2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）
1．（5分）设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（　　）
A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n
2．（5分）双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，那么S9＝（　　）
A．8 B．36 C．45 D．72
4．（5分）“m＝2”是“椭圆y2＝1离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（　　）
A．3里 B．6里 C．12里 D．24里
6．（5分）以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（　　）
A．（x﹣5）2+y2＝16 B．（x﹣5）2+y2＝9
C．（x+5）2+y2＝9 D．（x+5）2+y2＝16
7．（5分）已知抛物线y2＝4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（　　）
A．x﹣2y+1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+2y﹣3＝0
8．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD中底ABCD是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，则面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（5分）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）

A．y2x B．y2＝9x C．y2x D．y2＝3x
11．（5分）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是（　　）
A．[﹣1，] B．[，] C．[﹣1，0] D．[，0]
12．（5分）已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（　　）
A．1≤a2019≤10 B．a2019＞10
C．0＜a2019 D．a2019＜1
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）等比数列{an}中，已知a4＝3，则a3a5＝　 　．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值是　 　．
15．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为　 　．
16．（5分）在地平面上有一旗杆OP（O在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线AB，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高h等于　 　m．

三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0）；集合Q＝{x|0}．
（1）当a＝1时，若“x∈P∩Q”是真命题，求实数x的取值范围；
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1；等差数列{bn}满足b3＝3，b5+b7+b9＝21．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）令cn，设数列{cn}的前项和为Tn，求证：Tn＜1．
19．（12分）已知抛物线y2＝x，过点P（1，0）的直线l交抛物线于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|．
20．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？
21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AA1＝AC＝4，AB＝2，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．
（1）在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．

22．（12分）已知椭圆C1：1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C2：1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）
1．（5分）设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（　　）
A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为：∃n∈N，n2＞2n．
故选：C．
2．（5分）双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
【解答】解：双曲线，
其渐近线方程，
整理得y＝±x．
故选：A．
3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，那么S9＝（　　）
A．8 B．36 C．45 D．72
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a4+a6＝8，
∴S9（a1+a9）．
故选：B．
4．（5分）“m＝2”是“椭圆y2＝1离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：椭圆y2＝1离心率为，可得：m＞1时，，或0＜m＜1时，，
解得m＝2或．
∴“m＝2”是“椭圆y2＝1离心率为”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（　　）
A．3里 B．6里 C．12里 D．24里
【解答】解：设第一天走a1里，则{an}是以a1为首项，以为公比的等比数列，
由题意得：378，
解得a1＝192（里），
∴19224（里）．
故选：D．
6．（5分）以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（　　）
A．（x﹣5）2+y2＝16 B．（x﹣5）2+y2＝9
C．（x+5）2+y2＝9 D．（x+5）2+y2＝16
【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为yx，即4x﹣3y＝0，
r4，圆方程为（x﹣5）2+y2＝16，
故选：A．
7．（5分）已知抛物线y2＝4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（　　）
A．x﹣2y+1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+2y﹣3＝0
【解答】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为 y﹣1＝k（x﹣1），代入抛物线的方程可得
ky2﹣4y﹣4﹣4k＝0，由 y1+y22 可得，k＝2，
故弦所在直线方程为2x﹣y﹣1＝0，
故选：B．
8．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD中底ABCD是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，则面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵四棱锥S﹣ABCD中底ABCD是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
设SD＝AD＝1，则S（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），
（1，1，﹣1），（0，1，﹣1），
设平面SBC的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（0，1，1），
面SAD的法向量（0，1，0），
设面SAD和面SBC所成的锐角二面角的平面角为θ，
则cosθ．
∴面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为．
故选：C．

9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，
那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
故选：D．
10．（5分）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）

A．y2x B．y2＝9x C．y2x D．y2＝3x
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，
∴2|AE|＝|AC|
∴3+3a＝6，
从而得a＝1，
∵BD∥FG，
∴求得p，
因此抛物线方程为y2＝3x．
故选：D．

11．（5分）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是（　　）
A．[﹣1，] B．[，] C．[﹣1，0] D．[，0]
【解答】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1．
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时，取得最小值为；
故当x＝0或1，且y＝0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[，0]，
故选：D．

12．（5分）已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（　　）
A．1≤a2019≤10 B．a2019＞10
C．0＜a2019 D．a2019＜1
【解答】解：将此数列分组为（）（，）（，，）（，，，）…第n组有n个数，
设数列的第2019项a2019在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：（n∈N*），
解得：n＝64，
则前63组共2016，即a2019在第64组的第3项，
即a201910，
故选：B．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）等比数列{an}中，已知a4＝3，则a3a5＝　9　．
【解答】解：由于等比数列{an}中，已知a4＝3，
则：，
故答案为：9
14．（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值是　3　．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：
由图易得，当x＝2，y＝﹣1时，目标函数z＝2x+y的最大值为3
故答案为：3．

