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2019-2020学年天津市蓟州区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2019-2020学年天津市蓟州区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一个三角形的两边长为4和7，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．5、7或9C．7D．11
3．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
5．（3分）点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
6．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
7．（3分）如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE＝3，EF＝4，则AC的长为（ ）
A．13B．3C．4D．6
8．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．（3分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．11B．13C．14D．15
12．（3分）正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个B．4个C．7个D．10个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案直接填在题中横线上.
13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．
14．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的边数为 ．
15．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为 cm．
16．（3分）如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 ，则有△AOC≌△BOD．
17．（3分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则AD＝ cm，∠ADC＝ ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为7，△ABC的周长是12，则BC的长度为 ．
三、解答题：本大题共7小题，其中19～23题每题6分，24～25题每题8分，共46分写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
20．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝50°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
22．（6分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．
24．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
25．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
2019-2020学年天津市蓟州区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的请将答案选项填在下表中.
1．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，A为轴对称图形．
故选：A．
2．（3分）一个三角形的两边长为4和7，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．5、7或9C．7D．11
【分析】已知三角形的两边长分别为4和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
因此，本题的第三边应满足3＜x＜11，符合题意的有：5、7或9．
故选：B．
3．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
4．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要分50°的角是顶角或底角两种情况分别进行求解．
【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；
（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；
所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．
故选：C．
5．（3分）点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为：（5，﹣2）．
故选：C．
6．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
7．（3分）如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE＝3，EF＝4，则AC的长为（ ）
A．13B．3C．4D．6
【分析】可以利用已知条件先求出DF的长度，再根据三角形全等的意义得到AC＝DF，从而得出AC的长度．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC，
∵△DEF的周长为13，
DE＝3，EF＝4，
∴DF＝6，即AC＝6，
故选：D．
8．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：D．
9．（3分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
【分析】只要证明△OPC≌△OPD，可得PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，由此即可判断．
【解答】解：在△OPC和△OPD中，
，
∴△OPC≌△OPD，
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，
∴A、C、D正确，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，可得出答案．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴（2）（4）正确，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴（1）正确，
∴正确的有4个，
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．11B．13C．14D．15
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EC＝EA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DB＝DA，EC＝EA，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+DE+EC＝BC＝13，
故选：B．
12．（3分）正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个B．4个C．7个D．10个
【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案直接填在题中横线上.
13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝ 30° ，∠B＝ 60° ，∠C＝ 90° ．
【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出方程x+2x+3x＝180，求出x即可．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180，
x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
故答案为：30°，60°，90°．
14．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的边数为 6 ．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故答案是：6．
15．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为 12 cm．
【分析】由条件易证△ABC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周长．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝4，
∴△ABC的周长为12．
故答案为：12．
16．（3分）如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 AC＝BD ，则有△AOC≌△BOD．
【分析】补充条件：AC＝BD，可利用AAS定理判定△AOC≌△BOD．
【解答】解：补充条件：AC＝BD，
∵在△AOC和△DOB中，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
故答案为：AC＝BD．
17．（3分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则AD＝ 5 cm，∠ADC＝ 90° ．
【分析】首先根据全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝30°，AC＝AB＝10cm，再根据三角形内角和计算出∠ADC的度数，再根据直角三角形的性质可得AD＝AC＝5cm．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴∠C＝∠B＝30°，AC＝AB＝10cm，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD＝AC＝5cm，
故答案为：5，90°．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为7，△ABC的周长是12，则BC的长度为 5 ．
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换证明∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，则DB＝DO，EO＝EC，再利用等线段代换得到AB+AC＝7，然后利用△ABC的周长是12得到BC的长．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠BCO＝∠ECO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，
∴DB＝DO，EO＝EC，
∵△ADE的周长为7，
即AD+DE+AE＝7，
∴AD+DO+EO+AE＝7，
∴AD+DB+CE+AE＝7，
即AB+AC＝7，
∵△ABC的周长是12，
即AB+AC+BC＝12，
∴BC＝12﹣7＝5．
故答案为5．
三、解答题：本大题共7小题，其中19～23题每题6分，24～25题每题8分，共46分写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；
（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
20．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝50°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠EAC，计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∵AE是高，
∴AE⊥BC，
∴∠C+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠DAE＝35°﹣30°＝5°．
22．（6分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，然后再判定△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．
【分析】利用AB＝AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD＝BD，可求得∠CAD＝∠CDA及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠DAB，
∵AC＝DC，
∴∠DAC＝∠ADC＝2∠B，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠B+2∠B＝3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
24．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
【分析】（1）欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．
【解答】证明：（1）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
即BE＝CF．
25．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
1．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一个三角形的两边长为4和7，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．5、7或9C．7D．11
3．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
5．（3分）点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
6．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
7．（3分）如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE＝3，EF＝4，则AC的长为（ ）
A．13B．3C．4D．6
8．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．（3分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．11B．13C．14D．15
12．（3分）正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个B．4个C．7个D．10个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案直接填在题中横线上.
