第09讲-对数与对数函数（解析版）学案

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第09讲-对数与对数函数
一、 考情分析
　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
二、 知识梳理
1.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质

a>1
0 图象


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
三、 经典例题
考点一　对数的运算
【例1-1】 (1)计算：÷100－＝________.
(2)计算：＝________.
【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点二　对数函数的图象及应用　
【例2-1】 (1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2 A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2] D.
【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0 又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.
(2)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.

若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
考点三　对数函数的性质及应用　
【例3－1】 已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析　由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝
ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.
答案　C
【例3－2】 (1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1) A.(0，1) B.
C. D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.
法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.

(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1) 同时2a>1，∴a>.综上，a∈.
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
6.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α为偶数).
7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
四、 课时作业
1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
2．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y＝ln|x|＋1的图象大致为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，y＝ln|x|＋1的图象由向上平移一个单位，故选A
3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，
所以，即，
所以，两边平方得.
4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数的定义域为（ ）
A．（，1） B．（，∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解析】由解得，所以原函数的定义域为．
5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数，，，则a，b，c的大小关系是　　
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为所以1＜＜2，2+2ln2＞2，0＜＜1，
∴c＜a＜b． 故选A．
6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数，若，且，则（ ）
A． B． C． D．随值变化
【答案】A
【解析】不妨设 ，
则令 ，
则 或 ；
故
故

7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得：，所以.
.
则，故选B.
8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，由于为正数，且，故单调性相同，所以选.
9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】


10．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（ ）

A． B．
B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令，解得，或，
故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为.
11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数为奇函数（其中为常数），则不等式的整数解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
由于函数为奇函数，则，即，
，则，解得，
，
解不等式，即，解得，
由，可得，解得，
因此，不等式的整数解的个数是.
13．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：的值是________．
【答案】
【解析】.
14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数，若，则实数的值是_______．
【答案】
【解析】∵
∴
∵
∴，
因为
所以解得a＝．
15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数，且．
（1）求的值；
（2）令，将表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
【解析】（1）；
（2）令，又，，即
由
令，
①当时，，即，则，
，此时；
②当时，，即，，
，此时．
17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数 ．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，函数且，设，
因为当时，函数恒有意义，即对任意时恒成立，
又由，可得函数在上为单调递减函数，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）不存在，理由如下：
假设存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为，
可得，即，即，解得，即，
又由当时，，此时函数为意义，
所以这样的实数不存在．
18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数．
（1）当时，求的定义域；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
，即，
，即，
∴函数的定义域为；
（2）函数在区间上是减函数.
证明：任取，且，
，
令，
，
，，
，即，
，
，
∴，
∴在上是减函数；
（3）由（2）可知，在上是减函数，
∴在上是单调递减函数，
∴在上的最小值为，
∵在上恒取正值，即在上恒成立，
，
，即，
，
，
，
故的取值范围为.
19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数．
（1）求函数定义域；
（2）若，判断函数单调性，并用单调性定义证明；
（3）解关于的不等式．
【解析】（1）由题意：，解得：，则函数的定义域为：
（2）因为，所以
，函数在上单调递增.
设，且，则

，即，在上单调递增
（3）由题意，即
当时，，解得：；当时，，解得：
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4)(3－)＞k·，
令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，恒成立，
即，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为－3.所以k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．