2022年中考数学二轮复习专题《相似三角形的综合应用》课件PPT

这是一份2022年中考数学二轮复习专题《相似三角形的综合应用》课件PPT，共49页。PPT课件主要包含了第3题解图①，第3题解图②，第6题解图等内容，欢迎下载使用。

判 定 思 路
有平行截线 → 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似
① 证另一对等角 ② 证该角的两边对应成比例
① 证第三边也对应成比例 ② 证夹角相等 ③ 证有一对角是直角
① 顶角相等 ② 一对底角相等 ③底和腰对应成比例
① 证一对锐角相等 ② 证两组对应边成比例
相似三角形考查比较有特点的题干特征或设问特征1. 题干特征：①有平行线；②有中位线(或两边中点)；③已知线段比值(或锐角三角函数值)；④已知线段比例关系；⑤有等角(或角平分线)；2. 设问特征：①直接证相似；②求线段比值；③证线段比例关系、线段乘积关系(常通过观察线段所在三角形将线段乘积关系转换为线段比例关系)；④证线段倍数关系；⑤求两三角形周长、面积、中线、高线的比值．
(以下三个模型是以等腰三角形或者等边三角形为背景)
三垂直常存在的图形背景
1. (2017黔西南州)如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝ 图象上移动，则k的值为(　　)A. －4 B. 4 C. －2 D. 2
【解析】如解图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠BNO＝∠AMO＝90°，∠NBO＋∠BON＝90°，又∵OB⊥OA，∴∠BON＋∠AOM＝90°，∴∠NBO＝∠AOM，∴△OAM∽△BON，∴ ，又∵OB＝2OA，∴ON＝2AM，BN＝2OM，∵点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，
∴OM·AM＝1，∴ON·BN＝2AM·2OM＝4.∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，∴|k|＝ON·BN＝4，∴k＝±4，∵反比例函数y＝ 的图象在第二象限，∴k＝－4.
2. (2017河池)如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∵AE⊥BD，∴∠BEA＋∠FBE＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，∴△ABE∽△BCD，∴ ，即 ，解得BE＝1，∴BC＝2，如解图，过点F作FG⊥BC，∵AB＝ ，BE＝1，∴AE＝ ，
∵∠BAE＝∠EBF，∴△ABE∽△BFE，∴ ，即 ，解得FE＝ ，∵FG∥AB，EF＝ AE，∴GF＝ AB＝ ，EG＝ BE＝ ，∴GC＝ ，由勾股定理得，CF＝ .
3. (2016陕西)已知一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为________．
【解析】根据题意画出图象如解图①，过点C作CD⊥y轴于点D，分别令y＝0，x＝0，得x＝－2，y＝4，由题意知点A(－2，0)，B(0，4)，则OB＝4，OA＝2，∵CD∥OA，∴△CDB∽△AOB，∴ ，∵AB＝2BC，∴ ，∴ ， ，解得CD＝1，BD＝2，∴OD＝6，∴点C的坐标为(1，6)，设反比例函数的表达式为y＝ ，∴6＝ ，解得k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝ .
一题多解：如解图②，过点C作CD⊥x轴于点D，设点C的坐标为(a，b)，则CD＝b，OD＝a，由题意知点A(－2，0)，B(0，4)，则OB＝4，OA＝2，又∵CD∥OB，∴△AOB∽△ADC，∴ ，∵AB＝2BC，∴ ，∴ ，解得a＝1，b＝6.设反比例函数的表达式为y＝ ，∴6＝ ，解得k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝ .
4. (2015崇左)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，将它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求证：△AEF∽△ABC；(2)求这个正方形零件的边长；(3)如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？
(1)证明：∵四边形EFHG为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；(2)解：∵四边形EFHG为正方形，∴EF∥BC，EG⊥BC，又∵AD⊥BC，∴EG∥AD，设EG＝EF＝x，则KD＝x，
∵BC＝120 mm，AD＝80 mm，∴AK＝80－x，∵△AEF∽△ABC，∴ ，即 ，解得x＝48，∴这个正方形零件的边长是48 mm；
(3)解：设EG＝KD＝m，则AK＝80－m，∵△AEF∽△ABC，∴ ，即 ，∴EF＝120－ m，∴S矩形EFHG＝EG·EF＝m·(120－ m)＝－ m2＋120m＝－ (m－40)2＋2400，故当m＝40时，矩形EFHG的面积最大，最大面积为2400 mm2.
5. (2014柳州)如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∵PE是PD绕点P顺时针旋转90°得到的，∴∠DPE＝90°，DP＝PE，∴∠APD＋∠EPQ＝90°，∴∠ADP＝∠EPQ.