13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．
14．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的边数为 ．
15．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为 cm．
16．（3分）如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 ，则有△AOC≌△BOD．
17．（3分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则AD＝ cm，∠ADC＝ ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为7，△ABC的周长是12，则BC的长度为 ．
三、解答题：本大题共7小题，其中19～23题每题6分，24～25题每题8分，共46分写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
20．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝50°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
22．（6分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．
24．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
25．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
2019-2020学年天津市蓟州区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的请将答案选项填在下表中.
1．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，A为轴对称图形．
故选：A．
2．（3分）一个三角形的两边长为4和7，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．5、7或9C．7D．11
【分析】已知三角形的两边长分别为4和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
因此，本题的第三边应满足3＜x＜11，符合题意的有：5、7或9．
故选：B．
3．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
4．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要分50°的角是顶角或底角两种情况分别进行求解．
【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；
（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；
所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．
故选：C．
5．（3分）点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点M（5，2）关于x轴对称的点的坐标为：（5，﹣2）．
故选：C．
6．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
7．（3分）如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE＝3，EF＝4，则AC的长为（ ）
A．13B．3C．4D．6
【分析】可以利用已知条件先求出DF的长度，再根据三角形全等的意义得到AC＝DF，从而得出AC的长度．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC，
∵△DEF的周长为13，
DE＝3，EF＝4，
∴DF＝6，即AC＝6，
故选：D．
8．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：D．
9．（3分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
【分析】只要证明△OPC≌△OPD，可得PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，由此即可判断．
【解答】解：在△OPC和△OPD中，
，
∴△OPC≌△OPD，
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，
∴A、C、D正确，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，可得出答案．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴（2）（4）正确，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴（1）正确，
∴正确的有4个，
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．11B．13C．14D．15
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EC＝EA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DB＝DA，EC＝EA，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+DE+EC＝BC＝13，
故选：B．
12．（3分）正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个B．4个C．7个D．10个
【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案直接填在题中横线上.
13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝ 30° ，∠B＝ 60° ，∠C＝ 90° ．
【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出方程x+2x+3x＝180，求出x即可．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180，
x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
故答案为：30°，60°，90°．
14．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的边数为 6 ．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故答案是：6．
15．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为 12 cm．
【分析】由条件易证△ABC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周长．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝4，
∴△ABC的周长为12．
故答案为：12．
16．（3分）如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 AC＝BD ，则有△AOC≌△BOD．
【分析】补充条件：AC＝BD，可利用AAS定理判定△AOC≌△BOD．
【解答】解：补充条件：AC＝BD，
∵在△AOC和△DOB中，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
故答案为：AC＝BD．
17．（3分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则AD＝ 5 cm，∠ADC＝ 90° ．
【分析】首先根据全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝30°，AC＝AB＝10cm，再根据三角形内角和计算出∠ADC的度数，再根据直角三角形的性质可得AD＝AC＝5cm．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴∠C＝∠B＝30°，AC＝AB＝10cm，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD＝AC＝5cm，
故答案为：5，90°．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为7，△ABC的周长是12，则BC的长度为 5 ．
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换证明∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，则DB＝DO，EO＝EC，再利用等线段代换得到AB+AC＝7，然后利用△ABC的周长是12得到BC的长．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠BCO＝∠ECO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，
∴DB＝DO，EO＝EC，
∵△ADE的周长为7，
即AD+DE+AE＝7，
∴AD+DO+EO+AE＝7，
∴AD+DB+CE+AE＝7，
即AB+AC＝7，
∵△ABC的周长是12，
即AB+AC+BC＝12，
∴BC＝12﹣7＝5．
故答案为5．
三、解答题：本大题共7小题，其中19～23题每题6分，24～25题每题8分，共46分写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；
（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
20．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝50°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠EAC，计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∵AE是高，
∴AE⊥BC，
∴∠C+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠DAE＝35°﹣30°＝5°．
22．（6分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，然后再判定△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．
【分析】利用AB＝AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD＝BD，可求得∠CAD＝∠CDA及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠DAB，
∵AC＝DC，
∴∠DAC＝∠ADC＝2∠B，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠B+2∠B＝3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
24．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
【分析】（1）欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．
【解答】证明：（1）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
即BE＝CF．
25．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
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