专题59 二项式展开项的通项及应用（解析版）学案

这是一份专题59 二项式展开项的通项及应用（解析版）学案，共12页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.
1、二项式展开式，从恒等式中我们可以发现这样几个特点
（1）完全展开后的项数为
（2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，的指数呈此消彼长的特点.指数和为
（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“”左边的项视为，右边的项为，比如：与虽然恒等，但是展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按的指数降幂排列.如果是，则视为进行展开
（4）二项展开式的通项公式 （注意是第项）
2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为
二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项.对于可看作是个相乘，对于 意味着在这个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种.所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题.而二项式系数便是这个组合问题的结果.
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数.二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定.而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数.例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而
化简后的结果为该项的系数
（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同.例如 展开式的第三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为10
3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如就是有理项，而就不是有理项.
4、与的联系：首先观察他们的通项公式：
： ：
两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数.其绝对值相等.所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题
5、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置.若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为
证明：在中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为，则有
所以解得： 即
所以当为奇数时（），不等式变为，即或为中间项
当为偶数时（），不等式变为，即为中间项
6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要构建不等式组计算求解.
【经典例题】
例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解．
【解析】展开式的通项公式为（且），∴与展开式的乘积可表示为：或，在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为，∴的系数为，故选C．
【专家解读】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力．
例2．【2020年高考北京卷3】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意展开式的通项为Tr+1=C5r（x12）5-r-2r==C5r-2rx5-r2，令r=1得x2的系数为-10，故选C．
【专家解读】本题考查二项式定理的应用，考查数学运算等学科素养．
例3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【思路导引】写出二项式展开通项，即可求得常数项．
【解析】，其二项式展开通项：
，当，解得，的展开式中常数项是：．故答案为：．
【专家解读】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力．
例4．【2020年高考浙江卷12】设，则 ； ．
【答案】80；51
【思路导引】利用二项式展开式的通项公式计算即可．
【解析】由题意可知表示的系数，即，，，，∴，故答案为：80；51．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了一元二次不等式的解法，考查集合的交集运算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确求解一元二次不等式，理解集合交集的含义．本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力．
例5．【2020年高考天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【思路导引】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．
【专家解读】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用．
例6．（2020·湖南高三三模）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）
A．680B．640C．180D．40
【答案】A
【解析】因为随机变量，，
所以，代入可得，
故展开式中包含的项为：
，系数为，
故选：A.
例7．（2020·湖南雅礼中学高三三模）如果的展开式中存在正的常数项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】二项式的展开式通项为，
令，则，由于展开式中存在正的常数项，则为偶数，
设，，当时，取最小值.
故选：C.
例8．（2020·全国三模）的展开式中的系数是（ ）
A．10B．2C．D．34
【答案】C
【解析】由题意，，
又的展开式的通项公式为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数是.
【精选精练】
1．（2020·江西高三三模）的展开式中项的系数是（ ）
A．420B．-420C．1680D．-1680
【答案】A
【解析】表示的是8个相乘，
要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取
其余4个因式都取1
所以展开式中 项的系数是.
故选：A
2．（2020·四川成都·高三三模）已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（ ）
A．4B．5C．4或5D．6
【答案】C
【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得
所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，
故选：C
3．（2020·广东高三三模）在的展开式中，的系数是（ ）
A．20B．C．D．
【答案】D
【解析】，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
4．（2020·六安市城南中学高三三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
【答案】D
【解析】对于A，由组合数的互补性质可得，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得， 故B正确；
对于C，由二项式系数和的性质可得，故C正确；
对于D，，
故D错误.
故选：D.
5．（2020·涡阳县育萃高级中学高三三模）的展开式中项的系数为4，则（ ）
A．0B．2C．D．-2
【答案】D
【解析】由题意，项为，
故，所以.故选：D.
6．（2020·内蒙古高三三模）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（ ）
A．5050B．4851C．4950D．5000
【答案】B
【解析】依据二项展开式系数可知，第行第个数应为，
故第100行第3个数为
故选：.
7．（2020·江苏徐州·高三三模）已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）
A．B．C．10D．9
【答案】D
【解析】的展开式中各项系数之和为0.
令得，解得.
。
则展开式的通项公式为：
则展开式的常数满足
则或
则该展开式的常数项是
故选：D
8．（2020·湖北武汉·高三三模）的展开式中，的系数为（ ）.
A．120B．480C．240D．320
【答案】A
【解析】的展开式中，项是由6个因式中，
1个因式出，3个因式出，2个因式出，
含的项为，
的系数为，
故选：A.
9．（2020·陕西西安·高三三模）已知的展开式中第项是，则函数是（ ）．
A．定义域为的奇函数B．在上递减的奇函数
C．定义域为的偶函数D．在上递增的偶函数
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
则，，，，，，，
因为展开式中第项是，，
所以，，是在上递减的奇函数，
故选：B.
10．（2020·安徽高三三模）若展开式中的常数项是60，则实数的值为（ ）
A．±3B．±2
C．3D．2
【答案】B
【解析】由的通项公式为，结合知：
当为常数项时，有，即(舍去)
当为常数项时，有，即
又∵展开式的常数项为60
∴，解得
故选：B
11．（2020·湖南湘潭县一中高三三模）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项随机排成一列，则恰有两项有理项相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】展开式通项为，
由题意．
所以当时为整数，相应的项为有理项，
因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，
所求恰有两项有理项相邻的概率为．
故选：C．
12．（2020·浙江台州一中高三开学考试）设二项式，若则（ ）
A．8B．7C．5D．4
【答案】D
【解析】的通项公式为：，
项的系数为：，
项的系数：，
，解得：，
故选：D.