2022年中考数学总复习第17讲《线段、角、相交线和平行线》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第17讲《线段、角、相交线和平行线》讲解(含答案) 学案，共14页。学案主要包含了解后感悟，课本改变题，方法与对策，考点概要，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展等内容，欢迎下载使用。
第17讲　线段、角、相交线和平行线


1．直线、射线、线段
考试内容
考试
要求
直线公理
经过两点，有且只有 条直线．
b
c
线段公理
两点之间，线段最 ．
两点间的距离
连结两点间的线段的 ，叫做两点间的距离．
2.角
考试内容
考试
要求
角的
概念
定义1
具有公共端点的两条 组成的图形叫做角．
b
定义2
一条____________________绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．
互为
余角
定义
如果两个角的和等于 ，则这两个角互余．
b
性质
同角(或等角)的余角 ．
c
互为
补角
定义
如果两个角的和等于 ，则这两个角互补．
b
性质
同角(或等角)的补角 ．
c
3.相交线
考试内容
考试
要求
对顶角
对顶角相等
b
c
垂直
性质1
在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直．
性质2
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短．
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的____________________的长度，叫做点到直线的距离．
4.角的平分线与线段的垂直平分线
考试内容
考试
要求

角的平分线
线段的垂直平分线
b
c
性
质
角的平分线上的点到角两边的距离 ．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ．
判定
角的内部到角的两边距离相等的点在 _上．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上．
5.平行线
考试内容
考试
要求
平行线的概念
在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．
b
平行公理
经过直线外一点有且只有 条直线与已知直线平行．
b
c
平行公理的推论
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 ．
平行线的判定
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行．
平行线的性质
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补．

平行线间的距离
定义
过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，__________的长度叫做两条平行线间的距离．
b
性质
两条平行线间的距离处处____________________．
6.命题
考试内容
考试
要求
命题的概念
判断一件事情的句子叫做命题．
a
命题的分类
命题分为 命题和 命题．
命题的组成
命题由 和 两个部分组成．
b

考试内容
考试
要求
基本
思想
方程思想：在解答有关线段或角的计算问题时，找出线段之间的关系或角之间的关系，列方程来解答．
c
基本
方法
“两点之间线段最短”、“垂线段最短”在求几何问题最值时经常用到．

1． (·宁波)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)

A．20° B．30° C．45° D．50°
2．(·金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(　　)

A．展开后测得∠1＝∠2
B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．测得∠1＝∠2
D．展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
3．(·台州)如图，已知直线a∥b，∠1＝70°，则∠2＝____________________.

第3题图 第4题图
4．(·金华)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是____________________．


【问题】下列图形中，AB∥CD.
(1)能使∠1＝∠2成立的是________．
(2)若∠1＝45°，你能求出各图形中∠2的度数吗？若能，直接写出答案．
(3)把“AB∥CD”改为“∠1＝∠2”，那么各图形中AB∥CD还成立吗？
(4)请你结合(1)、(2)、(3)的解答，回答该题用了哪些知识？







【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理角、相交线和平行线的相关知识．

类型一　线段、角的计算
　(1)已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE∶AD；

(2) 在同一平面上，若∠AOB＝71°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的平分线，则∠AOE的度数是____________________．





【解后感悟】在解答有关线段、角的计算问题时，一般要注意以下几个方面：
①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；
②学会观察图形，找出线段或角之间的关系，列算式或方程来解答．

1．(1)在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中点，求DB的长度．
　(2)如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，2∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．

　　　　　　　　


类型二　相交线
　
(1) (·嵊州模拟)如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是(　　)

A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) (·苏州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是________．

【解后感悟】(1)思考问题要全面是正确解答本题的关键；(2)角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

2． (1)(·黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(　　)

A．6 B．6 C．9 D．3
(2) (·湖州)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(　　)

A．8 B．6 C．4 D．2
(3) 如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C.其中正确的有____________________(只填序号)；

(4) (·深圳市罗湖区模拟)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连结CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为____________________．
类型三　平行线
　(1)如图，下列条件中：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有________(填写所有正确的序号)．

(2) (·启东模拟)如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是________．
(3)(·泰州)如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.

【解后感悟】(1)根据图形联想平行线的判定；(2)解题的关键：若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用；(3)平行线的性质和判定的互逆运用，两条直线平行时，只有被第三条直线所截时才能揭示图形中的数量关系，故延长AE进行角的等量转换．

3． (1)如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)

A．10° B．20° C．25° D．30°

(2)(·温州模拟)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是(　　)
A．50° B．45° C．35° D．30°
(3) (·河南模拟)如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度数为____________________．

类型四　命题与逆命题
　(1)(·奉化模拟)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是(　　)
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝40°，∠2＝40° D．∠1＝45°，∠2＝45°
(2)对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断：
①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，并说明理由．
已知：________，结论_______________________________________________________．
【解后感悟】(1)理解满足已知条件，但不满足结论的例子是解决本题的关键；(2)本题是命题的叙述形式，利用平行线的判定方法解题．

4．(1)(·福建)下列关于图形对称性的命题，正确的是(　　)
A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
(2)(·杭州模拟)选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(　　)
A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45°
类型五　综合与应用
　如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝3∠BOD＋20°.

