专题41 三视图-几何体的面积与体积（原卷版）学案

这是一份专题41 三视图-几何体的面积与体积（原卷版）学案，共9页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
三视图是高考重点考查的内容，近几年多与面积或体积计算结合在一起加以考查，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．本专题通过例题说明三视图及几何体的面积与体积问题求解方法.
（一）常见几何体的表面积计算：
1、常见几何体的表面积计算公式：
（1）三角形面积：设的底为，高为，则
（2）圆形面积：设圆的半径为，则
（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为
（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为，则侧面积为
（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为
（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起
（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为
2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.
（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高
（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长
（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线
3、三视图解面积的步骤：
（1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体）
（2）确定所求几何体由哪些面组成
（3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积
（4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积
4、求表面积要注意的几点：
（1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应.
（2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴截面可求出圆锥的母线长
（3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列.
（4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进而在求表面积时不予考虑.
（二）常见几何体的体积计算：
1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）
（1）柱体：
（2）锥体：
（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积
（4）球：
2、求几何体体积要注意的几点
（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地.对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积.
（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分.然后再寻找相关要素
（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等.
【经典例题】
例1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数7】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A． B． C． D．
例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数9理数8】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例3．【2020年高考浙江卷5】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．3D．6
例4．【2020年高考北京卷4】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2020·河北新乐市第一中学高三三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．1 B．2 C．3 D．6
例6．（2020·柳州高级中学高三三模）半正多面体(semiregular slid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2020·四川攀枝花·高三三模）如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．
A．B．C．D．
例8．（2020·辽宁葫芦岛·高三三模）如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【精选精练】
1．（2020·山西太原·高三三模）刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·湖北宜昌·高三三模）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·浙江温岭中学高三三模）如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（ ）

A．B．C．D．
4．（2020·全国高三三模）某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）

A．B．
C．D．
5．（2020·浙江高三三模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（ ）
A．16B．18C．12D．14
6．（2020·常德市第二中学高三三模）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·四川双流中学高三三模）某几何体的正视图和俯视图如图，若正视图是高为2的矩形，俯视图是边长为1的正三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·陕西西安中学高三三模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·河南高三三模）在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为2的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的体积为（ ）
A．B．C．D．4
10．（2020·广东深圳中学高三三模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·福建三明·高三三模）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（ ）
A．11.9B．12.6C．13.8D．16.2
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为（ ）
A．B．
C．D．