专题10.1概率（解析版）教案

这是一份专题10.1概率（解析版）教案，共15页。教案主要包含了必备知识，常见题型等内容，欢迎下载使用。

01概率
一、必备知识：
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．
(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．
(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．
(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．
3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)

(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
________
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝______
对立事件
若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝______ P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_________________________.
推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________.
5．基本事件
在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．
6．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是____________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．
7．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．
(2)每个基本事件出现的可能性____________．
8．古典概型的概率公式
对于古典概型，其计算概率的公式为 ．
9．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．
10．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．
11．概率计算公式
在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝ ．
求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．
自查自纠：
1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)随机事件 (4)确定事件　随机事件
2．(1)频数　　(2)频率　常数　概率 (3)小概率事件
3．包含　B⊇A　A＝B　或　且　A∩B　∅　A∩B A∪B　∅　1
4．(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)①P(A)＋P(B)　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　②1－P(B)
5．基本事件　
6．(1)互斥　(2)基本事件
7．(1)有限　(2)相等
8．P(A)＝
9．均等的
10．长度　面积　体积　几何概率模型　几何概型
11.
二、常见题型：
题组一
1．给出下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两队比赛，强队胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写了“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；
⑥七月天下雪；
⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；
⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．
其中属于随机事件的有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】①②⑥⑧为随机事件．故选B.
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；
②至少有一个奇数和两个都是奇数；
③至少有一个奇数和两个都是偶数；
④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述4对事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【详解】从9个数字中任取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有③中两事件是对立事件.
3.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．故选C.
4. 从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是(　　)
A．事件A发生的概率等于 B．事件A发生的概率等于
C．事件A是不可能事件 D．事件A是必然事件
【答案】D
【详解】从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A是必然事件．
5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至多有1名男生和都是女生
C．至少有1名男生和都是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生
【答案】D
【详解】至少有名男生和至少有名女生，两者能同时发生，所以A中两个事件不是互斥事件，也不是对立事件；恰有名男生和恰有两名男生，两者不能同时发生，且不对立，所以B是互斥而不对立事件；至少有名和全是女生，两个事件不可能同时发生，且两个事件的和事件是全集，所以C中两个事件是对立事件，至多有名男生和都是女生，两者能同时发生，所以A中两个不是互斥事件，也不是对立事件，故选D．
6．已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,则事件A={点落在x轴上}与事件B={点落在y轴上}的概率关系为(　　)
(A)P(A)>P(B) (B)P(A) 【答案】C
【详解】横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的,故P(A)=P(B).
7．掷一枚均匀的正六面体骰子,设A表示事件“出现2点”,B表示“出现奇数点”,则P(A∪B)等于(　　)
(A)12　　　(B)23　　　(C)56　　　(D)13
【答案】B
【详解】由古典概型的概率公式得∵P(A)=,P(B)==,事件A与B为互斥事件,由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
题组二
8．某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据分层抽样的特点可以知道,抽取的学生为人,则学生甲被抽到的概率,所以A选项是正确的.
9．从1003名学生中选出50个代表，先用简单随机抽样剔除3人，再将剩下的1000人均分成20组，采用系统抽样方法选出50人，则每个人被选中的概率均为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后在分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，所以每人入选的概率，故选D．
10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【详解】模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为 ＝0.25
11．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
137 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30 C．0.35 D．0.25
【答案】B
【详解】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：共组随机数，所以所求概率为．
12．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
13．从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三男分别记为，设三女分别记为，从三男三女6名学生中任选2名学生有共，，，，共种选法，其中选出的2名都是女同学的有3种选法，∴2名都是女同学的概率为，故选C．
14．现有名女教师和名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种；故所求事件的概率为
15.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【详解】依题意，这批米内夹谷约为×1534≈169石，故选B.
16．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第四象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】集合中各有三个元素，随机选取，所有可能有种，直线是不经过第四象限时，且，满足条件的有两种，则直线是不经过第四象限的概率为．
17．已知函数，在集合中任取一个数为，则的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【详解】，∵，∴，又，∴，即，则所求概率为.故选B.
18．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩为= （88+89+90+91+92）=90 设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X 则乙的平均成绩（83+83+87+99+90+X）=88.4+ ，当X<9时，乙的平均数小于甲的平均数，即甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
题组三
19．在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由得．选C．
20．已知函数，当时，的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，因为,所以，由可得，所以所求概率为,故选D.
21．在矩形中中，，在上任取一点，的最大边是的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，当时，，
所以所求概率为，选D.
22．在区间上随机选取两个数和，则的概率为（ ）
A. B． C． D．
【答案】A
【详解】的概率为.选A.

23．在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【详解】当时，.当，即时，则所求概率为，故选C.
24．在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C．


25．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【详解】阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选D.
26．一个边长为，宽的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒在会标区域内，则该会标的面积约为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【详解】由几何概型的概率公式可知,，即,所以会标的面积约为,故选B.
27．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设小正方形的边长为,由于,,即,则,故飞镖落在小正方形内的概率是,故应选A.
28．我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选B.
29．已知是所在平面内一点，.现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】如图所示，取的中点，连接，则，又点满足，所以有，可得三点共线且，即点为的中点时满足，此时，所以黄豆落在内的概率为，故选D.

30．有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）

【答案】A
【详解】要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，
A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为
31．有一长、宽分别为50m,30m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员,其声音可传出m,则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】这是一个几何概型问题, 所有可能结果用周长表示,事件发生的结果可用两条线段的长度和表示,所以.

32.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于a的概率为(　　)
A. B.π C. D.
【答案】D
【详解】满足条件的点在以A为球心，半径为a的球内(含球面)，所以所求概率为P＝＝.选D.
33.在边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内部随机取一点P，则VP­ABCD ＞的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由VP­ABCD＞得SABCD·h＞(h为P到平面ABCD的高)．SABCD＝1，∴h＞.故满足条件的点构成的几何体为如图中截面下方部分，故所求概率为.故选A.

34．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）

A． B． 　　　 C． D．
【答案】C
【详解】“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率,故选C.
35．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且棱长为1的正方体内，这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为，故答案选C.
36．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P=.
37．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【详解】设送奶人到达的时间为，此人离家的时间为，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示，所以所求概率，故选D．

38.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于10分钟的概率为 ．
【答案】
【详解】变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为＝.
39.某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率　　　　　　　．
【答案】
【详解】由|x－y|≤5结合线性规划知识可解，所求概率为＝.