高考一轮复习专题03 圆锥曲线中的中点弦问题(原卷版)

专题03 圆锥曲线中的中点弦问题

【知识总结】

遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。

在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝。在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0。

【例题讲解】

【例1】已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．则实数m的取值范围是∪　.

【变式训练】(1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　D　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

 (2)如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是　.

【例题训练】

一、单选题

1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（    ）

A． B． C． D．

3．直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（    ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（    ）

A． B．1 C． D．2

7．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（    ）

A． B． C． D．

9．直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（    ）

A．2 B． C． D．

11．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（    ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（    ）

A． B． C． D．

13．已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

14．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

15．已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆C的长轴长为

C．直线的方程为 D．

三、填空题

16．ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．

17．设A､B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，直线AB的的方程为__________.

18．已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆于两点.若中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的离心率为_______

19．已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是__________________．

20．已知椭圆E：过椭圆内部点的直线交椭圆于M，N两点，且则直线MN的方程为_____________.

21．已知双曲线和点，直线经过点且与双曲线相交于、两点，当恰好为线段的中点时，的方程为______．

22．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．

①若直线的斜率为-1，则弦；

②若直线的斜率为-1，则；

③点恒在平行于轴的直线上；

④若点是弦的中点，则．

23．已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为_________.

24．椭圆的弦中点为，则直线的方程___________

25．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.

四、解答题

26．已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点．

（1）点的坐标为，若，求直线的方程；

（2）若直线过椭圆的右焦点，且点在第一象限，求、分别为直线、的斜率）的取值范围．

27．已知动圆过点，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）斜率为1的直线经过点，且直线与轨迹交于点，求线段的垂直平分线方程．

28．已知椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，求的值.

30．已知直线l与抛物线交于两点．

（1）若l的方程为，求；

（2）若弦的中点为，求l的方程．

31．坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.

（1）求曲线的方程；

（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？

（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？

32．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为与椭圆共焦点的双曲线其离心率是椭圆的离心率的2倍.

（1）分别求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）过点M(4，1)的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.

33．椭圆：，直线过点，交椭圆于､两点，且为的中点.

（1）求直线的方程；

（2）若，求的值.

35．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求线段长度.

36．已知双曲线.

（1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求.

（2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程；

（3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.