2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，且，则实数的值为　　

A．1 B． C． D．2

3．（5分）“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知数列为等差数列，且，则等于　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知变量、满足的约束条件，则的最大值为　　

A． B． C．4 D．

6．（5分）阅读如图的程序框图，输出结果的值为（其中为虚数单位，　　

A．1 B． C． D．

7．（5分）在正方体中，是正方的中心，则异面直线与所成角为　　

A． B． C． D．

8．（5分）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为　　

A． B． C．2 D．1

9．（5分）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是　　

A． B． C．2 D．

10．（5分）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为　　

A． B．2 C． D．3

11．（5分）已知点，、，在同一个球面上，且，，，若四面体体积的最大值为10，则该球的表面积是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，则函数的零点个数为　　

A．6 B．7 C．9 D．10

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）

13．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．

14．（5分）已知函数在区间，上单调递减，且为偶函数，则满足（1）的的取值范围是　　．

15．（5分）过点作直线与圆交于、两点，如果，则的方程为　　．

16．（5分）设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为　　．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）在，三个内角，，所对的边分别为，，，满足．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求，的值．（其中

18．（12分）数列的前项和为，且，

（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．

若，求证：；

若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值．

20．（12分）在圆上取一点，过点作轴的线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）若对，都有恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：对任意正整数均成立，其中为自然对数的底数．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与有四个公共点，求的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知关于的不等式．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数的取值范围．

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解答】解：，，如图所示，

可知，

故选：．

【解答】解：向量，，且，

，

解得．

实数的值为．

故选：．

【解答】解：当时，

反之，当时，

有，

或，

故选：．

【解答】解：数列为等差数列，且，

则：，

解得：，

所以：．

故选：．

【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：

由，则，

平移直线，由图象可知当直线，

经过点时，直线的截距最大，此时最大，

由，解得，即，

此时，

故选：．

【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值．

．

故选：．

【解答】解：在正方体中，是正方的中心，

，

是异面直线与所成角（或所成角的补角），

设正方体中棱长为2，

则，，，

．．

异面直线与所成角为．

故选：．

【解答】解：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，

，

解得，．

所以经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为：

故选：．

【解答】解：几何体为不规则放置的四棱锥，是正方体的一部分，

如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，

几何体的体积：．

故选：．

【解答】解：椭圆的离心率，

可得：，解得，

椭圆方程为：，设，

则与定点连线距离：，

当时，取得最大值：．

故选：．

【解答】解：由题意，作图，易知，

则球心在过中点与面垂直的直线上，

由四面体的最大体积为10，

可得，

在△中，，

，

得，

该球的表面积为：，

故选：．

【解答】解：时，，

，

令，解得：或，

故在递增，在递减，在，递增，

故，（3），（5），

而，，，（1），（4），（5），

故存在，，使得，

时，在递减，

时，，

画出函数的图象，如图示：

，

函数的零点个数

即和，和的交点个数，

结合图象和有4个交点，和的图象有3个交点，

和的图象没有交点，

故函数的零点个数为7个，

故选：．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）

【解答】解：椭圆与双曲线有共同的焦点，可得，即，双曲线的离心率为2，所以，则，

所以双曲线的方程为：．

故答案为：．

【解答】解：根据题意，函数在区间，上单调递减，且为偶函数，

则（1）（1），

解可得：或或，

即的取值范围为，，，；

故答案为：，，，．

【解答】解：圆 即，

圆心，半径等于5，设圆心到直线的距离为，

由弦长公式得． 当直线的斜率不存在时，方程为，满足条件．

当直线的斜率存在时，设斜率等于，直线的方程为，即，

由圆心到直线的距离等于3得，

，直线的方程为．

综上，满足条件的直线的方程为或，

故答案为：或．

【解答】解：由数列的前项和为，，

可得，，，

，，，的等差数列，首项为3，公差为4，

数列的前项和为，

可得，，，，

．

由，若，

则的最大值为63，

故答案为：63．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

【解答】解：（Ⅰ）已知等式，利用正弦定理化简得：，

整理得：，即，

，

，

则；

由，得：，①

又由知，，②

由余弦定理得：，将及①代入得：，

，

，③

由②③知、是一元二次方程的两个根，

解此方程，并由得：，．

【解答】解：（Ⅰ）证明：，，

，

即为，

可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，

则；

（Ⅱ），即，，

，

则前项和．

【解答】证明：，为的中点，，

又底面为菱形，，，

又，平面，

又平面，；

（Ⅱ）解：平面平面，

平面平面，，

平面．

以为坐标原点，分别以，，为，，轴，

建立空间直角坐标系如图．

则由题意知：，0，，，0，，，，，，，，

设，则，，，

平面的一个法向量是，0，，

设平面的一个法向量为，，，

则，取，则，

二面角大小为，

，

解得，此时．

【解答】解：（Ⅰ）设，则点，将代入圆，得．

所以的方程为．

（Ⅱ）显然，直线存在斜率，设直线的方程为：．

联立，消去并整理得：，

△，

化为：．

设，，，．

则，，

依题意，，，

又

，

，

解得：．

由的中点，在直线上，

，

，

化为：，

把代入上式化为：，

解得（舍去），或．

，解得．

满足．即满足△．

在上存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点．直线的方程为：．

【解答】（1）解：当时，，，

．

可得时，，时，，

在递增，在递减，

的最大值为（1）；

（2）解：．

．

故：①当时，，在单调递减，而（1），

，不符合题意，

②当时，，在单调递增，在（而（1），

，不符合题意，

③当时，时，，在单调递减，而（1），

此时，不符合题意，

综上所述：的取值范围，

（3）证明：要证明．

等价于证明，

等价于证明．

由（2）可得在恒成立．

令，，2，3，．则

．

．

．．成立．

．成立．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）由，，，代入曲线的极坐标方程可得，

因此，曲线的普通方程为；

（2）曲线的方程可化为，

由于曲线与曲线有四个公共点，则且：

直线与曲线相交，则有，化简得，解得．

直线与曲线相交，则有，化简得，解得．

综上所述，实数的取值范围是，．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）时，，

故或或，

解得：，

故不等式的解集是；

（2）若不等式有实数解，

则．

解得：，

即的范围是．

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日期：2019/12/17 21:22:18；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267