高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.8解三角形的实际应用学案

第八节　解三角形的实际应用

授课提示：对应学生用书第71页

[基础梳理]

实际问题中的常用术语

[四基自测]

1．(基础点：求高度)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB为(　　)

A. m　　　　　　　　　 B.  m

C.  m  D． m

答案：A

2．(基础点：方向角)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的北偏西________，西偏北________．

答案：10°　80°

授课提示：对应学生用书第72页

考点一　测量距离与角度

挖掘1　测量距离/ 自主练透

[例1]　(1)(河两岸可视两点)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)

A.米　　　　　　　　 B.米

C.米  D．米

[解析]　在△ABC中，由正弦定理得＝，故AB＝＝.

[答案]　C

 (2)(河对岸或不可视两点)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________．(其中cos 48.19°取近似值)

[解析]　依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2.在△BCE中，∠CBE＝45°，

由正弦定理得BC＝＝3.连接AB(图略)，

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝10，

∴AB＝.

[答案]　

[破题技法]　测量距离问题的解法

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．

提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．

挖掘2　测量角度或航向/ 互动探究

[例2]　已知海岛B在海岛A北偏东45°方向上，A，B相距10海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线AB向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．

(1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

[解析]　(1)如图，设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为10－2x，乙与A的距离为4x，AD＝(10－2x)．

∴cos 15°＝＝cos(45°－30°)，

∴x＝＝5(2－)．

∴经过5(2－)小时，物体甲在物体乙的正东方向．

(2)设经过x小时，甲、乙两物体的距离为d.

由余弦定理得cos 60°＝＝，

∴d2＝28x2－80x＋100，0＜x≤5.

∵函数y＝28x2－80x＋100的图像的对称轴x＝∈(0，5]，∴x＝时，d最小．

∴dmin＝.

[破题技法]　测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．

在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距

12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，

解得x＝2.

故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理得＝，

解得sin α＝＝.

所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.

考点二　测量高度

挖掘1　同一竖直平面内的高度/自主练透

[例1]　如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为(　　)

A．(5＋5)m　　　　　 B．(30＋15)m

C．(15＋30)m  D．(15＋3)m

[解析]　在△PAB中，由正弦定理，得＝，因为sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，所以PB＝5(＋)(m)，所以该树的高度h＝PBsin 45°＝(5＋5)(m)．

[答案]　A

挖掘2　不同竖直平面内的高度/互动探究

 [例2]　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，求山高MN.

[解析]　在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，

＝，

解得MA＝100，在△MNA中，

＝sin 60°＝，故MN＝150，即山高MN为150 m.

[破题技法]　求解高度问题的三个关注点

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

考点三　解三角形在平面几何中的应用

挖掘1　与三角形有关的传统文化/自主练透

[例1]　(1)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)

A．6平方米　　　　　　 B．9平方米

C．12平方米  D．15平方米

[解析]　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，

在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，所以可得矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得弦＝2AD＝2×2＝4.

所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9平方米，故选B.

[答案]　B

(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝ .现有周长为2＋的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)

A.  B．

C.  D．

[解析]　因为sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，所以由正弦定理得a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，又a＋b＋c＝2＋，

所以a＝－1，b＝，c＝＋1，

则ac＝2－1＝1，c2＋a2－b2＝6－5＝1，

故S＝ ＝ ＝，故选A.

[答案]　A

挖掘2　多边形问题/互动探究

[例2]　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，AB＝1.

(1)若AC＝，求△ABC的面积；

(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.

[解析]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，

所以△ABC的面积S△ABC＝AB×BC×sin∠ABC＝×1××＝.

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①

在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－，

由正弦定理得＝，

即＝，②

①②两式相除，得＝，

即4(sin θ－cos θ)＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.

又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin θ＝，

即sin∠CAD＝.

[破题技法]　1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．

2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．

(2020·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.

(1)求sin∠BCE的值；

(2)求CD的长．

解析：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝，

因为B＝，BE＝1，CE＝，

所以sin∠BCE＝＝＝.

(2)因为∠CED＝B＝，

所以∠DEA＝∠BCE，

所以cos∠DEA＝＝＝＝.

因为A＝，所以△AED为直角三角形，

又AE＝5，

所以ED＝＝＝2.

在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×(－)＝49.

所以CD＝7.