故选：AD
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)的最小正周期为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C．π D．2π
【答案】C
【解析】由已知得f(x)＝eq \f(tan x,1＋tan2x)＝eq \f(\f(sin x,cs x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))2)＝eq \f(\f(sin x,cs x),\f(cs2x＋sin2x,cs2x))＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
4.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sineq \f(x,2)cseq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cs 2x
【答案】A
【解析】 y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为eq \f(π,2)；y＝sin 2x＋cs 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
考法二 对称性
【例2】（1）（2021·全国高三）函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0)B．(，0)
C．(，0)D．以上选项都不对
（2）（2021·浑源县第七中学校）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2021·全国高三月考）已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）D（2）C（3）B
【解析】（1）因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；令3x+=，解得，k∈Z；所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；选项ABC都不正确，故选：D.
（2），
令，可得，则函数的图象的对称中心为，
因此函数的图象的一个对称中心为.故选：C
（3）由题意，函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
即，因为，当时，的最小值为.故选：B.
【方法总结】
1.已知x＝a是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称轴，则f(a)＝±A，即ωa＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
2.已知点(b,0)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心，则f(b)＝0，即ωb＋φ＝kπ，k∈Z.
3.求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
4.求f(x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
5.求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x.
【一隅三反】
1．（2021·河南洛阳市）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于直线对称
【答案】B
【解析】∵函数的最小正周期为，∴，
∴
令，求得，且不是最值，故A、D错误；
令，求得，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
故选：B．
2．（2021·黑龙江大庆市）已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，其中，
因为直线是曲线的一条对称轴，可得，
所以，所以，
所以，
又因为，所以.故选：A.
3．（2021·临川一中实验学校）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即.故选：A.
考法三 单调性
【例3】（1）（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·河南商丘市）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.选：A.
（2）由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
【方法总结】
已知函数单调性求参数
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法
一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；
二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
【一隅三反】
1．（2021·宁夏石嘴山市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，的图象是将的图象中轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为；
当时，，∴在上单调递减，故A不正确；
对于B，当时，，当时，，所以周期不是，故B不正确；
对于C，的最小正周期为，当时，，单调递增，故C正确；
对于D，的最小正周期为，当时，，不是单调递增的，故D不正确.故选：C.
2．（2021·上海）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】A
【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
3．（2021·商丘市第一高级中学）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，的取值范围为，故选：A.
4．（2021·吉林长春市）若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
画出的图象如下图所示，由图可知，的最大值是.故选：B
考法四 奇偶性
【例5】（1）（多选）（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2021·江苏淮安市）使函数为偶函数的的一个值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）BD（2）D
【解析】（1）对于A，，，，为奇函数，故A错误；
对于B，，，，为偶函数，故B正确；
对于C，，，不符合，故C错误；
对于D，，，周期为π，，为偶函数，故D正确；
故选：BD
（2）
函数为偶函数，所以（为奇数），当时，=．故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）函数是（ ）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
【答案】D
【解析】，.
设，定义域为，
，所以为偶函数.故选：D
2．（2021·四川高三月考）已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】为奇函数，
则，可得，所以排除BD选项；
对于A，当时，，
当时，，，不合题意；
对于C，当时，，满足题意.故选：C.
3．（2021·浙江）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
4．（2021·全国高三其他模拟）写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数___________.
【答案】
【解析】如满足最小正周期为3，若为非奇非偶函数，
需满足且，即，且，即，.
故答案为: .
5．（2021·河南）若函数是偶函数，则___________.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，则，
所以，
整理得，解得，经检验，m的值符合题意故答案为: .
考法五 定义域
【例5】（2021·全国专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，解得．
所以函数的定义域是.选：D．
【方法总结】
简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
【一隅三反】
1．（2020·全国课时练习）函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．且
【答案】C
【解析】在内，由，得，由，得或，
所以或，所以函数的定义域为
，故选：C
2．（2021·安徽）函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.故选：A.
3．（2020·江西南昌市）函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数式知：，
∴，即.故选：B.
4．（2020·辽宁）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于函数，，可得，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
考法六 值域
【例6】(1)（2021·天津）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）（2021·四川资阳市）函数的最大值为
（3）（2021·河北）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）（2021年甘肃）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
【答案】（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))（2）（3）eq \f(\r(3),3)（4）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1))
【解析】(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，
∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
（2）函数，
令，，则，，
所以当时，函数取得最大值为.
（3）因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan x＞0，y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)＝eq \f(2sin x·cs x,3sin2x＋cs2x)＝eq \f(2tan x,3tan2x＋1)＝eq \f(2,3tan x＋\f(1,tan x))≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当3tan x＝eq \f(1,tan x)时等号成立，故最大值为eq \f(\r(3),3).
(4)设t＝sin x－cs x，则－eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，则sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).
【一隅三反】
1．（2021陕西）在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，即，
故函数的值域为；故选：C.
2．（2021·绵阳南山中学实验学校）函数的最小值是（ ）
A．-3B．-1C．D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，
令，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为.故选：C.
3．（2020·台州市书生中学）函数的值域是________________.
【答案】
【解析】由题意，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为，故答案为：.
4．（2021·陕西高三零模）已知函数是偶函数，则函数的最大值为
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，
所以，即，化简可得：，
解得：，即.又因为，，
所以（当且仅当时两个“”同时成立）.
5．（2021·石泉县石泉中学）已知函数在处取得最小值，则
【答案】
【解析】∵函数在处取得最小值，
∴，∴，又解得：
6．(2021·银川模拟)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则实数a的取值范围是________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
【解析】∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，a))，∴x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，a＋\f(π,6)))，∵当x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
∴由函数的图象(图略)知eq \f(π,2)≤a＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴eq \f(π,3)≤a≤π.
考法七 解析式
【例7】（2021·安徽省泗县）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
【答案】C
【解析】根据函数的部分图象，
可得，，∴.再根据五点法作图，可得，
∴，.排除A；排除B；
在上，，方程在上有两个不相等的实数根，则实数，故C正确；将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；故选C.
【一隅三反】
1．（多选）（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．若，则的值为
【答案】BD
【解析】由函数的部分图象知，，且，
所以，解得；又，所以，
即，；又，所以；所以．
对于：函数的最小正周期，不对；
对于：当时，可得，则关于点，对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，错误；
对于：，所以，所以，所以
，对故选：．
2．（多选）（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cs2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
【答案】AC
【解析】对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），
由于|φ|＜，
所以当k＝0时，φ＝．
由于f（0）＝，所以A，解得A＝．
所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；
故选：AC．
3．（多选）（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
【答案】ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
考法八 伸缩平移
【例8】（1）（2021·江苏连云港市）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
（2）（2021·广西高三三模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
（3）（2021·江苏泰州市）将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
（2）因为，
所以，要得到函数，只需要将函数得图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
（3）A选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然不是奇函数，故A错；
B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故B错；
C选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故C错；
D选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是奇函数，故D正确.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·浙江）已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.故选：C
2．（2021·全国高三月考）将曲线图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的周期为
C．的单调递增区间为
D．的单调递增区间为
【答案】D
【解析】A，，故A错误；
B，由，故B错误；
由题意可得，
则，
解得，
故的单调递增区间为，故C错误、D正确.故选：D
3．（2021·北京）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为，
由题意可知，函数为奇函数，则，
所以，，，因此，.
故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
在上的值域为时，，
当时，，而当时，，
，．
故选：C.