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2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
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这是一份2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（ ）
A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∧（￢q） D．p∧q
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．a∈R，“1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx”，则￢p是真命题
6．（5分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．92，2.8 B．92，2 C．93，2 D．93，2.8
8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万
10．（5分）设P为椭圆1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1则△PF1F2的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 ．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于
15．（5分）设椭圆1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 ．
16．（5分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝BD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD与OB所成角是60°；
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．
其中正确的结论是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆1左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程．
18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
19．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
20．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若3，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
21．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
22．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n10，
甲被选中包含的基本事件的个数m4，
∴甲被选中的概率p．
故选：B．
2．（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，m、n的情况各有6种，则的情况有6×6＝36种，
又由题意，向量，向量，
则cosα，
若α，则1，
化简可得m2＞n2，即m＞n，
则的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15种情况；
则α的概率为，
故选：B．
3．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为 ，
正方形ABCD面积为a2+b2，
三角形的面积为ab，
∴1，
即a2+b2ab，
即，
∵a＞b，
解得，2（舍去）
故选：B．
4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（ ）
A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∧（￢q） D．p∧q
【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得x2，
当x＜0时，命题p成立，命题p为真
命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，
显然x2+x+10，命题q为真
∴根据复合命题的真假判定，
p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假
故选：D．
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．a∈R，“1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx”，则￢p是真命题
【解答】解：A．由1得a＞1或a＜0，则“1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，
B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，
但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，
D．∵sinx+cosxsin（x）恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，
故选：A．
6．（5分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：设抛物线C：y2＝4x的准线为l：x＝﹣1
直线y＝k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|AM|＝2|BN|，则|FA|＝2|FB|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB||AF|，
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为，
∴点B的坐标为B（，），
把B（，）代入直线l：y＝k（x+1）（k＞0），
解得k．
故选：C．
7．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．92，2.8 B．92，2 C．93，2 D．93，2.8
【解答】解：由题意所剩数据：90 90 93 94 93，
所以平均数92，
方差S[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，
故选：A．
8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由茎叶图，得：
甲地该月14时的平均气温（26+28+29+31+31）＝29，
甲地该月14时的平均气温的标准差S甲，
乙地该月14时的平均气温（28+29+30+31+32）＝30，
乙地该月14时的平均气温的标准差S乙，
∴甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，
甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③．
故选：A．
9．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万
【解答】解：由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4
∴11时至12时的销售额为3×4＝12
故选：C．
10．（5分）设P为椭圆1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1则△PF1F2的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵|PF1|：|PF2|＝2：1，
∴可设|PF1|＝2k，|PF2|＝k，
由题意可知2k+k＝6，
∴k＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∵|F1F2|＝2，
∴△PF1F2是直角三角形，
其面积4．
故选：C．
11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，A（a，b），
∵△OAF的面积为a2，
∴bca2，
∴2c2﹣3bc﹣2b2＝0，
∴c＝2b或cb（舍去），
∴ab，
∴e．
故选：A．
12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2，
在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可变成4，
结合e1，e2，
∴4．
故选：A．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 ③ ．
【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；
由题目看不出是系统抽样，所以②错；
这五名男生成绩的平均数，男（86+94+88+92+90）＝90，
这五名女生成绩的平均数女（88+93+93+88+93）＝91，
故这五名男生成绩的方差为（42+42+22+22+02）＝8，
这五名女生成绩的方差为（32+22+22+32+22）＝6，
故③正确，④错．
故答案为：③．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于 90°
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），
（2，0，﹣2），（﹣2，﹣1，﹣2），
设异面直线A1B与C1E所成角为θ，
则cosθ0，
∴θ＝90°．
∴异面直线A1B与C1E所成角等于90°．
故答案为：90°．
15．（5分）设椭圆1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 4 ．
【解答】解：设焦距为2c，
则有，解得b2＝16，
可得b＝4．
故答案为：4．
16．（5分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝BD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD与OB所成角是60°；
