专题19 利用导数解决函数的恒成立问题(原卷版)

专题19 利用导数解决函数的恒成立问题

【知识总结】

不等式恒成立问题的求解策略

1．已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围。利用导数解决此类问题可以运用分离参数法。

2．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解。

【例题讲解】

【例1】已知函数f(x)＝－lnx＋t(x－1)，t为实数。

(1)当t＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若当t＝时，－－f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围。

【变式训练】)已知函数f(x)＝lnx－(a∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：不等式(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1,2)恒成立。

【例题训练】

一、单选题

1．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

2．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数（，且），对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值是（    ）

A． B．e C．3 D．2

4．对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

5．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（    ）

A．， B．， C．， D．

6．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知，若对任意正实数，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、解答题

8．已知函数.

（1）若曲线与直线相切，求的值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.

9．已知函数，，其中，均为实数．

（1）试判断过点能做几条直线与的图象相切，并说明理由；

（2）设，若对任意的，（），恒成立，求的最小值．

10．已知函数，其中．

（1）求的极值；

（2）设，当时，关于的不等式在区间上恒成立，求的最小值．

11．已知函数．

（1）当时，求的值；

（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

12．已知函数．

（1）求函数在上的最小值；

（2）若，求实数的值．

13．函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

14．已知函数，．

（1）若的最大值是0，求的值；

（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．

15．已知函数，且恒成立．

（1）求实数的值；

（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．

16．已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若对任意恒有不等式成立.

①求实数的值；

②证明：.

17．已知函数.

（1）设，求函数的单调区间；

（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围.

18．已知函数   

（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求f（x）的表达式；   

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

19．已知函数.

（1）当时，求函数的在(3，)处的切线方程；

（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.

20．已知，函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若当时，，求的所有可能取值.

21．设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若时，求的取值范围.

22．已知函数f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx- xcosx-1.

（1）当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，求正整数m的值；

（2）当x≥0时，判断函数g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: ≈4.8

23．已知函数.

（1）求曲线在点（1，）处的切线方程；

（2）若对恒成立，求的最小值.

24．已知函数在处有极值.

（1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点？

（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围.

25．已知函数，且在处取得极值．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围；

（Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．

26．设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.

27．已知函数．

（1）当时，若函数在其图象上任意一点处的切线斜率为，求的最小值，并求此时的切线方程；

（2）若函数的极大值点为，恒成立，求的范围

28．已知函数，.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

29．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，函数在上恒成立，求证：.

30．已知函数.

(1)若函数，求函数的极值；

(2)若在时恒成立，求实数的最小值.