考点01 集合与常用逻辑用语-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点1集合与常用逻辑用语

集合

一、选择题

1．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟）设集合，，，则集合中元素的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B 

【详解】

当，时，；当，时，；

当，或时，；当，时，；

当，或，时，；当，时，；

，故中元素的个数为个.

故选：B.

2．（2020·巴楚县第一中学）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】

因为集合，，

所以集合，

故选：C

3．（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（   ）

A．与1非常接近的全体实数 B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生

C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数

【答案】B

【详解】

A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.

故选：B

4．（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】

由，可得

因为等价于或，

且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．

（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；

（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．

综上所求或，即，故，

故选：D．

5．（2020·全国高三专题练习（理））已知集合，，且，，，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意设，，，（），

则，而，

∴．

故选：D．

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．

（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；

（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．

【答案】（1）证明见解析，，；（2）答案见解析.

【详解】

（1）证明：∵，

数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴或．

∵，而，∴．

∴为单元素集．

由此，得，，

则，．

（2）由（1）的结果，归纳得，

．

，

因为中的每一个元素的两倍构成的集合等于，

所以．

7．（2019·上海市行知中学高三月考）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.

（1）若，试证明中还有另外两个元素；

（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.

【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.

【详解】

（1）证明：若x∈A，则

又∵2∈A，
∴
∵-1∈A，∴
∴A中另外两个元素为，；

（2），，，且，，

，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；

（3）由，，可得

，所有元素积为1，∴，

、、，∴.

一、选择题

1．（2020·合肥一六八中学高三月考（理））已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

都不是空集，设，则；，则.

当时：方程的解为 此时，满足；

当时：的解为或

，则或

，则无解，

综上所述：，

故选

2．设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为为集合A中的最大元素

所以，错位相减可得，所以=，故选A.

3．（2019·山东省烟台第一中学高三月考）已知集合，若，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵，解不等式

得：,所以集合

因为，所以做出集合A与集合B的示意图如下图所示，从图中可以看出，

故选A.

4．（2020·全国高三专题练习（理））集合，则集合的子集的个数为(　　)

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】B

【详解】

由，可得，且解得又,可得

∴集合A的子集的个数为

5．（2020·浙江嘉兴市·高三其他模拟）设全集，集合，则下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

集合，

集合，

所以，

故选C.

二、解答题

6．已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.

（1）求；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）要使函数有意义，则，得，解得，

.

对于函数，该函数为减函数，，则，即，，因此，；

（2），.

当时，即当时，，满足条件；

当时，即时，要使，则，解得.

综上所述，实数的取值范围为.

7．（2019·全国高三专题练习）设集合．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或； （2）或.

【详解】

（1）集合，

若，则是方程的实数根，

可得：，解得或；

（2）∵，∴，

当时，方程无实数根，

即

解得：或；

当时，方程有实数根，

若只有一个实数根，，

解得：．

若只有两个实数根，x=1、x=2，,无解.

综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}

1．（2021·全国高考真题（理））设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以,

故选：B.

2．（2021·全国高三二模（理））已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A． B． C．8 D．32

【答案】C

【详解】

含有3个不同元素，故它的子集个数为8，

故选:C.

3．（2020·金堂县竹篙中学校高三期中（文））设全集，已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

或，

则

故选：B

4．（2020·北京高三期中）已知集合，，则（    ）

A．{0，2} B．{0，2，4} C． D．

【答案】A

【详解】

集合，，则

故选：A

二、解答题

5．（2019·江苏高三零模）设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：

① ,； ②对任意的,都有．

（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；

（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．

【答案】(1)因为对任意的，都有，

所以，；

(2)因为存在，使得，所以或，

设所有这样的为，

不妨设，则（否则）；

同理，若，则，

这说明的值由的值（2或2）确定，

其余的对相邻的数每对的和均为0,∴

．

6．（2020·永安市第三中学高三月考） 已知集合，，.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1），时，，

∴

（2）∵，

∴当时，，即，符合题意；

当时，即时，只需或即可.

解得或，

综上，的取值范围为.

常用逻辑用语

四种命题间的关系

一、选择题

1．（2021·上海市控江中学高三三模）已知与皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题P：“对任意，恒成立”，命题Q：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（    ）

A．命题P真，命题Q真 B．命题P真，命题Q假

C．命题P假，命题Q真 D．命题P假，命题Q假

【答案】D

【详解】

由题，可设，与，与

其反函数，均存在，

命题：对任意，恒成立”

由图象关于直线对称可知是错误的．

如图：

对命题：

可 设，

令，存在，根据反函数特征，若函数存在反函数，

则不能存在一个值对应两个的情况，说明不存在反函数

故命题假，命题假

故选：D．

2．（2021·新疆高三其他模拟（文））命题“若，则”的逆否命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【详解】

若，则的逆否命题为：

若，则.

故选：B.

3．（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：

甲：是奇函数；

乙：的图象关于直线对称；

丙：在区间上单调递减；

丁：函数的周期为2.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【详解】

由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，

所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，

即丙、丁中有一个为假命题；

若甲、乙成立，即，，

则，

所以，即函数的周期为4，

即丁为假命题.

由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，

故选：D.

4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则

B．若集合，，则，

C．任何集合都有真子集

D．若，则，至少有一个为空集

【答案】A

【详解】

解：，，则，所以A正确；

若集合，，由解得或，则，所以B不正确；

空集没有真子集，所以C不正确；

若，则，至少有一个为空集，两个集合可以不是空集，两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以D不正确.