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．
其中正确的结论是 ①②④ ．
【解答】解：由题意，构造长方体，如右图，设OA＝x，OB＝y，OC＝z，
则x2+y2＝4，x2+z2＝10，y2+z2＝12，解得，x＝1，y，z＝3，
对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为OCOA×OB，故①对；
对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为，故②对；
对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．
对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE，则∠DAE＝60°，故④对；
⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan∠AOE，所以∠AOE＝60°；⑤错误；
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆1左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）椭圆1的a＝8，
左顶点为（﹣8，0），
设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），
可得8，
解得p＝16，
则抛物线的方程为y2＝﹣32x；
（2）双曲线与椭圆1共焦点（±，0），
即为（±4，0），
设双曲线的方程为1（a＞0，b＞0），
则a2+b2＝48，
渐近线方程为y＝±x，
可得，
解得a＝2，b＝6，
则双曲线的方程为1．
18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22＝3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．
19．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【解答】解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是
20．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若3，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【解答】解：（1）由抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），
设直线AB的方程为：x＝my+1，
则，整理得：y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可知：y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4，
（1﹣x1，﹣y1），（x2﹣1，y2），
∵3，
∴﹣y1＝3y2，整理得：m2，解得：m＝±，
∴直线AB的斜率k±，
直线AB的斜率或；
（2）由（1）可知：|y1﹣y2|4，
四边形OACB面积SOACB＝2SAOB•|OF|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝44，
当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．
21．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．
∴（，1，0），（，1，﹣3），（0，2，﹣3）…（6分）
（2）设面SBC的法向量为．
则
令y＝3，则z＝2，x，∴．
设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ12分
22．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD．
又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．
又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，
∴BD＝BC2，
∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，
∵BD∩ED＝D，∴BC⊥平面BDE．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），
（2，2，﹣2），（0，4，﹣2），
设平面BEC的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（1，1，2），
平面ADEF的法向量（0，1，0），
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，
则cosθ．
∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
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日期：2019/12/27 12:17:20；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265
2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（ ）
A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∧（￢q） D．p∧q
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．a∈R，“1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx”，则￢p是真命题
6．（5分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．92，2.8 B．92，2 C．93，2 D．93，2.8
8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万
10．（5分）设P为椭圆1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1则△PF1F2的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 ．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于
15．（5分）设椭圆1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 ．
16．（5分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝BD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD与OB所成角是60°；
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．
其中正确的结论是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆1左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程．
18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
19．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
20．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若3，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
21．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
22．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n10，
甲被选中包含的基本事件的个数m4，
∴甲被选中的概率p．
故选：B．
2．（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，m、n的情况各有6种，则的情况有6×6＝36种，
又由题意，向量，向量，
则cosα，
若α，则1，
化简可得m2＞n2，即m＞n，
则的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15种情况；
则α的概率为，
故选：B．
3．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为 ，
正方形ABCD面积为a2+b2，
三角形的面积为ab，
∴1，
即a2+b2ab，
即，
∵a＞b，
解得，2（舍去）
故选：B．
4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（ ）
A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∧（￢q） D．p∧q
【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得x2，
当x＜0时，命题p成立，命题p为真
命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，
显然x2+x+10，命题q为真
∴根据复合命题的真假判定，
p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假
故选：D．
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．a∈R，“1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx”，则￢p是真命题
【解答】解：A．由1得a＞1或a＜0，则“1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，
B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，
但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，
