湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦测试题

这是一份湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.【中考·怀化】已知∠α为锐角，且sinα＝eq \f(1,2)，则∠α＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.【2021·滁州定远县期末】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3.【中考·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A．sinB＝eq \f(AD,AB) B．sinB＝eq \f(AC,BC) C．sinB＝eq \f(AD,AC) D．sinB＝eq \f(CD,AC)

第3题图 第9题图 第11题图 第12题图
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，则sinA＋sinB的值为( )
A.eq \f(17,12) B.eq \f(7,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC.则sinA的值是( )
A. 3 B. eq \f(1,3) C. eq \f(2,3) D. eq \f(1,2)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
7.【2020·河池】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是( )
A.eq \f(5,12) B.eq \f(12,5) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，sinA＝eq \f(3,5)，则斜边上的高等于( )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4
9.【2020·雅安】如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝eq \f(1,2)，若AC＝6，则BC的长为( )
A．8 B．12 C．6eq \r(3) D．12eq \r(3)
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A的正弦值( )
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．无法确定
11.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A.eq \f(3 \r(5),5) B.eq \f(\r(17),5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
12.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( )
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(26),26) C.eq \f(\r(26),13) D.eq \f(\r(13),13)
二、填空题
13.【中考·济南】计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＋(π＋1)0－2sin30°＋eq \r(9)＝____________．
14.在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinC＝eq \f(1,2)，则∠B＝________．
15.如图，直线y＝eq \f(3,4)x－3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为________．

第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.【贵港中考】如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP'的值为________．
17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－3,4)，则sinα的值是________．
18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为 .
三、解答题
19.分别求出图中∠A，∠B的正弦值．
20.在Rt△ABC中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
21.如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥BC于E，若AD＝2DC，AB＝4DE，求sin B的值．
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝eq \r(2)，BD＝3.
(1)求sin∠CBD的值．
(2)若AB＝3，求AD的长．
23.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．
24.把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示)，求sin∠ADE的值．
参考答案
一、选择题
1.【中考·怀化】已知∠α为锐角，且sinα＝eq \f(1,2)，则∠α＝( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.【2021·滁州定远县期末】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A等于( A )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3.【中考·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )
A．sinB＝eq \f(AD,AB) B．sinB＝eq \f(AC,BC) C．sinB＝eq \f(AD,AC) D．sinB＝eq \f(CD,AC)

第3题图 第9题图 第11题图 第12题图
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，则sinA＋sinB的值为( B )
A.eq \f(17,12) B.eq \f(7,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【点拨】由勾股定理得c＝eq \r(a2＋b2)＝5，sin A＝eq \f(3,5)，sin B＝eq \f(4,5).
∴sin A＋sin B＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(7,5).
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC.则sin A的值是( B )
A. 3 B. eq \f(1,3) C. eq \f(2,3) D. eq \f(1,2)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是( C )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
7.【2020·河池】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是( D )
A.eq \f(5,12) B.eq \f(12,5) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，sinA＝eq \f(3,5)，则斜边上的高等于( B )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4
9.【2020·雅安】如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝eq \f(1,2)，若AC＝6，则BC的长为( C )
A．8 B．12 C．6eq \r(3) D．12eq \r(3)
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A的正弦值( C )
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．无法确定
11.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
A.eq \f(3 \r(5),5) B.eq \f(\r(17),5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
12.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( B )
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(26),26) C.eq \f(\r(26),13) D.eq \f(\r(13),13)
【点拨】如图，作BD⊥AC于D，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得，AB＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13)，
AC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)·BD＝eq \f(1,2)×1×3，
∴BD＝eq \f(\r(2),2)，∴sin∠BAC＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(13))＝eq \f(\r(26),26).
二、填空题
13.【中考·济南】计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＋(π＋1)0－2sin30°＋eq \r(9)＝____________．
【点拨】原式＝2＋1－2×eq \f(1,2)＋3＝3－1＋3＝5.
14.在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinC＝eq \f(1,2)，则∠B＝________．
【答案】60°
15.如图，直线y＝eq \f(3,4)x－3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为________．
【答案】eq \f(3,5)

第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.【贵港中考】如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP'的值为________．
【答案】eq \f(3,5)
17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－3,4)，则sinα的值是________．
【答案】eq \f(4,5)
18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为 .
【答案】eq \f(4,5)
三、解答题
19.分别求出图中∠A，∠B的正弦值．
解：图①：AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(62－22)＝4 eq \r(2)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,3)，sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2 \r(2),3).
图②：AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(（\r(2)）2＋（\r(6)）2)＝2 eq \r(2)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(6),2 \r(2))＝eq \f(\r(3),2)，sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(2),2 \r(2))＝eq \f(1,2).
20.在Rt△ABC中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
【点拨】因为6，8，10为一组勾股数，易因默认斜边长为10而出错，题中并未说明6，8均为直角边长．
解：当6，8都是直角边长时，两个锐角的正弦值分别为eq \f(3,5)，eq \f(4,5)；当斜边长是8时，由勾股定理得另一条直角边长是2eq \r(7)，两个锐角的正弦值分别为eq \f(3,4)，eq \f(\r(7),4).
21.如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥BC于E，若AD＝2DC，AB＝4DE，求sin B的值．
解：过点A作AF⊥BC于F，AD＝2DC，AC＝AD＋CD＝2DC＋CD＝3CD.
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AF，∴eq \f(DE,AF)＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(DC,3DC)＝eq \f(1,3).
设DE＝a，则AF＝3a，AB＝4a，
∴sin B＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(3a,4a)＝eq \f(3,4).
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝eq \r(2)，BD＝3.
(1)求sin∠CBD的值．
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，
∵∠C＝45°，CD＝eq \r(2)，∴CE＝DE＝1.
在Rt△BDE中，sin∠CBD＝eq \f(DE,BD)＝eq \f(1,3).
(2)若AB＝3，求AD的长．
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEDF为矩形．∴DE＝BF＝1.
∵BD＝3，∴DF＝2eq \r(2).
∴AF＝AB－BF＝2.∴AD＝2eq \r(3).
23.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
解：在Rt△ABD中，∵BD＝eq \f(1,2)BC＝9米，AD＝6米，
∴AB＝eq \r(BD2＋AD2)＝eq \r(92＋62)＝3eq \r(13)(米)，
∴sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(6,3\r(13))＝eq \f(2\r(13),13).
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．
解：在△BEF中，∵sin B＝eq \f(EF,BE)，
∴EF＝BE·sin B.
又∵BE＝2AE，∴BE＝eq \f(2,3)AB.
∴EF＝eq \f(2,3)·AB·sin B＝4(米)
即支架EF的长为4米．
24.把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示)，求sin∠ADE的值．
解：如图，过点E作EF⊥AD，交AD于点F.
设BD＝x，则AB＝x，BE＝eq \f(\r(3),3)x，DE＝eq \f(2 \r(3),3)x.
由勾股定理，得AD＝eq \r(2)x，易证△ABD∽△AFE，
∴eq \f(BD,EF)＝eq \f(AD,AE)＝eq \f(AD,AB－BE)，即eq \f(x,EF)＝eq \f(\r(2)x,x－\f(\r(3),3)x)，
∴EF＝eq \f(3 \r(2)－\r(6),6)x.
在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得
sin∠ADE＝eq \f(EF,DE)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).