故选：A.

5．（2020·全国高三专题练习（理））已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3．关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题．

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题．

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③ B．②

C．②③ D．①②③

【答案】A

【解析】

试题分析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.

二、解答题

6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若，则或；

（2）若，则，全为零．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：根据逆命题是条件、结论互换；否命题是否定条件的同时，否定结论；

逆否命题是否命题的逆命题或逆命题的否命题求解；

注意命题与其逆否命题同真、同假．

试题解析：1）逆命题：若或，则，真命题；

否命题：若，则且，真命题；

逆否命题：若且，则，真命题．

（2）逆命题：若，全为零，则，真命题；

否命题：若，则，不全为零，真命题；

逆否命题：若，不全为零，则，真命题．

7．（2019·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知集合

（1）当时，命题，命题，若为真命题，求范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；（2）

【详解】

（1）当时，，

为真命题，得为假命题，为真命题．

，由于，

，

（2）

①当，有，得，

②当，有，解得，

综合得：

一、选择题

1．（2020·陕西西安市·长安一中高三月考（文））在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

因为，故，故①错误，

而，故，故②正确.

若整数，属于同一“类”，设此类为，

则，故即，

若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，

故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.

由“类”的定义可得，

任意，设除以4的余数为，则，

故，所以，

故，故③正确.

故选：C.

2．（2021·全国高三专题练习（理））设集合则

A．对任意实数a， B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1） D．当且仅当 时,（2,1）

【答案】D

【详解】

分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

详解：若，则且，即若，则，

此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

3．（2020·上海高三一模）设集合(其中常数)，(其中常数)，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【详解】

当时，，

若，则，

此时，

当时，，

若，则，

此时，

故“”是“”的充分条件；

当时，若，

，可得，

当时，，若，

，可得，

所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分非必要条件.

故选：A

4．（2020·宁夏银川九中高三月考（文））下列结论错误的是（    ）

A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”

B．“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分不必要条件

C．已知命题p“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”，则命题p的否定¬p为真命题

D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0.则m≠0或n≠0”

【答案】C

【详解】

解：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；

“” “或”，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

对于，命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则，方程有实根时，，故C错误．

命题“若，则且”的否命题是“若．则或”，故正确；

故选：C．

5．（2021·浙江高三月考）若，，是的三条边，则“”是“是等腰三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

解：若“是等腰三角形”，则当，则不一定成立，

若，则，

即，

即，，，

则，

则“是等腰三角形”成立，

即“”是“是等腰三角形”充分不必要条件，

故选：.

二、解答题

6.（2020·重庆市江津中学校高三月考）已知，集合，函数的定义域为.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

令，即

（1）∵，∴且，即；

（2）由题知是的真子集，故且，即.

7．（2020·钦州市第四中学（理））设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.

（1）若，且是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由，得，

又，所以，当时，：；

由，得，所以：.

若为真，则真且真，

所以，故的取值范围是.

（2）设，，

∵是成立的必要不充分条件，∴

∴，即，∴实数的取值范围是.

一、选择题

1．（2021·陕西西安市·西安中学（文））命题“∃x0∈（1，+∞），﹣1＝x02”的否定是（    ）

A．∃x0∉（1，+∞），﹣1＝x02  B．∃x0∉（1，+∞），﹣1≠x02

C．∀x∈（1，+∞），2x﹣1≠x2  D．∀x∉（1，+∞），2x﹣1＝x2

【答案】C

【详解】

解：命题“”，

它的否定是“”．

故选：C．

2．（2021·全国高三专题练习）若命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

因为，所以，

故选：C．

3．（2020·青铜峡市高级中学高三开学考试（文））给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则均为假命题；

②命题“若，则”的否命题为“若，则”；

③“，”的否定是“，”；

其中正确的命题的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

对于①，可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；对于②，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故②错误；对于③，“，”的否定是“，”，正确．

故只有③正确，答案为B.

4．有四个关于三角函数的命题：：，；：，；：，；：.其中假命题的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【详解】

：都有，故错误；

：时满足式子，故正确；

：，，且，所以，故正确；

：，，，故错误.

故选：A.

【点睛】

5．（2020·山东高三专题练习）设，命题“存在，使方程有实根”的否定是

A．任意，使方程无实根 B．任意，使方程有实根

C．存在，使方程无实根 D．存在，使方程有实根

【答案】A

【详解】

由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是

“任意，使方程无实根”.

故选：A

二、解答题

6．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知命题：，，命题：，.

（1）若为真，求实数的取值范围；

（2）若为假，为真，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【详解】

（1）若为真：，

解得，

∵为真，∴为假，∴或.

（2）由（1）得：真，

若为真：，，∴，

∵为假，为真，

∴、一真一假.

①真假：，∴；

②假真：，∴.

综上：的取值范围是.

7．（2020·全国高三专题练习）已知f(x)＝3ax2＋6x－1，a∈R．

（1）当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

（2）如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】

（1）证明：当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－36＝0，且函数f(x)图象的开口方向向下，

∴对任意x∈R都有f(x)≤0.

（2）解：由f(x)≤4x对任意x∈R恒成立，得3ax2＋6x－1≤4x对任意x∈R恒成立，

即3ax2＋2x－1≤0对任意x∈R恒成立．

①当时，不等式为，故对任意x∈R不恒成立；

②当时，

由题意得，解得.

综上可得．

∴实数的取值范围为.