专题50 直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）学案

专题50  直线与圆锥曲线的位置关系

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明直线与椭圆、直线与抛物线位置关系问题的解法与技巧.

（一）直线与椭圆位置关系

1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）

2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，

下面以直线和椭圆：为例

（1）联立直线与椭圆方程：

（2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：

（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系

① 方程有两个不同实根直线与椭圆相交

② 方程有两个相同实根直线与椭圆相切

③ 方程没有实根直线与椭圆相离

3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交

（二）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离

1、位置关系的判定：以直线和抛物线：为例

联立方程：，整理后可得：

（1）当时，此时方程为关于的一次方程，所以有一个实根.此时直线为水平线，与抛物线相交

（2）当时，则方程为关于的二次方程，可通过判别式进行判定

① 方程有两个不同实根直线与抛物线相交

② 方程有两个相同实根直线与抛物线相切

③ 方程没有实根直线与抛物线相离

2、焦点弦问题：设抛物线方程：，

过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于

联立方程：，整理可得：

（1）   

（2）

（3）

（三）直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离

2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定

以直线和椭圆：为例：

（1）联立直线与双曲线方程：，消元代入后可得：

（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为，有可能为零.所以要分情况进行讨论

当且时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点

当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交

当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：

① 方程有两个不同实根直线与双曲线相交

② 方程有两个相同实根直线与双曲线相切

③ 方程没有实根直线与双曲线相离

注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置.尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切

（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支.对于方程：

，设两个根为

① 当时，则，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支

② 当或，且时，，所以同号，即交点位于同一支上

（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同.所以可通过数形结合得到位置关系的判定

① 且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点

② 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上.

③ 或时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上.

（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：

1、直线与圆锥曲线问题的特点：

（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），

（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂

（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）

（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入.则可简化运算的过程

这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入.直至解决解析几何问题“

2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系.进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案.所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方.如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地.

3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：

（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线.联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件

（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线.经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）.此直线不能直接体现斜率，当时，斜率

4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或

（1）证明：因为在直线上，所以

   ，代入可得：

同理可证得

（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入.

5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线.不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：

   考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：

  ①

  ②

由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现.所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时.同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法

【经典例题】

1．（2020·广东汕头·高三三模）已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于、两点，分别过、向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（     ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国高三三模）已知过椭圆的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于，两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·全国高三三模）设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·山西运城·高三三模）双曲线C：的左、右焦点分别为，右顶点为，过作斜率为的直线与双曲线右支交于点，与轴交于点，点在轴上的射影是.若直线的倾斜角互补，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ）

A． B．，，

C． D．

6．（2020·全国高三三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，若，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·陕西高三三模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为（     ）

A． B． C． D．

8．（2020·福建漳州·高三三模）已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过的直线与交于、两点，若，则（    ）

A．5 B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·峨山彝族自治县第一中学高三三模）若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（    ）.

A． B．且 C． D．且

2．（2020·辽宁沈阳·高三三模）椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·江西景德镇·高三三模）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，则（    ）

A．1 B． C． D．2

5．（2020·福建高三三模）已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，过F作斜率为的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一象限且，则k等于（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·安徽省太和第一中学高三三模）已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于(    )

A． B． C． D．

7．（2020·河南高三三模）已知过双曲线的左焦点的直线与双曲线左支交于点，，过原点与弦中点的直线交直线于点，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2020·江西高三三模）已知双曲线，为双曲线的右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若为的内心，则双曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·广西高三三模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ）

A．  B． C． D．

10．（2020·河南中原·高三三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于两点（设点A在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若为等边三角形，的面积为，四边形的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·河北新华·石家庄二中高三三模）已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

12．（2020·全国高三三模）已知抛物线：的焦点为，是坐标原点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且点，分别位于第一、四象限，交抛物线的准线于点．若，，则（    ）

A． B． C．2 D．