专题07 圆锥曲线中的向量问题(解析版)

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专题07 圆锥曲线中的向量问题
【例题讲解】
【例1】已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；
(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。
解　(1)因为l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F，
所以右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1。
因为x2＝4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，
所以b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1。
(2)由题意知m≠0，由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－。
因为＝λ1，＝λ2，M，
所以＝λ1(1－x1，－y1)，
＝λ2(1－x2，－y2)，
所以λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－＝－2－÷＝－。
综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－。
(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N，证明如下：
＝＝，
易知E(4，y2)，则＝。
因为y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0，
所以∥，即A，N，E三点共线。
同理可得B，N，D三点共线。
则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N。
【变式训练】已知直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2(a＞0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|A＋A|＝|A－A|，则a＝　2　.
解析：由得ax2－2x－2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
设PQ的中点为M，则xM＝xA＝，yA＝ax＝，
由|A＋A|＝|A－A|可得A·A＝0，
即AP⊥AQ，
又M是线段PQ的中点，∴2|AM|＝|PQ|，由于MA⊥x轴，
∴|MA|＝＝＋2，
又|PQ|＝|x1－x2|＝·
＝·，
∴42＝5，解得a＝2，此时满足Δ＞0成立．故a＝2.
【变式训练】如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足D＝D.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，
由D＝D，知P(x,2y)，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．
(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在．
设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k
＝－6k＝.
∵四边形OAEB为平行四边形，
∴O＝O＋O＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，
又O＝(x，y)，∴
消去k得，x2＋4y2－6x＝0，
由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，
得k2＜，∴0＜x＜.
∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.
【例题训练】
一、单选题
1．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
由可得，设，，由，可得.
【详解】
由可得，设，，
由，可得，
所以且，
所以，解得，所以，
所以点M到y轴的距离为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.
2．抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】
画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可．
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线为，
点在上，线段与抛物线交于点，若，
过作于，则，
所以，设准线与轴交于，
则，因为点到轴的距离为2，
所以，解得，
故选：C．

【点睛】
本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
3．已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．20 B．10 C．12 D．18
【答案】A
【分析】
解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F的坐标,设出直线AB的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合及根与系数的关系,求出AB的中点坐标,进而可得AB的垂直平分线的方程,最后求其与x轴交点的横坐标即可；
解法二：设出A,B两点的坐标,结合,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解.
【详解】
解法―：由,得双曲线的右焦点,故由题意可设直线AB的方程为.联立方程,得,消去x得.设,.由及根与系数的关系,得,得,或,由对称性不妨设,则AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
解法二：由,得双曲线的右焦点.不妨设点A在第一象限内,设,,因为,所以,得.又点A,B在双曲线上,所以,得,则,所以AB的中点坐标为,直线AB的斜率,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
4．已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.
【详解】
抛物线的焦点为，设点、，则，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，点的坐标为，
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
将圆的方程写为标准式得，则，可得.
由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.
5．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】
设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：

因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.
【详解】
解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，
由，所以，得，又，所以，
又A、F、B三点共线，可得，即，
可得，∴，，，
由QA斜率为1可得：，即，
则.
故选：C.
【点睛】
在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础题.
二、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且⊥x轴．

（1）如图1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如图2，连结并延长交椭圆于另一点D．若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据轴，设C，，再根据点C在椭圆上求得其坐标，然后再根据 OC∥AB ，由求解.
（2）设，，由（1），，然后用表示D的坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c．
∵ 轴
可设C，，
因为，
所以，
解得，
∴C
∵ OC∥AB ，
所以
∴ b=c
∴ .
（2）设，，由（1）知：，，
，，
∵
∴，
所以，，
∴
又∵D在椭圆上
∴，
化简得：
又∵，

∵ ， ，
则，
解得：
所以取值范围是．
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；
③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
8．已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；
（2）设，由韦达定理得、，再由平面向量的数乘运算可得，代入椭圆方程运算即可得解.
【详解】
（1）由题意得，解得，的方程为；
（2）设，
将代入得，
所以，
所以，
由点为中点得，
由得，
所以，
因为在椭圆上，所以，
所以，
即，
又因为，
所以，化简得，解得（负值舍去）.
【点睛】
解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.
9．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）为弦的中点, 设，,代入椭圆方程利用点差法可求解.
（2）由，，三点共线，，根据三点共线性质可得：，则，将直线的方程和椭圆方程联立，利用韦达定理即可求得答案.
【详解】
（1）∵焦距为，则，设，，
∵为弦的中点，根据中点坐标公式可得：，，
又∵将，代入椭圆：
∴
∴将两式作差可得：，
所以，
所以………①.
∵………②
由①②得：
所以椭圆的标准方程为.
（2）∵，，三点共线，
∴根据三点共线性质可得：，则
设，，则，
∴.
将直线和椭圆联立方程消掉.
可得：.
………③，
根据韦达定理：，，
代入，可得：，，
∴，即.
∵，，
∴………④，
代入③式得，即，
∴，∴满足④式，
∴或.
【点睛】
本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.
10．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.

