专题41 三视图-几何体的面积与体积（解析版）学案

专题41  三视图-几何体的面积与体积

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三视图是高考重点考查的内容，近几年多与面积或体积计算结合在一起加以考查，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．本专题通过例题说明三视图及几何体的面积与体积问题求解方法.

（一）常见几何体的表面积计算：

1、常见几何体的表面积计算公式：

（1）三角形面积：设的底为，高为，则

（2）圆形面积：设圆的半径为，则

（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为

（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为，则侧面积为

（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为

（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起

（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为

2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.

（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高

（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长

（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线

3、三视图解面积的步骤：

（1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体）

（2）确定所求几何体由哪些面组成

（3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积

（4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积

4、求表面积要注意的几点：

（1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应.

（2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴截面可求出圆锥的母线长

（3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列.

（4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进而在求表面积时不予考虑.

（二）常见几何体的体积计算：

1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）

（1）柱体：

（2）锥体：

（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积

（4）球：

2、求几何体体积要注意的几点

（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地.对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积.

（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分.然后再寻找相关要素

（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等.

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数7】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为              （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点．

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．

【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图判断点的位置，考查直观想象学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．

例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数9理数8】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （   ）

A．               B．            C．         D．

【答案】C

【思路导引】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积．

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得：，根据勾股定理可得：，是边长为的等边三角形，根据三角形面积公式可得：

，该几何体的表面积是：，故选C．

【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．

例3．【2020年高考浙江卷5】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是              （   ）

A． B． C．3 D．6

【答案】A

【思路导引】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积．

【解析】如图，几何体是上下结构，下面是三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边为2，高为1，三棱柱的高是2，上面是三棱锥，平面平面，且，三棱锥的高是1，∴几何体的体积．

故选A．

【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图计算几何体的体积，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．

例4．【2020年高考北京卷4】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （   ）

A．              B．              C．              D．

【答案】D

【解析】由题意正三棱柱的高为2，底面的边长为2，该三棱柱的表面积为，故选D．

【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图计算几何体的体积，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．

例5．（2020·河北新乐市第一中学高三三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A．1          B．2        C．3        D．6

【答案】B

【解析】由题意可知几何体的形状如图：

，，，，BCDE是矩形，，

所以几何体的体积为：．

故选B．

例6．（2020·柳州高级中学高三三模）半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

该几何体的体积为，

故选：D.

例7．（2020·四川攀枝花·高三三模）如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，

该几何体的表面积为,

故选：B

例8．（2020·辽宁葫芦岛·高三三模）如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由几何体的三视图可知，该几何体为直三棱柱，

，，

设的外接圆半径为，则，解得，

所以，该几何体外接球的半径为，

该几何体外接球的表面积为，

故选：A.

【精选精练】

1．（2020·山西太原·高三三模）刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】阳马为下图所示的四棱锥，可看作是由长方体切割得到，

长方体的外接球即为所求的阳马的外接球，

由三视图可知：，，外接球半径，

外接球的体积.

故选：.

2．（2020·湖北宜昌·高三三模）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，原几何体是一个正三棱柱，上中点，取中点，连接，连接，由三视图知是正方形， ，又分别是中点，∴，∴，

正三棱柱中，平面，平面，故，

又，，则可得平面，平面，∴，

又，∴平面，即为截面，

同理由平面得，由三视图得，，

．

故选：A．

3．（2020·浙江温岭中学高三三模）如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图还原原几何体如图，

该几何体为四棱锥，底面，且，

底面为直角梯形，，，，，

该多面体的体积.

故选：B.

4．（2020·全国高三三模）某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故表面积为.

故选：D

5．（2020·浙江高三三模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（    ）

A．16 B．18 C．12 D．14

【答案】C

【解析】题目中的三视图，是由直三棱柱截去三棱锥所得，如图所示

由三视图可得，底面是两直角边均为3的等腰直角三角形，，三棱柱的高为4，所以剩下部分的体积.

故选：.

6．（2020·常德市第二中学高三三模）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为，底面半径为，则，∴.故，当时，的最大值为.

7．（2020·四川双流中学高三三模）某几何体的正视图和俯视图如图，若正视图是高为2的矩形，俯视图是边长为1的正三角形，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】易得该几何体为直三棱柱,其底面圆直径,

故外接球直径,即.

故外接球表面积为.

故选：C

8．（2020·陕西西安中学高三三模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外接球半径为，设球心离底面的距离为，

则，

解得：.

所以外接球的体积为.

故选：A

9．（2020·河南高三三模）在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为2的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的体积为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【解析】根据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，

其中垂直于等腰直角三角形所在的平面，将其放置于正方体中（如图所示），

可知该正方体的所有棱长为2，

所以.

故选：B.

10．（2020·广东深圳中学高三三模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图画出三棱锥如图所示，

过点做平面的垂线，交的延长线于点，

由三视图知，，，

因为是等腰直角三角形，

所以的外接圆圆心为的中点，所以，

设三棱锥外接球球心为，则平面，所以，

所以，只需让即可，

作且交于点，

由图，

设，即，

解得，，

所以外接球半径，

所以外接球体积.

故选：B

11．（2020·福建三明·高三三模）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（    ）

A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.2

【答案】B

【解析】由三视图可知，商鞅铜方升模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体

直四棱柱的体积；圆柱的体积

该模型的体积故选：

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由三视图知，该几何体的直观图如下图所示：

由三视图可知：平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE的高为1.四边形BCDE是边长为的正方形，

所以S△AED＝，S△ABC＝S△ABE＝，S△ACD＝.

故选：C.