(1)求∠BOD的度数；
(2)以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF＝90°，求∠BOF的度数，并画图加以说明．
　　　　　　　　


【解后感悟】(1)本题利用邻补角得出关于∠BOD的方程是解题关键；(2)OE⊥OF有两种情况，以防遗漏．

5．(1)(·杭州市江干区模拟)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE.则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为____________________．

(2)(·嘉兴模拟)如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.
①试说明：AB∥CD；
②若∠2＝25°，求∠BFC的度数．




　　　

【课本改变题】教材母题－－浙教版七下，第29页第13题
小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
　
(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程)；
②说出该画法依据的定理．
(2)小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：
①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点)，画出该等腰三角形在画板内的部分．
②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．
请你帮小明完成上面两个操作过程．(必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内)














【方法与对策】本题是借助实际问题场景的几何基本作图题．由于题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．涉及到的几何基本作图包括：(1)过直线外一点作直线的平行线，(2)作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：(1)平行线的性质，(2)等腰三角形的性质，(3)三角形内角和定理，(4)垂直平分线的性质等．课本改变题是当前中考命题的一种趋势，学习中要重视课本例题和习题．

【忽视平行线的性质的前提条件】
如图，已知直线a、b被直线c所截，则①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠3＋∠4＝180°中，正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

参考答案
第17讲　线段、角、相交线和平行线
【考点概要】
1．一　短　长度　2.射线　射线　90°　相等　180°　相等　3.一　垂线段　垂线段　4.相等　相等　角的平分线　垂直平分线　5.不相交　一　平行　垂线段 相等　6.真　假　题设　结论
【考题体验】
1．D　2.C　3.110°　4.80°
【知识引擎】
【解析】(1)根据平行线的性质对各选项分析判断．①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，故错误；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2，故正确；③由AC∥BD得到∠1＝∠2，由AB∥CD不能得到，故错误；④∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，只有AD∥BC才可以有∠1＝∠2，故错误． (2)①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝135°；②∠2＝45°. (3)②仍可以成立． (4)本题主要用到了“对顶角相等”，“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”的知识．

【例题精析】
例1　(1)设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.又∵AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.(2)如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝56°，∠AOE＝∠AOC＝28°，如果射线OC在∠AOB的外部，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝86°，∠AOE＝∠AOC＝43°.故答案为：28°或43°.　
例2　

(1) C；(2)过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是×DE×BC＝×3×10＝15.故答案为：15.　
例3　

(1) ①③④； (2)18°或126°； (3)如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.　
例4　(1)D； (2)本题答案不唯一，已知：a∥b，b∥c，结论a∥c；已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c；已知：a∥b，a∥c，结论b∥c；已知：b∥c，a∥c，结论a∥b；已知：b∥c，a⊥c，结论a⊥b；已知：a⊥b，a⊥c，结论b∥c.　
例5　(1)由邻补角互补，得∠AOD＋∠BOD＝180°，即3∠BOD＋20°＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝40°；　(2)如图：由射线OE平分∠BOD，得∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°，由角的和差，得∠BOF′＝∠EOF′＋∠BOE＝90°＋20°＝110°，∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝90°－20°＝70°.

【变式拓展】
1．(1)①当点C在线段AB延长线上，如图1：有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)．

②当点C在线段AB上，如图2：有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．综上，DB的长度为2cm或5cm.

(2)设∠AOB为x，则∠BOC为(180°－x)，∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB，则可得∠DOB＝x，∵2∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－x)，∵∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝70°，则可得：x＋(180°－x)＝70°，解得x＝60°，∴∠BOC＝180°－60°＝120°，∴∠EOC＝∠BOC＝×120°＝80°.　2.(1)C　(2)C　(3)①②④　(4)105°　3.(1)C　(2)D (3)80°　4.(1)A　(2)D　5.(1)45°，60°，105°，135°　(2)①略；②115°.
【热点题型】
【分析与解】(1)方法一：利用平行线的性质．①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数；②依据：两直线平行，同位角相等；方法二：利用三角形内角和定理．①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°－∠1－∠2即为直线a，b所成角的度数；②依据：三角形内角和为180°； (2)①如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形；②如图3，作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，则EF就是所求作的线．

【错误警示】∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.直线a、b不一定平行，∴②③④不一定成立．故答案为A.