第02讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（解析版）练习题

第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

[A级　基础练]

1．(2021·全国统一考试)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则﹁p为(　　)

A．所有正方形都不是平行四边形

B．有的平行四边形不是正方形

C．有的正方形不是平行四边形

D．不是正方形的四边形不是平行四边形

解析：选C.全称量词命题的否定为特称量词命题，即“有的正方形不是平行四边形”．

2．(2021·开封市模拟考试)已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则﹁p为(　　)

A．∀n∈N，n2>2n　　　　　 B．∃x∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n   D．∃n∈N，n2＝2n

解析：选C.因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以﹁p：∀n∈N，n2≤2n，故选C.

3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

4．（2020•潍坊模拟）若，则恒成立的一个充分条件是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．

【解答】解：由于，，

故当时，恒成立．

故选：．

5．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由ln(x＋1)<0得0<x＋1<1，－1<x<0，由x2＋2x<0得－2<x<0，所以“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的充分不必要条件，故选A.

6．(2021·山东潍坊一模)“a<1”是“∀x>0，≥a”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.当x>0时，＝x＋，由均值不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．

所以≥a的充要条件为a≤2.(实质就是条件的等价转化)

显然“a<1”是“a≤2”的充分不必要条件，

所以“a<1”是“∀x>0，≥a”的充分不必要条件．故选A.

7．（多选）（2020•山东模拟）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【分析】由于关于的不等式的解集为，且，，，结合必要不充分条件的判定得到结论．

【解答】解：关于的不等式的解集为，

函数的图象始终在轴上方，即△，

，解得：，

又，，

“”和“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件．

故选：．

8．（多选）（2019秋•临沂期末）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为　　

A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤

【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可．

【解答】解：假设为象限角

则①，则为第一象限角或为第二象限角，

②，则为第三象限角或为第四象限角

③，则为第一象限角或为第四象限角

④，则为第二象限角或为第三象限角

⑤，则为第一象限角或为第三象限角

⑥，则为第二象限角或为第四象限角，

若为第二象限角，则①④可以④⑥可以，

故选：．

9．（2020•菏泽模拟）命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是　                   　．

【分析】全称命题的否定为特称命题，注意量词的变化和否定词的变化．

【解答】解：由称命题的否定为特称命题，可得

命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理数；

故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数．

10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．

答案：充要

11．（2020春•启东市校级月考）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）已知是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）解一元二次的不等式即可求出集合，

（2）先求出集合，再根是的必要不充分条件得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）若关于的不等式，即，解得

即集合为，，

（2）不等式的解集为，，

是的必要不充分条件，

，即．

12．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，求A∩B＝∅的充要条件．

解：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.

所以A∩B＝∅的充要条件是0≤a≤2.

[B级　综合练]

13．(多选)(2021·山东德州夏津第一中学月考)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)

A．l⊂α，l⊥β   B．l⊥α，m⊥β，l⊥m

C．α⊥γ，β∥γ   D．l⊂α，m⊂β，l⊥m

解析：选ABC.由面面垂直的判定定理可以判断A，B，C项均符合题意；对于D项，由l⊂α，m⊂β，l⊥m也可以得到α∥β，所以D项不符合题意．故选ABC.

14．设p：－<x<(m>0)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以0<m≤2.所以实数m的取值范围是(0，2]．

[C级　创新练]

15．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空．

(1)“a，b都为0”的必要条件是________；

(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；

(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________．

解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或

④ab>0⇔或则a，b都不为0.

答案：(1)①②③　(2)④　(3)①

16．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明理由．

解：两位同学题中实数m的取值范围是一致的．

因为“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题．

所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的．