专题48 圆锥曲线的几何性质（原卷版）学案

专题48  圆锥曲线的几何性质

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述.

（一）椭圆：

1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中

②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中

焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：

（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长

     ：与短轴的顶点有关：，称为短轴长

     ：与焦点有关：，称为焦距

（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称

（3）椭圆上点的坐标范围：设，则

（4）通径：焦点弦长的最小值

① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦

② 过焦点且与长轴垂直的弦

说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得.则

（5）离心率：，因为，所以

（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径

① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）

② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为

（7）焦点三角形面积：（其中）

证明：

且

因为，所以，由此得到的推论：

① 的大小与之间可相互求出

② 的最大值：最大最大最大为短轴顶点

（二）双曲线：

1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程：

① 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中

② 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：

（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长

     ：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长

     ：与焦点有关：，称为焦距

（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或，

（4）离心率：，因为 ，所以

（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线.

① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可.例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线

② 渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线

③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系.

（6）通径：

① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段  外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段

②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，

（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则

① （可记为“左加右减”）

② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为

（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）

（三）抛物线：

1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线

2、抛物线的标准方程及焦点位置：

（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标

（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标

（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标

（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标

小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为

3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则

4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数4】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则 （   ）

A． B． C． D．

例2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（   ）

A．                B．                C．                D．

例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数7理数5】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为 （   ）

A．                B．             C．           D．

例4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则              （   ）

A．                B．                 C．                 D．

例5．【2020年高考天津卷7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

例6．【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （   ）

A．            B．            C．            D．

例7．【2020年高考北京卷7】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为；是抛物线异己的一点，

过做⊥于，则线段的垂直平分线 （   ）

A．经过点        B．经过点        C．平行于直线     D．垂直于直线

例8．【2020年高考山东卷9】已知曲线 （   ）

A．若，则是椭圆，其焦点在轴上  

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是双曲线，其渐进线方程为

D．若，，则是两条直线

【精选精练】

1．（2020·山东青岛·高三三模）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线为椭圆，其焦距为

B．当时，曲线为双曲线，其离心率为

C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线

D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切

2．（2020·河北张家口·高三三模）已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

3．（2020·湖北黄石港·黄石二中高三三模）已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，点P是圆上一点，线段与椭圆C交于点Q，，，则椭圆C的长轴长为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三三模）P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左､右焦点，若，则（    ）

A．12 B．16 C．18 D．20

5．（2020·安徽高三三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为（    ）.

A．2 B．4 C． D．

6．（2020·河南高三三模）已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（    ）

A．8 B．16 C． D．

7．（2020·安康市高新中学高三三模）设，分别为双曲线的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·山西运城·高三三模）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·安徽安庆·高三三模）已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

10．（2020·陕西高三三模）已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·浙江高三三模）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ）

A．    B．    C．   D．与大小不确定

12．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高三三模）已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（   ）

A． B． C． D．