（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据得到，，可得；
（2）设，根据得到，，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程.
【详解】
（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，．
（2）由题知，，设，
由，得，所以 ，．
代入，得．
即，解得．所以，
所以椭圆方程为．
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.
11．已知椭圆：（），为坐标原点，长轴长为4，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为：，点为椭圆在轴正半轴上的顶点，过点作，垂足为，点在椭圆上（不同于点）且满足：，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由长轴长为4求a，再由离心率求c，根据椭圆的性质求b，从而得到椭圆方程．
（2）椭圆的右顶点为．直线，直线的方程为，分别与椭圆方程联立，求出的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可．
【详解】
（1）由椭圆的离心率，长轴长为4可知，，∴，
∴椭圆的方程为．
（2）椭圆的右顶点为．
由题可知，直线：，直线的方程为，
由，可知，
由，得，则，
∵，∴，则
∵，∴，解之，．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
（1）求的标准方程；
（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或
【分析】
（1）（1）设直线方程为，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和.求解.

（2）设：，，，，与抛物线方程联立，根据与相切，则，与椭圆方程联立，由结合韦达定理得到Q坐标代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设直线方程为，与椭圆方程联立解得，
所以，
直线方程为，与圆联立解得，
所以，
解得，
故：.
（2）由题知存在且斜率不为0，设：，，，，
联立，得，
因为与相切，故，
联立，得，
所以，，
，
又，
所以.
因为，
所以，
由韦达定理，代入计算得，
因为点在椭圆上，即，
代入得，即，，
解得或（舍），
所以，此时点坐标为或.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，可得，从而求出参数的值，
【详解】
解：（1）设椭圆的半焦距为.
由题意可得
解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可得
当直线的斜率为0时，，或，，
此时，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，，.
联立，整理得，
则，
因为，所以.从而，，
则，解得.
故直线的方程为.
【点睛】
本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
14．已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点.
（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；
（2）若点A，B在直线上的射影分别为，，线段的中点为Q，求证.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）由题意，设过点的直线的斜率为，则．然后由，根据定比分点的知识，可得，．将，代入最终可得到的值，则即可求出直线的方程；
（2）先联立直线与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有，．再根据题意写出，，，．再根据平行向量的坐标公式进行代入计算即可证明．
【详解】
（1）解：由题意，设过点的直线的斜率为，则．
设，，，．
，
根据定比分点的知识，有
，，
．
联立，
消去，整理得．
解得，，
，
整理，得，
解得．
直线的方程为．
（2）证明：根据（1），联立直线与抛物线方程，得
，
整理，得．
则，．
，，，．，．
，，，．



．
．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．
15．已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；
（2）设，的坐标分别为，，，，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．
【详解】
解：（1）时，椭圆，两个焦点，，，，
设，可得，即，
，，，，
，
因为，
所以的范围是；
（2）设，的坐标分别为，，，，可得，，
则，两式相减可得，
，即，
故，又设，，直线，
即直线的方程为，
从而，代入椭圆方程可得，，
由与，联立得，
若四边形为平行四边形，那么也是的中点，
所以，即，整理可得，
解得，经检验满足题意，
所以当时，四边形为平行四边形．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

16．设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．
【答案】（Ⅰ），圆为：；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）依题意可得为正三角形，且，根据的面积，即可求出，从而得到圆的方程；
（Ⅱ）依题意可得直线的倾斜角为或，由对称性可知，设直线：，，，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由，即可得到，解得即可；
【详解】
解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为，
又∵，，∴为正三角形．
∴，，
∴，，
∴圆为：．
（Ⅱ）若、、共线，则，
∴，
∴直线的倾斜角为或，
由对称性可知，设直线：，，，，
联立，
∴，，或，
又，，，所以．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.
17．已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，.

（1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.
【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析
【分析】
（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；

（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.
【详解】
解：（1），则，
故抛物线的方程为：，
其焦点坐标为，准线方程为：
（2）设直线，联立，
得，则，
设，，则，.
法1：直线，
由得，故点，
直线的斜率，
则直线的斜率，
直线，则点
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
则，
所以三点共线.
法2：直线，
由得，故点，
由，得.
直线的斜率，
直线，得点，
由，得.
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
由，得，
则有.所以三点共线.
法3：（1）∵，∴，∴，∴，，
∴抛物线的标准方程为：，
则焦点坐标为：，准线方程为：.
（2）设直线，联立得：，
，
设，，
∴直线，
当时，，∴，
∴，∴，
∴直线，
当时，，∴，
∴，，
∴


，
∴，
∴共线.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.
18．已知抛物线上的焦点为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据焦点坐标求得，结合抛物线的开口方向求得抛物线的标准方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】
（1）依题意，抛物线的焦点为，开口向上，，所以曲线的方程为：；
（2）设过的斜率为的直线方程为：，
联立，消去并化简得. 令、，
所以，，
由题可知：，即：，即得，
由，，得：，，
所求直线的方程为：.
【点睛】
本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.