2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，1，，则　　

A．， B．， C． D．，1，

2．（5分）若复数为虚数单位），则的实部为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（5分）抛物线的焦点坐标是　　

A． B． C．， D．，

4．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知一个样本，样本容量为7，平均数为11，方差为2，现样本中又加入一个新数据11，此时样本容量为8，平均数为，方差为，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知抛物线焦点为，点为其准线上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

9．（5分）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，则直线与直线所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

10．（5分）在区间，仅有三个零点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

11．（5分）设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间，上单调递减，且满足，则满足不等式组的解集为　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过原点斜率为的直线与椭圆交于、两点，、分别为线段、的中点，以为直径的圆过原点，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）

13．（5分）双曲线的渐近线方程为　　．

14．（5分）的展开式中的系数为　　．

15．（5分）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲团队获得一等奖”；

小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；

小李说：“丁团队获得一等奖”；

小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是　　．

16．（5分）已知底面边长为3的正三棱锥的外接球的球心满足，则正三棱锥的内切球半径为　　．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知等差数列的前项和为，公差为．

（1）若且，求数列的通项公式；

（2）若，，成等比数列，求公比．

18．（12分）某工厂有两台不同的机器和，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：

该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在，内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在，内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在，内的产品，质量等级为合格，将频率视为概率．

（1）完成下列列联表，以产品质量等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上（含良好）与生产产品的机器有关：

（2）已知质量等级为优秀的产品的售价为12元件，质量等级为良好的产品的售价为10元件，质量等级为合格的产品的售价为5元件，机器每生产10万件的成本为20万元，机器每生产10万件的成本为30万元，该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，淘汰收益低的机器，你认为该工厂会怎么做？

19．（12分）如图，已知四边形与四边形均为菱形，，且

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点，当的斜率为2时，坐标原点到的距离为．

（1）求、的值；

（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数．

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若有两个零点、，且．

①求的取值范围；

②证明：．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程为，直线与相交于点，直线与相交于点、异于极点），求线段的长．

[选修4-4：不等式选讲]

23．设．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

【解答】解：集合，

，1，，

则，．

故选：．

【解答】解：．

的实部为3．

故选：．

【解答】解：在抛物线，即 ，，，

焦点坐标是，

故选：．

【解答】解：向量，的夹角为，且，，，

，

故选：．

【解答】解：，，，

由正弦定理可得：，可得：，

，可得：为锐角，

．

故选：．

【解答】解：某7个数的平均数为11，方差为2，现又加入一个新数据11，

此时这8个数的平均数为，方差为，

，，

故选：．

【解答】解：设水深为尺，

则，

解得，

即水深12尺．

又葭长13尺，

则所求概率，

故选：．

【解答】解：当点在轴上方时，如图：

过作准线于，则根据抛物线的定义得

因为，所以

，

，此时的斜率为，

当点在轴下方时，同理可得直线的斜率为

故选：．

【解答】解：在正三棱柱中，底面边长为2，，

以为原点，为轴，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，0，，，，，

，0，，，，，

设直线与直线所成角为，

则．

直线与直线所成角的余弦值为．

故选：．

【解答】解：在区间，仅有三个零点，

即在区间，仅有三个解，即在区间，仅有三个解，

这三个根应为：，，，

故选：．

【解答】解：根据题意，为周期为2的偶函数，则且，

则有，

则函数关于直线对称，

又由在区间，上单调递减，且，

则在，上递增，且，，

则，即不等式组的解集为，；

故选：．

【解答】解：记线段与轴交点为．

的中点为，的中点为，

，，

、为椭圆上关于原点对称的两点，

．

原点在以线段为直径的圆上，

．

．

，

，

．

设，，易得．

由，可得得，．

直线斜率为，

，

，

由于，

离心率的取值范围为，

故选：．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）

【解答】解：双曲线，

双曲线的渐近线方程为，

即．

故答案为：．

【解答】解：的展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的系数为，

故答案为：1792．

【解答】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，

②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，

③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，

④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，

即获得一等奖的团队是：丁

故答案为：丁

【解答】解：正三棱锥的外接球的球心满足，

为的外心．

外接圆的圆心为正三棱锥的外接球的球心，

，，

．

．

，

．

则这个正三棱锥的内切球半径满足：，

解得

故答案为：．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

【解答】解：（1）且，

，

解得，或，

当时，，

当时，，

（2），，成等比数列，

，

，

整理可得，

则或，

当时，公比为1，

当，，

【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，

计算，

不能判断在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上（含良好）与生产产品的机器有关；

（2）机器每生产10万件的利润为（万元），

机器每生产10万件的利润为（万元），

则，

所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉机器，同时购买一台机器．

【解答】证明：（1）设、交于点，连结、，

四边形与四边形均为菱形，，且，

，，，

四边形与四边形均为菱形，

，

，平面．

（2），，平面，

以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，0，，，1，，，0，，

，，1，，

，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

【解答】解：（1）设，直线的方程为，

坐标原点到的距离为，

，

，

，

，

，

即；

（2）由（1）知椭圆的方程为，即，

假设存在满足题设条件的直线，

由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，

设，、，，把代入椭圆方程，

整理得，显然△．

由韦达定理有：，

，

，

，

在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得，

此时点，，直线方程为，即

【解答】解：（1），

由条件知，，

函数在处的切线方程为，即，

（2）①，

当时，在上恒成立，此时在上单调增，函数至多有一个零点，

当时，由解得

当时，，单调增，

当时，，单调减，

有两个零点、，

，

解得

②由条件知，，

．

可得，．

方法一：．故．

设，则，且，解得，．

，

要证：，即证明，

即证明，

设，

，令，，则，

在上单调增，（1），

在上单调增，

 则（1）．即时，成立，

．

方法二：则，

设，则，为的两个零点，，

易得在上单调增，在上单调减，

所以，

设，，

则，

恒成立，则在上单调增，

（1），

，

即，即，

又在上单调减，，，

，即，

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）曲线的参数方程是，

曲线的普通方程为，即，

曲线的极坐标方程为，即．

（2）直线的极坐标方程为，

直线的直角坐标方程为，

曲线的极坐标方程为，即，

曲线的直角坐标方程为，

直线与相交于点，直线与相交于点、异于极点），

联立，得，，

联立，得，，

．

线段的长为．

[选修4-4：不等式选讲]

【解答】解：（1）可化为：，

①当时，，解得；

②当时，不成立；

③当时，，解得

综上所述的解集为或

（2），即

又不等式恒成立等价于

即，解得

实数的取值范围是

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日期：2019/12/17 21:16:23；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267