专题06 圆锥曲线中的定值问题(原卷版)

专题06 圆锥曲线中的定值问题

【例题讲解】

【例1】已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切。

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值。

【变式训练】　已知抛物线C：y2＝ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t。

(1)求抛物线C的方程；

(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值。

【例题训练】

一、单选题

1．过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（     ）

A．4 B．1 C． D．

二、多选题

2．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．为坐标原点，则（    ）

A．

B．直线与直线的斜率之积为

C．直线与直线的斜率之积为

D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为

3．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（    ）

A．为定值 B．直线过抛物线的焦点

C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4

三、解答题

4．已知点到的距离是点到的距离的2倍.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值；

（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

5．已知，为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

6．已知椭圆的离心率为，的面积为

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1，k2．

（1）证明：k1·k2为定值；

（2）过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|．

8．已知双曲线的方程.

（1）求点到双曲线C上点的距离的最小值；

（2）已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

9．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.

（1）求抛物线及椭圆的标准方程；

（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.

①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；

②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.

10．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.

（1）设的斜率为，求的值；

（2）求证：为定值.

11．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程.

(2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

12．已知椭圆经过点，且右焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.

13．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由.

14．如图，在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆E： 的左、右焦点，A，B分别椭圆E的左、右顶点，且．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

15．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；

（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2，1)，P是动点，且

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过A作斜率为1的直线与轨迹C相交于点B，点T(0，t)(t>0)，直线AT与BT分别交轨迹C于点设直线的斜率为k，是否存在常数λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由.

17．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.

18．已知在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点，点 在第一象限且为圆外一点，直线，分别交圆于点，，交轴于点，．

（Ⅰ）若直线的倾斜角为60°，，求点坐标；

（Ⅱ）过作圆的两条切线分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．

19．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：①；②；③.请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.

（1）请求出曲线C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.

20．如图，点为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点．

（Ⅰ）若点在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：

（Ⅱ）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，

（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当的面积最大时，求的值．

21．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.

（1）点在椭圆上，求的取值范围；

（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；

22．已知椭圆的离心率为，点分别是的左､右､上､下顶点，且四边形的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程.

23．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.

（1）求椭圆的方程

（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

24．已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，，过点A的任意一条直线与椭圆C交于M，N两点，求证：．

25．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程 ；

（2）过点 F 的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴 于P点，设，试判断是否为定值？请说明理由．

26．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点.

（i）当时，求点的纵坐标；

（ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值.

四、填空题

26．已知A、B分别是双曲线的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为，始终满足，其中，则C的离心率为______ ．

27．在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积为，则直线的斜率为______.