15．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为　　．
【解答】解：由题意，如图，作A1O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A1F，A1E，
由于，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，故有△A1FA≌△A1EA，即A1F＝A1E
从而有△A1FO≌△A1EO，即有OF＝OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，
又底面是矩形，故角DAO＝角BAO＝45°，
又AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴A1F＝A1E，AE＝AF，于是有AO，
在直角三角形A1OA中，解得A1O
在图中作C1H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR＝CR，A1O＝C1H
连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC1，由已知及上求解得AS，SH
∴AC12＝AH2+C1H2＝AS2+SH2+C1H223
∴AC1
故答案为

16．（5分）在地平面上有一旗杆OP（O在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线AB，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高h等于　20　m．

【解答】解：由题意可得PO⊥OA，PO⊥OB，
且OB＝OP＝h，OAh，
在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，
即400＝3h2+h2﹣2•h•h•cos30°，
解得h＝20，
∴旗杆OP的高度为20m．
故答案为：20．
三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0）；集合Q＝{x|0}．
（1）当a＝1时，若“x∈P∩Q”是真命题，求实数x的取值范围；
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0），可得P＝{x|﹣a＜x＜3a，a＞0}，
集合Q＝{x|0}＝{x|（x﹣4）（2x+1）＜0}．
（1）当a＝1时，P＝（﹣1，3），P∩Q．
∵“x∈P∩Q”是真命题，∴实数x的取值范围是．
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，则，解得：a．
∴实数a的取值范围：a．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1；等差数列{bn}满足b3＝3，b5+b7+b9＝21．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）令cn，设数列{cn}的前项和为Tn，求证：Tn＜1．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1，
可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，即a1＝1；
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣2an﹣1+1，
可得an＝2an﹣1，
即an＝2n﹣1，n∈N*；
等差数列{bn}的公差设为d，b3＝3，b5+b7+b9＝21，
即有b1+2d＝3，3b1+18d＝21，
解得b1＝d＝1，
即有bn＝n，n∈N*；
（2）证明：cn，
数列{cn}的前项和为Tn＝11，
由1随着n增大而增大，可得Tn≥T1＝1，
可得Tn＜1．
19．（12分）已知抛物线y2＝x，过点P（1，0）的直线l交抛物线于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|．
【解答】解：（1）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x＝1，
解得A（1，1），B（1，﹣1），
满足•1﹣1＝0，∴OA⊥OB；
当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），
联立抛物线方程y2＝x，可得k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝2，x1x2＝1，
则•x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2
＝（1+k2）﹣2k2﹣1+k2＝0，
即有OA⊥OB．
综上，OA⊥OB成立；
（2）若直线l的倾斜角为45°，可得直线l的方程为y＝x﹣1，
代入抛物线程y2＝x，可得x2﹣3x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝3，x1x2＝1，
则|AB|••．
20．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？
【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有（平方米）．…2分
池底长方形宽为米，则S2＝8x+88（x）．…6分
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600+100×8（x）≥192000+64000＝256000．…9分
当且仅当x，即x＝40时取等号．…10分
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．…12分．
21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AA1＝AC＝4，AB＝2，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．
（1）在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．

【解答】解：（1）取BB1中点E，连接AE，则AE∥PB1，
连接CE，取CE中点N，连接QN，则QN∥AE，
∴QN∥PB1，即Q，N，P，B1四点共面，
连接B1N交BC于H，连接QH，则Q，H，B1，P四点共面，
过A作AM∥QH交BC于M，即为所求．
（2）作QO⊥平面ABB1A1，与A1A延长线交于O，则AO＝1，QO，
OB1，∴QB1，
∵B1P＝2，PQ＝2，
∴cos∠QPB1，
∴sin∠QPB1，
∴，
作PN∥C1A1，则直线A1C1与平面PQB1所成角＝直线PN与平面PQB1所成角，
∵2，∴2，
设N到平面PQB1的距离为h，则，∴h，
∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．


22．（12分）已知椭圆C1：1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C2：1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a＝|AF1|+|AF2|，
∴，所以椭圆C1的方程为．…（4分）
（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为
令x＝0，，令，所以（5分）
又点B在椭圆的第一象限上，所以，
∴（7分）
∴，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为（9分）
（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：

又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，
所以M，N都在直线上，
即：直线MN的方程为（12分）
所以原点O到直线MN的距离，…（13分）
所以直线MN始终与圆相切．…（14分）
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