∵EQ⊥AB，∴∠PQE＝90°＝∠A.又∵DP＝EP，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1；
(2)当点P为AB的中点时，△PFD∽△BFP.理由如下：∵∠ADP＝∠BPF，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF，∴ ，设AP＝x，则BP＝1－x，∴ ，∴BF＝x(1－x)．∵△PFD∽△BFP，△BFP∽△APD，
∴△PFD∽△APD，∴ ，∴ ，∵DP2＝x2＋1，AD2＝1，AP2＝x2，∴PF2＝ ＝(x2＋1)x2.又∵PF2＝BP2＋BF2＝(1－x)2＋x2(1－x)2＝(1－x)2(x2＋1)，∴(x2＋1)x2＝(1－x)2(x2＋1)，解得x＝ ，∴当点P为AB的中点时，△PFD∽△BFP.
6. 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝ ，sin∠ABD＝ ，求线段BN的长．
(1)证明：如解图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC＋∠ADO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADC＝∠ODB，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ADC＝∠ABD；
(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，又∵∠MDA＝∠DBA，∴△AMD∽△ADB，∴ ，即AD2＝AM·AB；
(3)解：∵在Rt△ABD中，sin∠ABD＝ ，∴设AD＝3x，AB＝5x，又∵AD2＝AM·AB，AM＝ ，∴(3x)2＝ ×5x，解得x＝2或x＝0(舍去)，∴AB＝10，∵AM⊥CD，OD⊥CD，BN⊥CD，
∴AM∥OD∥BN，∵O是AB的中点，∴D是MN的中点，∴AM＋BN＝2OD，∴BN＝2OD－AM＝AB－AM＝10－ ＝ .
教材母题(人教九下44页习题14)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿BA向点A运动(不与B、A重合)，过点D作DE∥BC，交AC于点E，记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数关系式．
解：依题意得，BD＝2x，则AD＝8－2x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，∴ ，∴y＝－ x＋9(0＜x＜4)．
【还能这样考】1. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，∵AB＝8，AC＝6，AD＝8－2x，AE＝y.∴ ，∴y＝－ x＋6(0≤x≤4)；(2)S＝ BD·AE＝ ·2x(－ x＋6)＝－ x2＋6x＝－ (x－2)2＋6，∴当x＝2时，S有最大值，且最大值为6.
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D 作射线DE交AB于点E，使∠ADE＝∠B.设CD＝x，BE＝y，求y与x的函数解析式，并求BE的取值范围．
解：∵∠EDC＝∠BED＋∠B＝∠ADE＋∠ADC，且∠ADE＝∠B，∴∠BED＝∠ADC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BDE∽△CAD，∴ ，
∵CD＝x，BE＝y，BD＝8－x，AC＝5，∴ ，∴y＝ x(8－x)＝－ (x－4)2＋ (0＜x＜8)，∵0＜x＜8，∴当x＝4时，y取最大值 ，∴0＜y≤ ，即0＜BE≤ .
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E为AB边上一点，BE＝3，点D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D 作射线DF交AC于点F，使∠EDF＝∠B，设BD＝x，CF＝y，求y与x的函数关系式．
解：∵∠EDC＝∠BED＋∠B＝∠FDE＋∠FDC，且∠FDE＝∠B，∴∠BED＝∠FDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，∴ ，∵BD＝x，CF＝y，CD＝8－x，BE＝3，∴ ，∴y＝ x(8－x)＝－ (x－4)2＋ .
4. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2.点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，设AP＝x，CQ＝y.(1)当点Q在线段DC上时，求y关于x的函数解析式；(2)当点Q在线段DC的延长线上时，求y关于x的函数解析式．
解：(1)如解图①，当点Q在线段DC上时，∵∠BPD＝∠ABP＋∠A＝∠BPE＋∠DPQ，且∠BPE＝∠A，∴∠ABP＝∠DPQ，∵AB＝CD，∴∠A＝∠D，
∴△ABP∽△DPQ，∴ ，∵AP＝x，CQ＝y，AD＝5，AB＝DC＝2，∴PD＝5－x，DQ＝2－y，∴ ，即2(2－y)＝x(5－x)，∴y＝ x2－ x＋2；
(2)如解图②，当点Q在线段DC的延长线上时，∵∠BPD＝∠ABP＋∠A＝∠BPE＋∠DPQ，且∠BPE＝∠A，∴∠ABP＝∠DPQ，∵AB＝CD，∴∠A＝∠D，∴△ABP∽△DPQ，