高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课文配套课件ppt

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1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.(数学抽象)2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.(逻辑推理)3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.(数学运算)
[激趣诱思]由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)y-8=x-1; ;(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
一、直线的一般式方程定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.名师点析 1.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.2.直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线.
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
微思考1方程y-y0=0是二元一次方程吗?提示 是,是A为0的二元一次方程.微思考2直线与二元一次方程的关系是什么?提示 直线的方程都可以化为二元一次方程,二元一次方程都表示直线.
微练习直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为　　　　　　　　;化为截距式为 　　　　　　　　　　. 
二、两条直线的位置关系
微练习判断下列两组直线是否平行或垂直:(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.解 (1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴两直线平行.(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴两直线垂直.
例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是 ,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.思路分析先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
要点笔记直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值.(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.思路分析利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解 (1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,故m的值为2或-3.(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.反思感悟 由直线的一般式方程解决平行与垂直问题直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
延伸探究 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解 (1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,所以直线方程为4x-3y-2=0.
常见的直线系及其应用典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.思路分析可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
方法总结 一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则:(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;(3)平面上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方程y-y0=k(x-x0)或x=x0的形式.
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为(　　)A.-1,2B.-2,2 C.2,-2D.-2,-2答案 A
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是(　　)
3.已知三条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,l3:bx+2y+a=0,若l1⊥l2,且l2∥l3,则a+b=(　　)A.2B.4C.2或1D.4或1解析 由l1⊥l2得a(a-1)-b=0,①由l2∥l3得2(a-1)-b=0,②答案 D
4.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　. 解析 由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2x-y+1=0.答案 2x-y+1=05.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=　　　　　. 解析 ∵两直线垂直,∴1×2-2m=0,m=1.答案 1