D．∵sinx+cosxsin（x）恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，
故选：A．
6．（5分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：设抛物线C：y2＝4x的准线为l：x＝﹣1
直线y＝k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|AM|＝2|BN|，则|FA|＝2|FB|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB||AF|，
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为，
∴点B的坐标为B（，），
把B（，）代入直线l：y＝k（x+1）（k＞0），
解得k．
故选：C．
7．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．92，2.8 B．92，2 C．93，2 D．93，2.8
【解答】解：由题意所剩数据：90 90 93 94 93，
所以平均数92，
方差S[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，
故选：A．
8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由茎叶图，得：
甲地该月14时的平均气温（26+28+29+31+31）＝29，
甲地该月14时的平均气温的标准差S甲，
乙地该月14时的平均气温（28+29+30+31+32）＝30，
乙地该月14时的平均气温的标准差S乙，
∴甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，
甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③．
故选：A．
9．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万
【解答】解：由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4
∴11时至12时的销售额为3×4＝12
故选：C．
10．（5分）设P为椭圆1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1则△PF1F2的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵|PF1|：|PF2|＝2：1，
∴可设|PF1|＝2k，|PF2|＝k，
由题意可知2k+k＝6，
∴k＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∵|F1F2|＝2，
∴△PF1F2是直角三角形，
其面积4．
故选：C．
11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，A（a，b），
∵△OAF的面积为a2，
∴bca2，
∴2c2﹣3bc﹣2b2＝0，
∴c＝2b或cb（舍去），
∴ab，
∴e．
故选：A．
12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2，
在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可变成4，
结合e1，e2，
∴4．
故选：A．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 ③ ．
【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；
由题目看不出是系统抽样，所以②错；
这五名男生成绩的平均数，男（86+94+88+92+90）＝90，
这五名女生成绩的平均数女（88+93+93+88+93）＝91，
故这五名男生成绩的方差为（42+42+22+22+02）＝8，
这五名女生成绩的方差为（32+22+22+32+22）＝6，
故③正确，④错．
故答案为：③．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于 90°
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），
（2，0，﹣2），（﹣2，﹣1，﹣2），
设异面直线A1B与C1E所成角为θ，
则cosθ0，
∴θ＝90°．
∴异面直线A1B与C1E所成角等于90°．
故答案为：90°．
15．（5分）设椭圆1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 4 ．
【解答】解：设焦距为2c，
则有，解得b2＝16，
可得b＝4．
故答案为：4．
16．（5分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝BD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD与OB所成角是60°；
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．
其中正确的结论是 ①②④ ．
【解答】解：由题意，构造长方体，如右图，设OA＝x，OB＝y，OC＝z，
则x2+y2＝4，x2+z2＝10，y2+z2＝12，解得，x＝1，y，z＝3，
对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为OCOA×OB，故①对；
对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为，故②对；
对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．
对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE，则∠DAE＝60°，故④对；
⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan∠AOE，所以∠AOE＝60°；⑤错误；
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆1左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）椭圆1的a＝8，
左顶点为（﹣8，0），
设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），
可得8，
解得p＝16，
则抛物线的方程为y2＝﹣32x；
（2）双曲线与椭圆1共焦点（±，0），
即为（±4，0），
设双曲线的方程为1（a＞0，b＞0），
则a2+b2＝48，
渐近线方程为y＝±x，
可得，
解得a＝2，b＝6，
则双曲线的方程为1．
18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22＝3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．
19．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【解答】解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是
20．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若3，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【解答】解：（1）由抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），
设直线AB的方程为：x＝my+1，
则，整理得：y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可知：y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4，
（1﹣x1，﹣y1），（x2﹣1，y2），
∵3，
∴﹣y1＝3y2，整理得：m2，解得：m＝±，
∴直线AB的斜率k±，
直线AB的斜率或；
（2）由（1）可知：|y1﹣y2|4，
四边形OACB面积SOACB＝2SAOB•|OF|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝44，
当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．
21．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．
∴（，1，0），（，1，﹣3），（0，2，﹣3）…（6分）
（2）设面SBC的法向量为．
则
令y＝3，则z＝2，x，∴．
设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ12分
22．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD．
又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．
又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，
∴BD＝BC2，
∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，
∵BD∩ED＝D，∴BC⊥平面BDE．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），
（2，2，﹣2），（0，4，﹣2），
设平面BEC的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（1，1，2），
平面ADEF的法向量（0，1，0），
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，
则cosθ．
∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
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日期：2019/12/27 12:17:20；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265
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